激波沖擊鋸齒形界面的氣泡競爭實驗研究

翟志剛, 郭 旭, 司 廷

(中國科學技術大學 近代力學系, 合肥 230027)

0 引 言

Richtmyer-Meshkov (RM)不穩定性[1-2]又稱為激波和界面相互作用，是指兩種具有不同物理屬性的物質分界面在激波沖擊下，任意小擾動的擾動振幅隨著時間逐漸增長，通常會經歷線性和非線性發展階段，并最終發生湍流混合。擾動振幅之所以能夠不斷發展，目前認為主要有兩種機制。第一種是壓力擾動機制，即激波在擾動界面上發生反射與透射時，反射波與透射激波會伴有不同的曲率及相位，在界面兩側產生不同的壓力擾動。在不同壓力的驅動下，界面不斷發生變形，擾動振幅逐漸增大。第二種是斜壓機制。根據渦量動力學方程，若密度梯度與壓力梯度不重合，會產生渦量，而渦量會誘導界面產生運動速度。在RM不穩定性問題中，激波提供了壓力梯度，不同密度界面提供了密度梯度。而當激波穿過界面時，由于擾動界面各位置處曲率不同，產生的渦量幅值不同，從而界面各位置處誘導的運動速度不同，進一步導致界面變形。RM不穩定性廣泛存在于工程應用領域。比如在慣性約束核聚變(ICF)中，激波誘導的湍流混合極大地降低了聚變溫度，可能導致最終點火失敗。因此如何抑制激波誘導的湍流混合是ICF中亟需解決的物理難題之一[3]。在超燃沖壓發動機燃燒室中，激波誘導界面不穩定性則可以將燃料和氧化劑充分混合，從而極大地促進燃燒效率[4]。此外RM不穩定性在天體物理[5]、國防尖端武器等領域也有著重要的應用價值。因此RM不穩定性近幾十年來得到了國內外研究者的廣泛關注，取得了豐碩的研究成果[6-11]。

在RM不穩定性研究中，單模界面(界面形狀可以采用單一正/余弦函數表達)是構成復雜界面的基礎，因其形式簡單而得到了廣泛的關注[12-17]。Richtmyer最早針對單模界面的演化進行了理論分析，在不可壓縮及小振幅的假設下提出了沖擊模型，并對擾動的線性增長階段進行預測[1]。而Meshkov最早開展了系列激波管實驗來驗證沖擊模型，他采用高分子膜形成單模界面，發現沖擊理論總是高估實驗增長率[2]。此后，沖擊模型不斷得到修正，新的模型也不斷被提出，并進一步考慮大振幅效應[18]、可壓縮效應[19]等。另外，界面生成方法和流場觀測手段等實驗技術也得到了極大的改進。在界面生成方面，雖然早期實驗采用的高分子膜在網格的支撐下能夠形成多種形狀界面，但高分子膜厚度較大，破碎后對流場的干擾較為明顯；此外網格的存在會對流場產生一定的阻塞率，影響界面發展[20]。為了消除膜片的影響，無膜技術，諸如氣體射流方法生成氣柱/氣簾界面[21-22]、激波管震蕩方法生成單模界面[12]等逐漸發展起來。無膜界面同時易與激光誘導熒光、流場圖像測速等片光測量技術相結合，可以獲得流場的定量信息。但無膜方法一方面由于氣體擴散無法形成間斷型界面，導致初始條件無法定量重復，另一方面生成的界面形狀目前僅局限于柱形或單模界面，在生成其他形狀界面方面有一定局限性。肥皂膜由于其厚度極薄，對流場污染小，是一種生成界面的較好材料。但由于表面張力的作用，肥皂膜在無約束的條件下只能生成球形或柱形界面[7, 23]，難以生成具有頂點的界面。近年來，基于線/環約束肥皂膜的界面生成方法克服了這一缺點，實驗中能夠生成任意形狀的初始擾動界面，非常有利于開展激波管實驗研究[14-15,24-28]。

在許多工程實際中，多模界面最為常見。通過傅里葉展開，多模界面可以分解為多個不同振幅和波長的單模界面的疊加，因此單模界面演化的實驗研究有助于更好地理解多模界面的演化。對于單模界面而言，當激波沖擊界面之后，界面在發展過程中，高階模態逐漸出現。為了預測單模界面演化中出現的高階模態的發展規律，Zhang和Sohn基于擾動展開方法提出了一個四階非線性模型[29]。基于Padé近似，Zhang和Sohn進一步拓展了該模型的有效范圍[30]。對于多模態界面，高階模態存在于初始界面上。Mikaelian指出，如果各個模態的振幅都滿足小擾動假設，擾動總的線性增長率可以通過疊加各個高階模態的線性增長率得到[31]。Niederhaus和Jacobs也證明在界面變成多值函數之前，線性穩定性理論可以為多模態界面中每一個模態振幅的演化提供較好的預測[32]。在弱非線性階段，在模態耦合影響之前，Vandenboomgaerde等針對多模界面中每一個模態的非線性演化提出了一個非線性模型[33]。在非線性發展后期，模態耦合與競爭變得重要，目前尚沒有合適的模型能夠預測強非線性階段的高階模態的演化規律。多模界面實驗方面，Luo等實驗研究了周期性鋸齒形界面在激波沖擊下的演化規律，由于鋸齒形界面存在一個主控模態，其線性增長率幾乎可以采用沖擊模型預測。同時發現在不同初始角度下，擾動的線性增長率與初始振幅波長比是一個非單調函數關系，驗證了已有的數值結論[25]。Luo等同時研究了包括鋸齒形界面在內的多種周期性多模界面，考慮了高階模態的影響。發現當擾動發展進入非線性期時，即使不考慮模態耦合的影響，高階模態仍會對擾動發展起到不可忽略的作用[34]。美國Ranjan課題組開展了大量的激波與傾斜界面相互作用的實驗研究(傾斜界面可認為是鋸齒形界面的一半)，主要關注了初始振幅和激波強度對湍流混合的影響[35-37]。

但工程實際中，如靶丸表面，涉及的多模態界面初始擾動往往并不是周期性分布的，而是隨機分布。在激波誘導界面失穩研究中，具有不同振幅、不同波長的擾動在激波沖擊下具有不同的發展速率。在這種情況下，不同尺度的界面在發展過程中就會存在彼此之間的相互影響、相互競爭。這在RM不穩定性研究中稱為界面耦合效應(氣泡競爭)。氣泡競爭最早是由Lewis在實驗中發現[38]。在Rayleigh-Taylor (RT)不穩定性研究中，在不考慮模態耦合的前提下，Sharp提出了一個三維模型來預測氣泡競爭[39]。他發現氣泡競爭會出現兩個結果：只有一個長波長的氣泡以穩定的速度增長或者具有不同波長的氣泡均以穩定但不同的漸近速度在增長。Alon等進一步修正了Sharp提出的理論模型，并提出了新的理論來計算氣泡的數量[40]。Alon等認為氣泡競爭最終會進入自相似階段，且提出了自相似定律來預測氣泡的平均高度。進一步地，Alon等考慮了RM不穩定性條件下的氣泡競爭機制，發現主要氣泡的寬度以指數定律增長，并且氣泡的平均高度遵循自相似定律[41]。

兩個氣泡的競爭，即一個大氣泡和一個小氣泡沿著界面間隔排列，是研究氣泡競爭最簡單的工況。理論方面，Zufiria曾提出一個勢流理論研究了兩個或多個氣泡競爭[42]。Zufiria的理論被Sohn加以改進，并推廣到RM和RT不穩定性研究中來描述兩個或多個氣泡的競爭關系[43-44]。Rikanati等通過構建一個渦模型研究了兩個氣泡的競爭關系。利用一個統計模型，基于氣泡融合的機理描述了隨機擾動的增長[18]。實驗方面，Sadot等采用高分子膜技術生成了具有單模形式且尺寸不同的氣泡結構，研究了氣泡競爭對流場的影響。發現相比單模界面而言，競爭促進了大氣泡界面的非線性增長[20]。但Sadot等只開展了一組工況實驗，并沒有研究其他初始條件對氣泡競爭的影響。Guo等通過改變鋸齒形界面中各部分的尺寸關系，實驗研究了鋸齒形界面中不同尺度界面之間的競爭關系。發現競爭對不同尺度界面的發展起到不同的促進或抑制作用[25]。在Guo等[27]的工作中，考慮了在同一種初始角度(θ= 60°)下，通過改變相鄰大小界面振幅的比例關系來研究氣泡競爭，而沒有考慮初始角度的影響。已有工作表明，初始角度的不同極大地影響了界面振幅增長率[25]。而初始角度對氣泡競爭的影響尚未見有公開文獻報道，這也是本文研究的動機所在。

1 實驗方法

本文采用肥皂膜技術生成具有不同角度的鋸齒形界面。如圖1所示，為了研究氣泡競爭，采用與Guo等[27]相似的方法，改變相鄰兩個V形界面的振幅，即大、小V形界面間隔排列，形成兩個氣泡結構，而初始尖釘結構的位置相同，從而可以突出氣泡競爭的影響。本文共設計4種工況，頂角角度θ分別為60°、90°、120°和160°。對所有工況，大、小界面的半波長(λl/2和λs/2)分別為30 mm和15 mm，且滿足hl0/hs0=λl/λs，其中hl0和hs0分別為大、小界面振幅的兩倍。注意到在鋸齒形界面兩側分別有長度約10 mm的直邊連接鋸齒形界面和激波管壁。直邊的存在會破壞界面的周期性，從而影響界面振幅增長率[45]。但本文實驗關心的區域為對稱面兩側±37 mm的范圍，因此，兩側豎直部分并不會對關心的界面演化產生影響。

圖1 四種工況初始界面布置示意圖Fig.1 Schematic of the initial interface configurations for four cases

肥皂膜技術已較為成熟，在之前的實驗中已成功生成了鋸齒形界面[25, 27]，因此這里僅對實驗方法做一個簡要介紹。實驗之前首先采用雕刻機將間距為20 mm、厚度為3 mm的兩塊有機玻璃板雕刻成鋸齒形，如圖2(a)所示。在鋸齒形界面每一個尖點的位置分別插入直徑0.128 mm的細線來約束肥皂膜。尖點處細線的數量取決于尖角角度，當角度小于120°并大于60°時，至少需要兩根細線，當角度大于或等于120°時，僅需一根細線。用一個刷子蘸取事先配置好的溶液(由質量分數分別為60%的蒸餾水，20%的濃縮肥皂液和20%的甘油配置而成)，然后將蘸有溶液的刷子沿著鋸齒形表面刷一下，即可形成鋸齒形界面，如圖2(b)所示。

圖2 θ=60°和θ=120°時尖點處細線的 布置方法及界面生成裝置Fig.2 Arrangement of the thin wires at vertex for θ=60° and θ=120° and the interface formation device

本文實驗是在水平激波管中開展的，激波管高壓段長1.7 m，低壓段長2.0 m，實驗段長0.6 m，截面積為155 mm × 26 mm，通過安裝在低壓段內的壓力傳感器測得平面激波的馬赫數為1.19±0.02，波后流場通過連續光源(型號為DCR III，SCHOTT)照射，采用紋影方法結合高速相機(型號為PHOTRON, FASTCAM SA5)進行拍攝。高速相機的拍攝速度為50 000 幀/s，曝光時間為0.37 μs，紋影圖片的空間分辨率為0.32 mm/pixel。

表1 實驗初始條件Table 1 Initial experimental conditions

2 結果與分析

2.1 界面演化及波系

圖3給出了θ=60°、90°、120°和160°鋸齒形界面的演化紋影圖。本文定義零時刻為入射激波剛遇到界面時。以θ=60°的工況為例，當激波作用在鋸齒形界面的斜邊時，產生反射激波和透射激波。從大、小界面處產生的透射激波相互干擾，形成馬赫桿和三波點結構。在激波沖擊下，鋸齒形界面開始運動，在尖釘頭部很快產生了渦結構，同時由于RM不穩定性和剪切不穩定性的作用，斜邊上也產生了較多的小渦結構。在t=255 μs之前，可以發現大小氣泡幾乎獨立發展，尖釘和氣泡結構比較對稱，說明在此之前氣泡競爭的作用極小。在t=495 μs的時候可以發現，尖釘結構的發展已呈現不對稱的現象，說明此時大、小氣泡的發展已經受到彼此的影響，氣泡競爭開始發揮作用。進一步地，大氣泡逐漸占據小氣泡下游的發展空間，抑制了小氣泡的運動 (775～1555 μs)。在這個過程中，尖釘結構發生了極大的變形，逐漸向大氣泡方向偏移。

隨著θ增大到90°和120°時，由于激波與界面之間的夾角減小，斜壓性較弱，界面上產生的渦量幅值減小，導致在實驗時間內界面變形較小。雖然大氣泡并沒有像小角度工況下那樣擠占小氣泡發展空間，但尖釘的發展同樣出現了較大的扭曲變形，且同樣向大氣泡方向偏移。當θ增大到160°時，斜壓性進一步的減弱導致界面發展更慢，在整個實驗時間內，界面幾乎都保持對稱發展，氣泡競爭并沒有起明顯作用。

在紋影圖中，可以發現在界面運動前方有一團淺色的物質。為了搞清楚這團物質是否為界面(這對測量界面振幅增長率至關重要)，我們采用了粒子散射技術對θ=120°的工況進行了重新拍攝。這里采用能量為15 W的連續激光器對流場進行照明，初始圓柱形激光經過透鏡組轉變為厚度約1 mm的片光。采用肥皂液粒子本身作為示蹤，利用高速攝影獲得波后流場。將某時刻的紋影結果與片光結果進行了對比，如圖4所示。雖然片光結果不夠精細，但足以說明這團物質并非界面。經過實驗證明，該團物質的產生是由于用于形成界面的有機玻璃板與激波管壁之間存在一定的縫隙，同時又有少量SF6通過擴散進入該縫隙中，形成了一定的密度界面。在激波沖擊過程中，這部分界面也會有所發展。由于這部分初始密度界面的隨機性，該團物質的形狀也表現出任意性。值得注意的是，這部分物質與界面處在不同的空間內，因此不會對界面演化產生任何影響。

圖3 激波沖擊四種不同角度air/SF6鋸齒形界面演化的紋影圖 (激波從左向右傳播，ab和as分別是氣泡結構和尖釘結構的振幅，Δh是大、小氣泡頭部的位移差，單位：μs)Fig.3 Schlieren images of the air/SF6 interfaces impacted by a planar shock with θ=60°, θ=90°, θ=120°and θ=160° (Shock waves propagate from left to right, abis bubble width, asis spike width, and Δh is bubble front difference, Unit：μs)

2.2 界面尺度增長規律

圖4 θ=120°時紋影結果與片光結果的對比Fig.4 Comparison of interface contour from the schlieren image and the laser sheet image

圖5 V形界面頂角角度為60°、90°、120°和160°時 大、小界面混合寬度的變化Fig.5 Time variation of the mixing width of the large and small shapes in dimensionless form (60°, 90°, 120° and 160° represent the vertex angles of the V-shaped interface)

進一步地，我們給出了尖釘和氣泡的寬度隨時間的變化，如圖6所示。尖釘和氣泡的測量是以界面的平衡位置為基準，而平衡位置可以通過界面形狀的傅里葉分析得到[45]。由于氣泡競爭導致尖釘頭部扭曲變化，可以看到，在無氣泡競爭的θ=160°的工況中尖釘無量綱寬度發展最快。對于氣泡而言，隨著角度的減小，大界面氣泡的無量綱寬度增長越快，而小界面氣泡的無量綱寬度增長越慢，甚至出現負增長。角度越小，氣泡競爭出現越早，且作用越明顯。因此氣泡競爭促進了大界面氣泡的增長，抑制了小界面氣泡的增長。這與Guo等[27]的工作中得到的結論相同。也就是說氣泡競爭促使能量從小界面向大界面轉移，氣泡競爭越顯著，能量轉移越多，大、小界面的氣泡增長差異就越大。

(a) 尖釘寬度隨時間的變化

(b) 氣泡寬度隨時間的變化圖6 尖釘寬度和氣泡寬度隨時間的變化(as0和bs0分別是t=t0時刻的尖釘和氣泡寬度,vs和vb分別實驗中獲得的尖釘和氣泡的線性增長率,60°、90°、120°和160°表示V形界面頂角角度)

Fig.6 Time variation of the spike width and bubble width(as0andab0are spike and bubble widths at timet0, respectively;vsandvbare linear velocities of the spike and bubble widths obtained from experiments, respectively. 60°, 90°, 120° and 160° represent the vertex angles of the V-shaped interface)

大、小氣泡頭部距離的位移差，即圖3中定義的Δh，可以直接反映氣泡競爭對界面運動在流向方向上的影響。圖7給出了四種工況下的Δh變化規律。可以看出隨著角度的減小，大、小氣泡頭部位移差異越來越大，意味著氣泡競爭隨著角度的減小而變得顯著。有趣的是，對于任意一個工況來說，在進入非線性增長之前，Δh似乎經歷了兩個不同的線性階段。類似的現象在不同大小界面振幅實驗中也得到過[27]。第一個線性階段比較容易理解，因為在氣泡競爭作用之前，大、小界面的氣泡結構都是線性增長。當氣泡競爭發揮作用時，第一個線性階段結束。第一個線性階段的持續時間隨著角度的減小而減小，因為角度越小，氣泡競爭發生的越早。在氣泡競爭作用之后，前面已介紹過，氣泡競爭促進大氣泡增長，而抑制小氣泡增長，如果不考慮其他因素，Δh應該保持非線性增長。值得注意的是，在擾動非線性增長階段，非線性效應抑制振幅增長。因此，氣泡競爭和非線性效應對大氣泡的作用是相反的，而對小氣泡的作用是相同的。由圖可知，第二個線性增長率要比第一個線性增長率低，也就是說非線性效應對大氣泡的抑制作用更明顯，導致大氣泡的增長率下降的更多。更確切地說，非線性效應導致大氣泡增長率的下降要大于非線性效應和氣泡競爭效應耦合作用導致的小氣泡增長率的下降。但這并不能解釋第二個線性階段存在的原因，關于第二個線性階段存在的原因仍需要進一步的研究。

(a) 有量綱變化

(b) 無量綱變化圖7 大、小界面氣泡頭部位移差隨時間的變化 (圖中60°、90°、120°和160°表示V形界面頂角角度)

Fig.7 Time variation of the bubble front difference in dimensional form and dimensionless form(60°, 90°, 120° and 160° represent the vertex angles of the V-shaped interface)

圖7(b)描述了大、小氣泡頭部位移差的無量綱變化規律，其中kh=4π/(λl+λs)，vh0是實驗中獲得的第一個線性階段的增長率,t*是第一個線性階段開始的時刻，h*是t*時刻波后氣泡位移差。針對初始不同振幅的情況，Guo等[27]發現無量綱后的氣泡位移差能夠較好地歸一化。而對于本文不同角度的情況下，圖7(b)表明不同工況并沒有較好地歸一化，說明初始角度對氣泡位移差，即氣泡在流向方向上的運動具有一定的影響。總體上，初始角度越小，大、小氣泡在流向上的運動速度差異就越大。

3 結 論

本文在激波管中實驗研究了氣泡競爭對鋸齒形界面發展的影響，主要關注鋸齒形界面初始頂角對氣泡競爭的影響。為了突出氣泡競爭的影響，對任一種角度來說，設計波長相同、振幅不同的大、小氣泡間隔排列，同時保證尖釘的位置相同。實驗中，鋸齒形界面采用肥皂膜技術生成，并采用高速攝影結合紋影方法對波后流場進行顯示。實驗結果清晰地顯示了氣泡競爭對大、小氣泡的影響規律。

在界面發展早期，大、小界面幾乎獨立發展，說明氣泡競爭在早期不起作用。隨著界面的演化，氣泡競爭逐漸開始發揮作用。鋸齒形界面角度不同，氣泡競爭起到的作用不同。角度越小，由于斜壓性較大且大振幅引起的二次壓縮效應較強，界面上產生的斜壓渦量越大，從而誘導界面更快發展，氣泡競爭出現的越早且作用越顯著。對于本文研究的θ=160°工況而言，在實驗時間內幾乎沒有發生氣泡競爭。通過氣泡競爭，大氣泡逐漸擠占小氣泡的下游運動空間，同時導致尖釘結構扭曲變形。通過對大、小氣泡總體混合寬度的測量，發現氣泡競爭促進了大氣泡的振幅增長，而抑制小氣泡的振幅增長，且對小氣泡的影響更大。實驗結果表明氣泡頭部位移差在進入非線性增長之前會經歷兩個線性階段，且第二個線性階段增長率較小，表明非線性效應在該階段起著重要的作用。對于大氣泡而言，非線性效應和氣泡競爭對氣泡寬度增長起著相反的作用，而對于小氣泡而言，非線性和氣泡競爭均是抑制小氣泡寬度增長。由于第二個線性增長率較小，在沒有其他因素影響的前提下，可以認為非線性效應導致的大氣泡寬度增長率的下降超過了非線性效應和氣泡競爭兩個綜合作用導致的小氣泡寬度增長率的下降，從而使得第二個線性增長率減小。可見大氣泡受到非線性效應的影響更大。不同條件下的氣泡位移差無法歸一化，說明初始頂角角度對氣泡競爭和界面演化具有重要影響。