利用點的投影彌補空間想象力的欠缺

姚潔　杜娟

摘 要：空間想象力是學會機械制圖的基本條件，也是必要條件，在解決問題中，我們要善于巧妙利用點的投影的知識點來彌補空間想象李不足的情況，如果可以將點的投影規律與空間想象力相結合，經常多練多看多想，不僅可以幫助提高空間想象力。而且還能更快速地解決制圖中一些較復雜的圖形問題。

關鍵詞：點的投影;空間想象力

職業類學校的學生本身學習基礎較差，學習能力較弱，學習自覺性不夠，而機械制圖是一門對空間想象力要求較高的學科。空間想象力是學好制圖的基本條件，也是必要條件。

很多同學看到圖形大腦就一片空白，完全不知道從何下手，一直糾結于空間想象力的欠缺。殊不知，要想培養空間想象力，關鍵要加強投影規律的應用。點動成線，線動成面，面動成體，反之，則要想解決空間立體的三視圖，就可以分解為平面圖形的投影，而平面圖形的投影則可以分解為線的投影，同樣，線的投影還可以分解為點的投影。那么必須在熟練掌握投影規律的基礎上，明確平面圖形與空間立體之間的對應關系，明確每條線與空間立體之間的對應關系，明確每個點與空間立體之間的對應關系。

在機械制圖中，我們所說的點，既沒有大小，也沒有形狀，很抽象，但點的投影是線、面投影的基礎，也是進一步認識立體投影規律的基礎。有時候巧妙利用點的投影，可以幫助我們解決很多因為缺乏空間想象力而解決比較困難的難題。

有一個很明顯的例子，如要求繪制正三棱錐的三視圖（正三棱錐如圖1）。在課堂上，大家通過分析，正三棱錐是錐體中底面是等邊三角形，三個側面是全等的等腰三角形的三棱錐。正三棱錐不等同于正四面體，正四面體必須每個面都是全等的等邊三角形，這個知識點應該是顯而易見的。如果按照圖1中箭頭所指的方向規定為主視圖投影的方向，則相應可以確定俯視圖和左視圖的投影方向。仔細觀察，最反映結構特征的是俯視圖的等邊三角形，而主視圖的等腰三角形也可以很快確定下來，如圖2所示。當老師提問：大家想象一下，左視圖是什么形狀。這時，全班同學異口同聲地回答：“等腰三角形！”可能這是絕大多數人都會犯的錯誤。事實上，正三棱錐兩側面之間的夾角不是90°，而主視圖和左視圖投影方向之間90°的夾角與之不相符，所以左視圖的三角形肯定不是一個等腰三角形。那么左視圖到底是一個什么形狀的圖形呢？這個問題讓很多同學都很困惑，就算有較好的空間想象力，也無法憑空想象出它的形狀，更無法準確地形容它的形狀，那現在該怎么辦呢？此刻點的投影規律的應用就可以大顯身手了。

首先我們可以確定底面△ABC的三個頂點A、B、C在側投影面上形成的投影a"、b"、c"所在的位置。通過畫圖發現A點和C點在側面的投影a"和c"是重影點，再判斷其可見性，a"為可見點，而c"為不可見點（如圖3所示）。現在關鍵的問題就是頂點S所在的位置，它直接決定了這個三角形的形狀。假如S點位于底邊的中垂線上，則左視圖為等腰三角形;假如S點偏離中垂線的位置，則左視圖為一個任意三角形。接著我們可以繼續利用點的投影規律，圓規截取俯視圖中s點到線段ac的距離Y1，立刻就能確定頂點S在左視圖上的投影s"所在的位置（如圖4所示）。顯然，正三棱錐的左視圖為一個類似三角形。通過這道題，我們可以發現，當空間想象力無法解決問題，可以嘗試著借助點的投影的知識點。

下面我們再舉一個例子進行說明，如圖5所示的正六棱柱被切割，利用點的投影繪制出截平面上點在左視圖中的投影1"、2"、3"、4"、5"、6"（如圖6所示），圖形則一目了然了。

相比上一題正六棱柱被切割而言，這個題目（如圖7所示）要復雜得多。首先觀察模型并進行分析其形體結構，該正四棱錐分別被平面P、Q切割（如圖8所示），如果僅憑學生現有的空間想象力似乎困難重重，但是能夠有點的投影加以助力，那問題就能迎刃而解了。

首先，在正面投影上依次標出各側棱與截平面的交點1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′。

其次，先求平面Q截四棱錐的截交線的投影。由1′在俯視圖上求1，由1作四邊形與底面四邊形對應邊平行可得2、5，平面Q與P的交線ⅢⅣ的投影可由3′、4′在俯視圖上求得3、4;側面投影1″、2″、3″、4″、5″可按投影關系直接求得。同理，可求出平面P截四棱錐的截交線的水平投影和側面投影6、7、8和6″、7″、8″。

然后判別可見性，依次連接各點的同面投影。

最后進行整理，擦去多余的線，完成作圖，如圖9所示。

由以上幾個例子，我們能明顯感覺到點的投影規律的應用是普遍存在制圖中的，特別是遇到一些較復雜的圖形時，我們完全可以依賴于點的投影去解決一些較復雜的圖形。而完成以后再由三視圖想象出立體形狀，經常這樣反復地多畫多看多想象，就可以慢慢培養空間想象力，