思維可視化：提升學生的邏輯推理力

何健

摘 ?要：推理是一種貫穿學生數學學習始終的、內隱性的，比較高級、復雜的思維活動。可視化技術是教學的一種重要技術，能助力學生的推理。在數學教學中，教師可通過可視化提煉、可視化導航、可視化展現，提升學生的邏輯推理力。通過可視化技術，讓學生的數學邏輯推理變得有條而不紊，有理且有據。

關鍵詞：小學數學;思維可視;邏輯推理

東北師范大學史寧中教授將學生的主要核心素養概括為“抽象”“推理”和“建模”。其中，推理是一種貫穿始終的、內隱性的，比較高級、復雜的思維活動。從推理形式上看，推理主要包括合情推理和演繹推理。但無論是合情推理還是演繹推理，都具有自身的邏輯，邏輯性應當是推理的重要品性。為了觸摸學生推理的邏輯脈搏，筆者認為，可以借助可視化的思維策略，引導學生的邏輯推理，讓學生的邏輯推理更加有序、有向、有質。

一、可視化提煉，延展學生推理路徑

所謂“思維可視化”，是指“運用圖形、操作、語言等將隱性知識、思維顯性化的過程”。通過思維可視化，能讓學生的數學思維觸手可及、有跡可循、有據可查，同時能讓學生的數學思維動態展現。通過思維可視化技術，可以打開學生的思維黑洞，引導學生的思維走向，發現學生思維的運行模樣。教學中，教師要引導學生對可視化、形象化的操作、圖形等進行抽象、概括、提煉，從而延展學生的推理路徑。

比如教學“兩位數加兩位數（進位）”（蘇教版一年級下冊），教材創設的情境是兩個小朋友，分別有34枚郵票和16枚郵票，要求兩人一共有多少枚郵票。教學中，教師可以借助小棒這一具有“齊性”的可視化素材，引導學生進行可視化的操作，讓學生在操作中理解算理。在操作過程中，學生能主動地將“捆”和“捆”合并起來，將“根”和“根”合并起來，這是由于學生已經擁有了“類”的概念。但學生普遍是先將“捆”和“捆”合并，再將“根”與“根”合并。這樣的本末倒置的操作，反映了“捆”在學生心中的地位。如何讓學生從經驗化的操作提煉為抽象化的算法？筆者在教學中，引導學生借助計數器，進行邏輯思辨：是先撥十位上的1還是先撥個位上的6？在可視化的操作中，學生發現，先撥十位上的1，再撥個位上的6，需要撥三次;而先撥個位上的6，再撥個位上的1，只需要撥兩次，并且比較順手。在可視化的比較之中，學生深刻理解了“滿十進一”的計算算理。可視化操作，抽象、提煉出“兩位數加兩位數（進位）”的算法，即“從個位加起，滿十進一”的計算法則。這樣的計算法則有兩個重要的邏輯意蘊：其一是為什么要“滿十進一”，其二是為什么要從個位加起。可見，推理的邏輯性并不僅僅是傳統的“三段論”，而更包括一種從生活、經驗到數學的提煉、抽象過程。可視化的提煉、抽象，能讓學生的推理路徑得到延展。

在數學教學中，將原本不可見的思維方法、思維策略、思維規律等揭示出來，能增強學生的記憶，加深學生的理解。學生數學思維的可視化，不僅有助于學生建構知識，更有助于學生進行創造性的知識遷移、應用。如上述教學中，當學生理解了兩位數加兩位數的進位法則之后，自然就能理解多位數進位的加法法則。

二、可視性導航，優化學生推理水平

如果說，從生活、經驗到數學的推理是一種橫向數學化的過程，那么，從數學的感性認知到數學的理性認知的過程就是一種縱向數學化的過程。可視化技術，能對學生的數學思維進行引領。教學中，教師可以應用思維導圖、思維記錄單、知識連線等顯性化的思維技術，引導學生進行數學學習。從這個視角說，可視化的技術是“路線圖”，是“導航儀”，也是學生數學學習的“風向標”。

比如教學“多邊形的內角和”（蘇教版四年級下冊），學生認為，要探究多邊形的內角和，可以從簡單的多邊形的內角和開始探究起，如四邊形的內角和、五邊形的內角和、六邊形的內角和，等等。由于學生剛剛學習了三角形的內角和，因此學生都運用探究三角形內角和的方法探究四邊形、五邊形等多邊形的內角和。在探究四邊形內角和的過程中，學生初步感受、體驗到四邊形的內角和比三角形的內角和復雜一些，因為測量、剪拼的角變多了。到了探究五邊形時，學生發現剪拼法已經無能為力了，因為所拼成的角已經超過了平角。基于此，筆者出示思維導圖：四邊形可以怎樣分成三角形方便？五邊形呢？當學生探究出四邊形、五邊形等多邊形與三角形的關系后，筆者運用“可視化的問題”啟迪學生進行邏輯推理，進而概括規律。“四邊形所分成的三角形的個數與四邊形的邊數有怎樣的關系？”“五邊形所分成的三角形的個數與五邊形的邊數有怎樣的關系？”“一百邊形應當可以分成多少個三角形？”“一千邊形呢？”在觀察、比較的過程中，學生發現，從多邊形的一個頂點出發可以分成的三角形的個數比多邊形的邊數少2。在進一步的追問——“為什么從多邊形的一個頂點出發將多邊形所分成的三角形的個數”中，學生從多邊形的對邊、鄰邊的視角，深刻理解了之所以會少2個三角形，正是因為一個頂點只有和對邊才能構成三角形。

可視性導航，引導學生主動猜想、推理、驗證。教學中，教師要整體把握教學內容，運用可視性技術，對學生的思維進行層層引導。學生通過遞進推理，能從對數學知識的感性認知，逐步過渡到對數學知識的本質理解。在這個過程中，不斷地提升了學生的推理水平。

三、可視化展現，提升學生推理素養

將可視化的技術應用到數學教學之中，可以喚醒學生的文本思維，可以激發學生的思維活力，可以引領學生思維的縱深發展。在數學教學中，教師要充分運用可視化技術，引導學生在推理過程中對相關的素材、內容等進行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，從而讓學生數學推理從無序走向有序、從混沌走向清亮，從而不斷提升推理素養。

比如教學“成正比例的量”（蘇教版六年級下冊），對于復雜的問題如“圓的周長和圓的半徑是否成比例、成什么比例？”“圓的面積和圓的半徑是否成比例、成什么比例？”等等，我們可以通過運用可視化的表格，來引導學生進行推理。從假設半徑開始，學生會發現圓的周長、面積都是隨著半徑的擴大而擴大，但學生直觀地發現，圓的周長和圓的半徑擴大的倍數是相同的，擴大的進度是相同的;而圓的面積和圓的半徑擴大的倍數是不同的，圓的面積比圓的半徑擴大的倍數要多得多、快得多。通過可視化的表格，學生感悟到，圓的周長和圓的半徑以及圓的面積和圓的半徑的關系不是同一種關系。通過可視化表格的展示，筆者引導學生計算圓的周長、圓的面積和圓的半徑的比值，由此促進學生深刻理解圓的周長與圓的半徑成正比例，而圓的面積與圓的半徑不成比例。這里，可視化的展示、展現，讓學生的數學思維從模糊走向清晰。

可視化技術是教學的一種重要技術，能助力教師的教和學生的學。在數學教學中，當學生遇到復雜的、疑難的問題之后，可以借助可視化的展示，廓清學生的數學認知，梳理學生的數學思考，幫助學生整理信息、厘清關系。如此，學生的數學學習就能有條而不紊，數學思維就能變得有理且有據。