新課標下高中函數值域、最值求解方法的探究

楊煜東 （內蒙古自治區呼和浩特市第二中學）

函數值域問題和最值問題是兩個不同的概念。簡單地說，存在最值的函數，其未必有確定的值域；反之，值域確定的函數未必有最大值、最小值。只是在常見的一些函數中，函數值域與最值的求解方法是相通的、類似的。歸納起來，常用的方法有：觀察法、配方法、分離常數法、判別式法、反解法、數形結合法、換元法、均值定理法、對勾函數法、導數法

一、觀察法

某些函數形式比較簡單，可以通過觀察法較為迅速地得出函數值域，例如求下列函數的值域：

（2）f(x)=1-2x，x∈R

分析：以上三個函數分別屬于含絕對值函數、一次函數、分段函數，其定義域已經給定，其各自的值域我們可以通過觀察的方法迅速得到，分別為：（1）{-1，0，1}；（2）R；（3）{0，1}

二、配方法

以二次函數的相關性質、圖像為依托，利用數形結合思想求解某函數在給定區間的最值和值域問題。這種方法一般適用于形如：

求函數的值域:f(x)=x2-2x-3，x∈［-2， ］2

分析：f(x)=(x-1)2-4

此函數為標準一元二次函數，其圖像為

小結：對二次函數型值域問題，我們通?？梢圆捎门浞讲⒔Y合圖像的方法求解。

三、分離常數法

分析：由x2+x+1＞0 得，該函數定義域為R

令 u=x2+x+1，則

小結：分離常數的方法也可用于上述類型函數值域的求解，同時，以上解法中整式相除的方法值得關注，會為我們解題帶來便利。

當然上述例題也可以用其他方法求解.

四、判別式法

（1）在△≥0中，應考慮“=”是否成立

（2）由于在變形過程中涉及去分母,故應考慮函數的定義域是否為R

（3）應討論 f(y)=0 的情形

（4）原函數定義域應為自然定義域

分析：原函數變形為（x2+x+1）y=3x2+3x+1整理得（y-3）x2+（y-3）x+y-1=0，（*）

（1）y-3=0 時，方程式不成立

（2）y-3≠0 時，（*）式在 x∈R 時有解，

小結：該解法將函數值域問題轉化為判斷方程根的問題，利用一元二次方程的判別式求解值域。

注：本解法更適用于定義域為R 的兩個二次式相除的值域問題。

五、反解法

分析：原函數變形得2y+ycosx=2-sinx

即sinx+ycosx=2-2y

小結：這種方法是利用某些函數的特性，例如有界性，將原函數反解，轉化為關于函數值y 的不等式，進而求解出原函數的值域。

一題多解是數學中培養學生思維能力的很有效的一種方法，像上述這道題我們還可以借助于數形結合的思想探究該問題。

六、數形結合法

數形結合是高中數學核心素養中要求學生掌握的一種重要的思維方法。形是數的外在表象，數是形的靈魂實質，華羅庚先生曾講：數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。足見數形結合思想的重要性。

我們可以給上式賦予一定的幾何含義——斜率k

可以理解為點 P（-cosx，sinx）和點 Q（2，2）連線的斜率，而P 點是單位圓上的點，結合上圖

由圖可知:PQ 連線介于圖中兩條切線之間，我們可以建立PQ 的直線方程為：

y-2=k(x-2)，即 kx-y+2-2k=0

數形結合思想將“數”與“形”有機地結合在一起，使得我們的抽象思維具有現實的依托，更便于我們對知識的理解與探究。

七、換元法

很多時候，試題中的已知和待求的結論很難看出直接聯系，甚至是相去甚遠。因此，為了建立已知和未知的聯系，我們常常會引進一個（或幾個）新的變量來替代原有的變量，旨在揭示出已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實質，從而探究出解題的切入點。換元法是一種重要的解題方法，掌握這種方法的關鍵是構造變換式，常見的換元形式有：代數換元、三角換元、參數換元。

小結：處理上述類型無理函數常用的方法是將其轉化為有理函數，通過換元的方法，將原函數轉化為t 的二次函數問題。

八、基本不等式法（均值定理）

均值定理的核心：如果若干個正數的積（或和）為常數，則當且僅當這若干個正數相等時，它們的和（或積）有最?。ɑ蜃畲螅┲?。

求下列函數的值域

分析：

分析:

小結：針對某些函數，我們可以通過變形，構造均值定理的基本形式，利用均值定理求解函數值域，但應注意均值定理適用的條件——“正，定，等”，如果我們遇到“貌合神離”的試題又應如何處理呢？比如下面這個例題

九、對勾函數法

求下列函數的值域

分析：

若該函數用均值定理求解值域，不滿足等號成立的條件，于是上法不可取。

該函數圖像如圖

結合圖像可知:f(x)在[2，+∞）上單調遞增

分析：

由對勾函數可得

課程改革之后，將微分學的初步知識引入到了高中教材之中，為我們求解函數值域問題帶來了很大的方便，使得利用導數知識研究函數問題成為一種常用的方法。

十、導數法

求下列函數的最大值和最小值

利用導數研究函數單調性，再根據定義來確定函數的值域與最值

（1） f(x)=x3-2x2+1，x∈［-1，］2的最大值和最小值

分析：

f'(x)=3x2-4x，令 f'(x)=0，得

得列表

?

由表可得f(x)max=1，

所以，x∈[-1，2]時，f(x)=x3-2x2+1 的最大值為1，最小值為-2

分析：

f'(x)=3x2-3ax=3x（x-a），令f'(x)=0，得x=0或x=a

分析：

∴f(x)在區間[0，a]上單調遞減，在[-1，0]和[a，1]上單調遞增

由f(x)的單調性可知，f(x)最大值只可能在f(0)和f(1)中選取f(x)最小值只可能在f(-1)和f(a)中選取

分析：

當 f'(x)＞0，即x＞-ln a 時，f(x)在(-lna，+∞)上單調遞增；

當 f'(x)＜0，即x＜-lna 時，f(x)在（-∞,-lna）上單調遞減；

i）當 0 ＜a ＜1 時，-Ina＞0，f(x)在（0，-lna）上遞減，

在（-Ina，+∞）上遞增，

∴f(x)在[0，+∞)內的最小值為 f(-1ma)=2+b

ii）當 a≥1 時，-Ina≤0，f(x)在[0，+∞)上遞增,

以上給出的是求函數值域的常用方法，有時還要把這些方法結合起來使用，同時在求解函數值域時也應特別關注函數的定義域、奇偶性、周期性、對稱性等一系列性質，這將對我們解答試題以及探究函數問題提供很大的幫助。