主題整合：讓數學學習走向深刻和多元

佘路祥

摘 ?要：小學數學“主題整合”教學從學生生命成長視野出發，基于學生經驗和數學學科特質，力圖讓學生數學學習走向深刻、多元。以《圓的認識》教學為例，通過圓的外形美、內在美、構造美、應用美，催生學生的數學思維、想象，提升學生的數學學力，發展學生的數學核心素養。

關鍵詞：小學數學;主題整合;圓的認識

小學數學教學呼喚整合。小學數學主題整合教學是指“在現有課程的基礎上，圍繞某個主題將小學數學學科內或學科外相關聯的內容進行整合融通，構造學習內容的交叉地帶，以問題解決為載體，以提升學習力和綜合素養為追求，引領學生進行跨界學習的一種教學方式”。下面以《圓的認識》一課為例，談談怎樣進行主題整合教學。

畢達哥拉斯學派認為“在一切平面圖形中，圓是最美的”，本節課教學可用尋美作主線，從外形美、內在美、構造美、應用美四個方面對圓展開立體化研究，通過數學學科內部整合、數學與生活整合、數學與實踐整合、數學與其他學科整合，改變學習方式，豐富學習經驗，提升思維水平，給學生呈現一節豐滿的圓文化課程，引領學生經歷一段充滿張力的思維旅程。其教學過程如下：

一、觀察比較，感受圓的外形美

（出示自然界、建筑物、藝術品、工具、運動中的圓。）

師：這些物體上有圓嗎？生活中你還在哪里見到過圓？看到這些含有圓的物體，你有什么感受？

師：古希臘數學家曾說，“在一切平面圖形中，圓是最美的”。

（出示長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形。）

師：這些是我們已經認識的平面圖形，和它們相比，你覺得圓究竟美在哪里？

生1：圓沒有角，其他圖形有角。

生2：圓的線條很柔和，它的邊是一條彎曲的線，其他圖形的邊都是直的線段。

生3：圓非常飽滿，象征著圓滿。

生4：圓非常勻稱，在各個方向上“寬度”相等。

……

師：同學們觀察得很仔細，圓是一種曲線圖形，柔和、飽滿、勻稱，圓的外形確實很美。

【設計意圖：設置豐富的生活情境讓學生充分感受到圓在生活中隨處可見，從而激發對圓的認知需求;借用數學家的一句話，引發學生對“圓是最美的”的探究欲望;通過與其他平面圖形進行對比，初步感知圓的外形美。從尋美的角度為新課展開做好鋪墊。】

二、操作思考，體驗圓的內在美

1. 操作

師：為什么圓的外形如此美呢？讓我們一起走進圓的內部，探索背后的秘密。請拿出圓形紙片，沿不同的方向對折，你有什么發現？

生1：我發現圓對折后能完全重合，它是一個軸對稱圖形，折痕就是它的對稱軸。

生2：我發現這些折痕的長度都相等。

生3：這些折痕都相交于一個點。

生4：每條折痕的兩個端點到圓中心的長度是相等的。

師：真了不起！發現了這么多秘密！這些折痕對應的線段是圓的直徑，用字母d表示，這些直徑相交的點是圓心，用字母O表示，從圓心到圓上任意一點的線段是半徑，用字母r表示。在圓片上用字母標上圓心、直徑和半徑。

2. 思考

師：一個圓的直徑和半徑分別有多少條？它們之間有怎樣的關系呢？

生1：沿任意方向對折都能折出一條直徑，所以直徑有無數條，半徑是直徑的一半，半徑也有無數條。

生2：我測量了后發現直徑的長度都相等，半徑的長度也相等。

生3：我認為要加上“同一個圓中”，因為我手上的這個小圓的直徑和他手上大圓的直徑就不可能相等。

師：古人把圓的這個特征叫作“一中同長”。你能理解這四個字的含義嗎？

生1：一中就是一個中心，也就是一個圓心，同長是指圓上任意一點到圓心的距離都相等。

生2：同長除了表示半徑相等，也可以表示直徑相等。

師：因為有了一中同長的特征，所以使得無數個離圓心距離相等的點匯聚成了一條完美的曲線，這樣一來，圓的外形還能不美嗎？

【設計意圖：在教學“一中同長”這一圓的基本特征時，借助圓形紙片，通過對折、觀察、思考等活動過程，輔以教師的點撥，引導學生自主發現圓的圓心、直徑、半徑及其相關特征，并歸納得出“一中同長”這一圓的本質屬性。這種整合設計具有明顯的優越性，既豐富了學生運用操作和觀察探索圖形特征的固有數學活動經驗，又避免了探索圓“一中同長”特征的通常做法中“虛假發現”的缺陷，同時還讓學生理解了圓外形美的內在原因。】

3. 延伸

師：這個圓內畫了4條線段，哪條線段最長？（圖1）

圖1

生：直徑最長。

師：你是怎么知道的？

生：我是看出來的，也可以量一量。

師：觀察、測量可以知道結果，其實推理也能幫助我們進行判斷。從圓心畫兩條半徑和④號線段構成一個三角形，有沒有受到什么啟發？

師：繼續觀察，和③號線段也構成一個三角形（如圖2）。有什么想說的？

圖2

生1：因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以這兩條半徑的和大于③號線段的長。

生2：兩條半徑拉直了就是一條直徑，所以直徑比其他線段都要長。

師：我們一起見證一下（課件動態演示）。由此可見，連接圓上兩點的線段中，誰是最長的？

生：直徑是連接圓上兩點的最長線段。

【設計意圖：探究圓上最長線段時，淡化了傳統的用直尺固定一點，旋轉比對的方法，從圓跨界到三角形，借助三角形的三邊關系進行推理，學科內部進行整合，打通前后知識的關聯，凸顯數學內在的邏輯演繹，引領學生進行深度學習。】

三、探究作圖，體會圓的構造美

1. 啟發

師：如果我們要畫一個圓，運用什么工具才能畫出具有“一中同長”特征的圓呢？

生1：用圓規來畫圓。

師：用圓規怎樣畫圓？

生2：先把圓規的兩只腳叉開，然后把針尖固定在紙上，捏住手柄旋轉一周就能畫一個圓。

師：能說說理由嗎？

生3：圓規針尖對應的點就是圓心，兩只腳之間的距離就是圓的半徑，滿足“一中同長”的特征。

師：除了用上面的方法，我們可不可以創造一個工具來畫圓呢？

生4：把直尺的一端固定，另一端裝上筆，旋轉一周就可以畫一個圓。

生5：把棉繩的一端固定，然后拉直，另一端套上鉛筆旋轉一周就能畫圓。

生6：握緊兩支筆，一支筆的筆尖固定作為圓心，另一支筆旋轉一圈就行了。

師：真不簡單，想到這么多種方法，這些方法是不是都能成功畫圓呢？每人選擇一種方式，嘗試畫一個圓。

2. 交流

師：我們用不同的方法畫圓時，分別要注意什么呢？

生1：用圓規畫圓時，兩腳之間的距離不能變化，圓規最好傾斜一點畫。

生2：用棉繩畫圓時，固定的一端一定不能動，畫的過程中繩子要拉緊，不能松，不然就做不到“一中同長”，也就畫不成圓了。

生3：用兩支筆畫圓時，兩支筆都不能動，把本子旋轉一周畫起來才方便。

3. 內化

師：如果把棉繩換成皮筋，也能畫圓嗎？誰來試一試。

師：為什么用皮筋畫不出圓呢？

生1：皮筋有彈性，畫圓時長度會變化。

生2：筆尖到固定點之間的長度一會長，一會短。

師：看來要想成功畫圓，必須滿足“一中同長”的特性。

【設計意圖：認識了圓“一中同長”的特征后，要求學生畫圓，學生提出用圓規或圓形物體可以畫圓后，再次要求學生創造一種畫圓的工具，讓數學和實踐整合，打開學生思維——畫圓不一定用圓規。正確畫圓后進行交流，感悟不同畫法之間的共同屬性。而后讓學生用有彈性的皮筋畫圓，一番努力之后發現無法畫成功，對比沖突中感受畫圓時定點和定長的必要性，充分感悟圓的構造之美。】

四、實例分析，理解圓的應用美

1. 研究

師：圓在生活中有著廣泛的應用，各種車輪、很多蓋子都設計成圓形，這是為什么呢？請大家拿出車輪模型和奶粉罐，開始研究。

2. 交流

（1）師：哪一組來匯報車輪的研究結果？

生1：車輪設計成圓形，滾動時摩擦力比較小，所以滾得快。

生2：我發現車軸安裝在圓心，車輪轉動時車軸與地面的距離相等，從而比較平穩。

師：車輪設計成圓形應用了圓的什么特征呢？

生：圓心到地面的距離就是圓的半徑，用了同一個圓的半徑都相等的特征。

師：如果車輪設計成方形會怎樣呢？

（課件演示方形車輪運動軌跡。）

（2）師：奶粉罐的蓋子為什么設計成圓形呢？

生1：圓沒有棱角，不容易傷到小朋友。

生2：不管從哪個角度，都能很容易把蓋子蓋上去。

（課件演示方形蓋子容易掉下去。）

師：這又是應用了圓的什么特征呢？

生1：直徑是圓上最長的線段。

生2：同一個圓的直徑都相等。

【設計意圖：能用數學知識解釋生活現象是學生學習數學的理想境界。選擇車輪和蓋子兩種素材，放手讓學生去研究為什么設計成圓形，數學和生活整合，培養了學生應用數學的能力。】

五、總結提升

1. 回顧

師：學到這里，誰來說一說，這節課你學到了什么？

生1：我知道圓是美的圖形，具有一中同長的特性。

生2：我認識了圓心、半徑、直徑，知道了它們的關系。

生3：我能用圓解釋一些生活現象。

2. 拓展

（課件依次出示風漩渦、水漩渦、樹干截面、鳥窩。）

師：圓是美的圖形，美在外形、美在內在、美在構造、美在應用。圓的美，風知道、水知道、樹知道、鳥兒也知道。

（課件依次出現和圓有關的詞語、詩句、名言、數學思想。）

師：圓的美還在于思美、言美、詩美……圓的美還期待著同學們去探索、去發現！

3. 延伸

（出示實踐作業：①測量一棵大樹的直徑;②做一個尺規，可以畫大小不同的圓。）

師：請大家課后選擇一項完成。

【思考：課尾從數學上的圓到自然現象中的圓再到文學作品中的圓，多次整合，引領學生打破學科壁壘，從數學之外觀察圓，感悟圓的美，最后再回到圓出于方、化圓為方等數學思想。布置學生完成實踐作業，以期學生學以致用，帶著問題離開課堂，去追尋更美的境界。】

小學數學采用主題整合的方式重組學習材料、優化學習資源，能開闊學生視野，激發學習興趣，培養整體思維，讓數學學習走向深刻和多元。