注重類比 突出探究

楊小芳 何孟瑤 趙緒昌

[摘 ?要] “認識分式”是一節概念課，通過跑步問題的情境引入，學生嘗試歸納出分式的概念，教師總結. 通過展示跑道，提問已知路程和速度，怎樣去表示時間. 觀察、對比得到的式子，類比分數的概念，歸納出分式的概念，進一步對分式有意義、無意義、值為0的三個條件進行探究. 課堂實施金字塔小組競爭，層層連貫，邏輯緊密，注重啟發學生的思維，將類比的數學思想貫穿課堂.

[關鍵詞] 分式的概念;兩個應用;三個條件;類比思想

教學內容及內容解析

“認識分式”是義務教育課程標準實驗教科書（北師大版）八年級下冊第五章第一課時，是一節概念課的教學，通過對學生實際生活問題提問，列出代數式，引導學生通過類比法歸納出分式的概念以及分式無意義、有意義、值為0是本節課的核心內容.

分式的概念滿足三個特征：①形式上，如 ;②A，B為整式;③B式中含有字母. 引導學生類比分數得出概念，學生通過與自身相關的問題入手，列出式子，觀察其形式，討論得出分式概念，教師歸納. 這里體現了類比、歸納的數學思想.

學生除了會認識分式以外，還會根據給定字母的值求分式的值，在探究的過程中，發現分式和分數類似，若分式無意義，則分母為0;分式有意義，則分母不為0;若分式的值為0，則必須滿足分式的分子為0，分母不為0. 在掌握知識的前提下，對重難點加以練習，及時總結、反饋、歸納數學思想.

教學目標和目標解析

理解分式的概念，掌握分式無意義、有意義、值為0的條件. 學生經歷觀察代數式的特征總結得出分式的概念，在合作探究中總結分式有意義和值為0的條件. （1）以描述實際問題中的數量關系為背景抽象出分式的概念，建立數學模型，并理解分式的概念. （2）會根據條件計算分式的值. （3）能夠通過分式的定義理解和掌握分式有意義的條件.

教學問題診斷分析

分式的概念是與分數對比得到的，學生對概念的理解缺少實際體會，所以在引入的過程中，從學生的身邊問題入手，能夠引起學生共鳴，進而對概念的理解加強印象.

教學重點：理解分式的概念及分式有意義的條件.

教學難點：能熟練地求出分式有意義的條件及分式值為0的條件.

教學條件支持

借助多媒體展示與學生生活相關的畫面，引導學生觀察分數、分式的相同點和不同點進行歸納.

學生的學法應以自主探究和合作交流為主，體會分式的概念，教師采用類比的數學思想和互動探究式教學方法.

教學過程

1. 創設情境，引入新課

教師：同學們，看到大屏幕展示的跑道，回憶運動會上：

（1）你跑100 m要用多長時間？能夠表示出自己的速度嗎？

（2）假如你跑s m，用了21 s，你能夠表示出自己的速度嗎？

（3）假設你跑200 m，用了t s，你能夠表示出自己的速度嗎？

（4）假設我跑（s+50） m，結果用了（t+8） s，你們能夠表示出我的速度嗎？

學生1：（1）我跑100 m大概需要13 s，速度為 ?m/s.

學生2：（2） ?m/s.

學生3：（3） ?m/s.

學生4：（4） ?m/s.

設計意圖 ?問題的提出和學生的生活相關，學生能夠利用已有知識列出式子.

教師：同學們，我們觀察得到的這些式子，前兩個式子與后兩個式子在形式上有什么相同點和不同點？（小組討論，給出結論）

學生1：都是分數的形式，都含有字母.

學生2：前兩個式子的分母是數字，后兩個式子的分母含有字母. （該同學所在的小組在金字塔上前進一格）

教師歸納并展示相同點與不同點. 相同點：都具有分數的形式;不同點：后兩個式子的分母含有字母.

設計意圖 ?通過討論，學生能夠發現這些式子都是分數的形式，但是后兩個式子中的分母都含有字母，能夠發現后兩個式子在我們已經學過的基礎上的不同.

2. 反思提煉，探索概念

（1）引入概念

教師：根據剛剛我們總結的相同點與不同點，前兩個式子是我們以前學習的分數，而像后兩個式子，分母含有字母的式子是分式，類比于分數的概念，我們歸納得出分式的概念.

分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么代數式 叫作分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母.

教師板書概念特征：形如 ;A，B都為整式;B中含有字母.

設計意圖 ?學生類比之前學過的分數，能夠得到分式概念的特征，加強分式概念的理解，體現類比的數學思想.

（2）教師：接下來，我們來看看大家都認識分式了嗎？

（投影展示）下面哪些是分式呢？

2a， （a+b）， ， ， ， .

學生1： ， ， .

學生2：我認為 不是分式.

教師：為什么你認為它不是分式呢？

學生2：因為分子和分母可以約掉一個a，結果是4a，是整式.

教師（贊賞）：這個問題提得非常好，但我們觀察式子是不是分式，只需要看它的原始形式，不需要進行化簡. 其次，（強調）π是常數.

設計意圖 ?通過對分式概念的理解，區別之前學過的整式，學生能夠認出分式.

（3）重組分式

教師：認識了分式，我們看看大家能不能自己寫分式. 在下列式子中任選兩個式子組成分式：a+2，a2-4，1.

學生上黑板板書： ， ， ， .

教師：同桌交換檢查列舉出來的是不是分式，只需要滿足分母含有字母的都是分式. （列舉正確的小組在金字塔前進一格）

3. 例題精析，鞏固應用

教師：給出例題.

例1 ?對于組成的分式 ，若給出a=1，0，-2時，你能求出分式的值嗎？

學生1：當a=1時，原式=-1;當a=0時，原式=-2;當a=-2時，原式=0.

學生2：當a=-2時，分母=0，此時，分式是無意義的.

在學生試錯的基礎上，教師運用類比思想，分式和分數一樣，要使分式有意義，則分母不能為0.

設計意圖 ?通過學生自己列舉的分式，進行延伸，若賦予字母值，能夠計算分式的值，同時能夠發現，分式和分數類似，若分母為0，則分式無意義.

歸納：類比分數，當分式的分母為0（即B=0）時，分式無意義;要使分式有意義，則分母不為0（即B≠0）.

例2 ?下列分式中的字母各滿足什么條件時，分式有意義？

（1） ;（2） ;

（3） ; （4） .

學生分小組進行比賽，看哪個小組完成得又快又準. 一小組給出答案：（1）x≠ ;（2）a≠±1;（3）x為一切實數;（4）x≠1. （全部正確的小組在金字塔前進一格）

設計意圖 ?能夠用類比的思想，得出分式有意義的條件，分母不為0.

例3 ?當a為何值時，分式 的值為0？

小組討論：分式的值為0，應具備怎樣的條件？類比分數：需要滿足分子為0且分母不為0.

設計意圖 ?能夠類比分數，得到分式值為0的條件：分式的分子為0且分母不為0 .

歸納：類比分數，要使分式的值為0，一樣要滿足分式的分子為0且分母不為0.

4. 應用遷移，目標檢測

（1）（鹽城·中考）下列式子中，分式有______.

① a2b- ab2;② ;

③ ;④ ;

⑤ -y;⑥ .

學生：④⑥.

（2）當x=________時，分式 無意義.

學生：要使分式無意義，則分母為0，即x=1.

（3）（資陽·中考）當x =______時，分式 有意義.

學生：要使分式有意義，則分母不為0，即x≠-1.

（4）（內江·中考）當x為何值時，分式 ?的值為0？

學生：要使分式的值為0，則滿足分式的分子為0且分母不為0，即x=2.

（全對的小組在金字塔前進一格，最后對率先達到金字塔頂端的小組進行獎勵. ）

設計意圖 ?四道習題緊扣重點，判斷學生知識的遷移應用，當堂檢測學生的掌握情況，起到能夠認識分式的反饋作用，掌握分式無意義、有意義、值為0的三個條件.

5. 小結歸納，總結提升

一個概念：分式的概念.？搖

兩個應用：列分式;求分式的值.

三個條件：

分式無意義的條件：B=0;分式有意義的條件：B≠0;分式值為0的條件：A=0且B≠0.

數學思想：類比思想.

設計意圖 ?通過回顧與反思，讓學生優化概念，內化知識.

教學反思

（1）通過和學生實際生活相關的跑步問題入手，列出分數和分式，學生通過類比來自主探究分式的概念.

（2）整個教學過程讓學生自己動手探究，從賦予字母的值，能夠求出分式的值，從而得到分式無意義、有意義、值為0的條件，再更好更快地掌握這些知識點，同時也培養學生運用類比的數學思想解決問題的能力. 在教學過程中，注重數學思想的歸納與總結.

（3）例題與練習的選用緊扣本節課重難點，環環相扣，學生在練習的過程中，能夠自己歸納，掌握方法.

（4）在本堂課的教學過程中，采用小組金字塔比賽法，每個教學過程中，都以小組為單位，回答正確，小組前進一步.最后，走到金字塔頂端的小組獲勝，這樣的設計能夠充分調動學生的積極性，并且取得了不錯的效果.

總體評價

（1）引入巧妙、貼近生活. 利用學生自己的100 m跑步成績為話題作為課堂的切入點，通過交流、討論等形式呈現結果，讓學生及時并積極地發現這些式子形式上的相同點與不同點來以此引入新課，從而大大地激發了學生的興趣和求知欲.

（2）數學思想方法滲透和使用到位. 類比是一種方法，也是一種思想. 何老師通過類比分數定義的方式，讓學生在已有的分數認識的基礎上去認識分式，從中去感受類比思想的益處;整堂課設計始終遵循從具體到抽象，從特殊到一般的認識規律，輕松高效地完成了教學任務. 我們都知道，正確認識分式的基本概念是學習分式的基本運算、分式方程的基礎，因此從基礎的夯實和方法的滲透上來講，何老師均有充分的準備.

（3）教學環節完整流暢、層次分明、過渡自然.？搖整堂課在設計上一環緊跟一環，環環相扣、層層遞進. 特別是：通過學生自己重組分式的設計及之后進行的一系列的延展例題探究學習，讓學生從練習中發現知識，并應用知識解決問題;讓學生充分體驗到成功的喜悅，使每個層次的學生都能得到不同的發展.

（4）教學方式多樣化，激發學習興趣.在課堂上積極嘗試使用觀察發現、小組合作討論、同桌互相幫助等方式方法進行教學，充分信任學生，最大化地發揮學生的主體能動性，讓學生在平等的交流中充分展示自己的自信與潛能. 教師在整個過程中只是扮演了學生學習和探究的啟發者、合作者、促進者. 真正意義的小組合作學習，充分賦予了課堂強烈的生命力. 讓學生感悟到自己是學習的主人，激發學生學習的內驅動力，引發學生學習的興趣.

（5）精準選題，學以致用. 設計的練習和例題不僅選題典型，由淺入深，層層推進，能照顧不同層次的學生，而且結合中考試題，讓學生明確本節課所學知識在中考的考法.

教學建議

（1）應注重知識體系的構建. “認識分式”作為章頭節，教材以列舉生產和生活過程實際問題出現了形如 ， ， ， 等代數式引入，教師還可以啟發學生：前面學習了整式的概念及加減乘除等運算，整式的除法也可能會產生分式，從而引入學習分式的意義.

（2）應注重課堂生成. ①教師在引入環節，引導學生觀察得到的式子在形式上有什么相同點時，學生很快說出它們都是分式時，教師的回答是：“啊！你這么快就給出分式的定義了？”此時，教師不僅要肯定學生的答案的正確性，而且要肯定這位同學提前預習的好習慣，并且順勢追問：“那你能給同學們分享一下，你是怎么理解分式的？”

②練習環節中：（內江·中考）當x為何值時，分式 ?的值為0？此題學生的難點是，分類討論x=2或者x=-2時，驗證分母不等于0這一條件;對于學生出現的錯誤，應先在小組內討論分析，最后學生在全班分析匯報，教師最后總結強調.

（3）注重學生思維過程的訓練.對于例2，教師不應該僅讓學生口述答案，應著重讓學生分析每個式子的特征，并區別小題“（2）（3）（4）”的不同之處，然后教師再歸納重點.