基于能量等效原理的顫振機理及顫振導數識別

劉 磊, 管青海,2,*, 李加武, 劉健新

(1. 天津城建大學 天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室, 天津 300384; 2. 長安大學 陜西省公路橋梁與隧道重點實驗室, 西安 710064; 3. 長安大學 風洞實驗室, 西安 710064)

0 引 言

顫振是一種由于氣動不穩定引起的自激發散振動，在大跨度橋梁中若發生顫振，可能導致結構的整體破壞，因此大跨度橋梁結構顫振問題的研究顯得尤為重要。為了對橋梁結構進行顫振響應分析，首先要確定橋梁斷面的顫振導數。準確識別橋梁的顫振導數，成為大跨度橋梁結構顫抖振分析[1]中的重要環節。

對于顫振導數的識別，張斐針對橋梁斷面顫振導數識別的具體特點，在加權整體最小二乘法[14]和修正總體最小二乘迭代法[15]的基礎上，引入加權矩陣，推導出用于顫振導數識別的加權最小二乘迭代(WLS)法[16]。此外，最小二乘復指數法[17](LSCE)，基于特征系統實現算法[18](ERA)的識別方法，等一系列以二維節段模型自由振動試驗為基礎的顫振導數識別方法得到提出和發展。上述顫振導數的識別方法大多通過顫振導數與系統模態參數之間的關系，將顫振導數的識別問題轉化為系統模態參數的識別問題。本文從功能轉換角度，提出了一種基于瞬時做功的顫振導數識別方法。

橋梁和風是兩個相互作用的系統，風對橋梁系統的作用效應可以分為兩部分：(1) 風的阻尼作用耗散或增加橋梁系統的機械能，即阻尼效應。(2)風與橋梁系統交換機械能，并以彈性勢能的形式儲存，即剛度效應。本文基于能量等效原理，首先將顫振自激力各項進行了分類。在有限元分析軟件ANSYS中建立理想平板模型，其顫振自激力通過MATRIX27單元實現。以理想平板的經典耦合顫振為例，依據功能轉換原理，通過對具有阻尼效應自激力的做功時程和橋梁系統機械能時程的對比分析，驗證了上述顫振自激力分類的合理性。然后將顫振微分方程通過積分運算轉化為功能方程的形式，提出了一種基于瞬時做功的顫振導數識別方法，并以理想平板的顫振導數識別為例對該方法的可靠性進行了驗證。

1 顫振自激力分類及其合理性驗證

1.1 顫振自激力分類

(1)

(2)

依據能量等效原理，當流線型橋梁斷面采用Scanlan顫振自激力模型計算顫振響應時，為保證振動響應計算結果的等效性， Scanlan顫振自激力和實際顫振自激力(Lse(t)、Mse(t))的氣動阻尼系數和氣動剛度系數在每一個瞬時均應相等，即滿足:

(3)

(4)

(5)

(6)

式(3)、式(5)為瞬時氣動阻尼等效性的約束條件，其積分項代表自激力對節段模型振動系統做功的瞬時積累值，若保證自激力做功的當前積累值等效，那么節段模型振動系統的瞬時機械能也是等效的，由此，可以保證計算出的瞬時振幅是相等的；式(4)、式(6)為瞬時氣動剛度等效性的約束條件，其積分項代表自激力對節段模型振動系統所做的無功瞬時積累值，若保證自激力所做無功的當前積累值等效，則可以保證計算出的瞬時相位是一致的。在自激振動過程中，由于氣動自激力耦合項的存在，扭轉模態和豎彎模態的振動響應都包含兩個不同的頻率成分，豎彎振動和扭轉振動的位移與速度函數可以近似表達為:

h(t)=ah1cosφh1+ah2cosφh2

(7)

(8)

α(t)=aα1cosφα1+aα2cosφα2

(9)

(10)

經典耦合顫振屬于豎彎和扭轉模態完全耦合的顫振，當顫振發生時豎彎和扭轉兩個自由度的振動頻率基本相等，并具有一定的相位差。

≠0

(11)

=0

(12)

1.2 顫振自激力分類的合理性驗證

為了檢驗顫振自激力分類的合理性，下面分別求出顫振自激力各效應項的做功時程和無功時程。扭轉和豎彎模態氣動阻尼效應項做功時程表達式如下:

(13)

(14)

扭轉和豎彎模態氣動剛度效應項無功時程表達式為:

(15)

(16)

顫振自激力阻尼效應項做功與系統機械能存在轉換關系，因此為了對自激力分類的合理性進行驗證，還需求出系統的機械能。扭轉和豎彎模態機械能表達式如下:

(17)

本文在ANSYS中建立理想平板簡支梁模型，并以模型的扭轉模態為例具體說明驗證過程。

該理想平板簡支梁長L=300 m，寬B=40 m，兩端扭轉自由度固定。平板斷面豎向和橫向彎曲剛度為EIz=2.1×106MPa·m4,EIy=1.8×107MPa·m4，扭轉剛度GIt=4.1×105MPa·m4。每延米長度質量m=20 000 kg/m，質量慣矩Im=4.5×106kg·m2/m，空氣密度ρ=1.25 kg/m。結構模態阻尼比均假設為零。其中橋面主梁采用BEAM4單元模擬，質量慣矩采用MASS21單元模擬，自激力采用MATRIX27單元模擬。模型共有120個節點，237個單元。

為獲得理想平板簡支梁的振動響應，給予主梁節點單位瞬時速度的初始激勵，基于ANSYS瞬態動力學分析求得理想平板簡支梁跨中節點在風速U0=142 m/s時扭轉模態的速度和位移時程。依據阻尼效應的物理意義，橋梁系統機械能的改變只與自激力阻尼效應項的做功有關。通過理想平板顫振導數理論解和式(13)求得扭轉模態氣動阻尼效應項做功時程曲線，并通過式(17)求得扭轉模態機械能時程曲線。從圖1中可以看出扭轉模態阻尼效應項做功時程與機械能時程吻合良好，從而驗證了自激力分類的合理性。

圖1 U0=142 m/s扭轉模態功能時程Fig.1 Work and energy time history of torsion modal at U0=142 m/s

2 顫振驅動機理研究

2.1 顫振自激力的做功時程和無功時程

(18)

(19)

(20)

2.2 從功能關系角度研究顫振驅動機理

以理想平板簡支梁為例來研究橋梁顫振驅動機理，將理想平板簡支梁跨中節點的速度和位移響應時程以及理想平板顫振導數理論解帶入式(18～20)，求得各效應項在顫振前、顫振臨界狀態和顫振后做功時程和無功時程，如圖2和圖3所示。

圖2 豎彎和扭轉模態做功時程Fig.2 Work time history of vertical bending and torsional modal

圖3 豎彎和扭轉模態無功時程Fig.3 No work time history of vertical bending and torsional modal

3 基于瞬時做功的顫振導數識別方法

Scanlan顫振自激力模型中包含了純剛度效應項、純阻尼效應項和既有剛度效應又有阻尼效應的雙重效應項，這些項對自激振動響應的影響不盡相同。依據能量等效原理，氣動阻尼項只耗散(或增加)系統的機械能，而氣動剛度項只影響振動的相位，不會影響機械能的大小。因而，若從基于自激扭矩和自激升力的做功時程來識別氣動阻尼參數，可以提高氣動參數的識別精度。相似地，若基于自激扭矩和自激升力的無功時程來識別氣動剛度參數，也可以提高氣動剛度參數的識別精度。與傳統識別方法相比，基于瞬時做功的顫振導數識別方法結算結果更加穩定。

3.1 將顫振微分方程轉化為功能方程

本文在建立顫振導數識別方法時，采用自激力做功的形式，通過顫振微分方程兩邊同時積分將運動方程轉化為功能方程的形式，分別求出了自激扭矩和自激升力的做功時程和無功時程，由此建立顫振導數與系統振動響應之間的關系，然后通過加權最小二乘法求得顫振導數。通過積分運算得到扭轉顫振自激力做功時程，如式(21)所示:

(21)

豎彎顫振自激力做功時程，如式(22)所示:

(22)

(23)

豎彎顫振自激力無功時程，如式(24)所示:

(24)

由于豎彎和扭轉模態的位移和速度近似正交，式中系統阻尼力的無功為零。式(23、24)表明顫振自激力的無功時程等于剛度恢復力的無功時程之差。

3.2 加權最小二乘法識別顫振導數

本節以扭轉模態為例具體說明顫振導數的識別過程。由式(13)、式(15)并結合式(21)、式(23)可得到顫振微分方程兩邊同時積分后的功能方程，如式(25)所示:

(25)

將上式寫為矩陣形式:

(26)

其中

Wα,c=

(27)

(28)

Wm,c=

(29)

Wm,k=

(30)

(31)

其中n為顫振過程的采樣點數，Wα,c和Wα,k表示通過振動響應計算得到的扭轉自激力的做功矩陣和無功矩陣，Wm,c和Wm,k為扭轉自激力各效應項瞬時的做功矩陣和無功矩陣，Aα,c為氣動阻尼效應項矩陣，Aα,k為氣動剛度效應項矩陣。

在式(26)中，顫振導數估計的誤差分別為:

(32)

誤差函數可采用如下加權形式：

(33)

(34)

由此可得顫振導數的最小二乘估計：

(35)

通過上述建立的基于自激力瞬時做功的顫振導數識別方法求得理想平板與扭轉振動有關的顫振導數如圖4所示。通過對比發現，本文解與理論解吻合良好，證明了上述顫振導數識別方法的可靠性。

圖4 理想平板氣動導數Fig.4 Aerodynamic derivatives of ideal plate

4 結 論

(3) 以理想平板為例，將基于瞬時做功的顫振導數識別方法的結果與顫振導數理論解對比發現，該方法所識別的顫振導數具有較好的可靠性，可以考慮將該方法應用到二維節段模型自由振動試驗的顫振導數識別中。