直觀引發歸納　轉化明晰算理

談起推理，很多人不由自主地想起中學幾何證明中的演繹推理，其實推理并不是中學幾何的“專利”，它在數學的其他領域也被廣泛運用。然而，計算教學中的推理運用往往被師生所忽略和遺忘，本文僅以人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“小數乘小數”為例，談談歸納推理和演繹推理在計算教學中的有效運用。

一、借助幾何直觀，進行歸納推理

借助幾何直觀能把抽象的結論變得形象化、可視化。六年級的“分數乘以分數”幾何模型的呈現方式可使學生很形象地理解“分數乘分數”計算的算理和算法。利用小數和分數的密切關系，借鑒這種幾何直觀圖，可使學生對小數乘以小數的計算結果從直觀感知走向直觀理解，進而引發直觀猜測、直觀推理。

如可以出示探索題：王老師家裝修房子 ，購買了一種長0.6米，寬0.4米的長方形瓷磚，每塊瓷磚的面積是多少平方米？

師：怎樣列式計算？

生：0.6×0.4= 。

師：這道題與以前的小數乘法有什么區別？

生：以前學的是小數乘整數，這題兩個數都是小數。

師：這就是今天要學習的內容“小數乘小數”（板書課題），你會算嗎？（學生嘗試）

生：0.6×0.4=2.4，因為0.6和0.4都是一位小數，所以乘積也是一位小數為2.4。

生：0.6×0.4=0.24，因為0.6米=6分米，0.4米=4分米，6×4=24（平方分米），24（平方分米）=0.24（平方米）。所以0.6×0.4=0.24。

師：哪位同學明白他的方法？

生：他是把小數乘法借助單位換算轉化為整數乘法，算完后又把單位換算回來的。

師：這位同學很善于發現別人的閃光點，還有別的方法嗎？下面的圖你能看懂嗎？

生：這是一個邊長為1米的正方形，陰影部分是長6分米，寬4分米的小長方形，其面積占大正方形的24/100，用小數表示為0.24，所以0.6×0.4=0.24。

師：能從圖中看到乘積，不簡單，如果讓你計算0.6×0.9 ，你會嗎？

生：可以假設0.6和0.9的單位為米，轉化為分米進行計算，結果為54平方分米，然后換算以平方米為單位，算出0.6×0.9=0.54。

生：我是借助畫圖的方式，從下圖中可以看出0.9×0.6占大正方形的面積的54/100，所以0.9×0.6=0.54。

師：這兩題在方法上什么相同之處？

生：都是借助單位換算轉化成整數乘法，算完后，再通過單位換算求出原來的結果，還可以借助畫圖的方法表示兩個小數相乘的結果。

生：我還發現兩個一位小數相乘，積就是兩位小數。

師：僅僅從兩個例子就得到這個結論，是否正確，還有待驗證。

學生獨立探索小數乘小數的計算方法，有的學生借助已有的小數加減法的計算經驗進行類比推理，造成乘積中小數點的位置錯誤;有的學生借助生活經驗，利用單位換算轉化成整數乘法進行計算，然后進行單位還原求出結果;還有的學生利用小數和分數的關系，數形結合，借助直觀模型形象地詮釋0.6×0.4的結果。接著，教師出示0.6×0.9，學生運用剛剛學到的方法，利用轉化表征或者圖形表征來呈現結果。經此探究，引發了學生的直觀洞察，他們進行不完全歸納推理：兩個一位小數相乘，積是兩位小數。因為不完全歸納推理的結論具有或然性，所以教師要引導學生對發現進行驗證。

二、借助演繹推理，明確背后算理

因為不完全歸納法推導出來的結論具有或然性，可能是正確的，也可能是錯誤的，因而對結論的驗證必須要經過演繹推理，只有通過演繹推理嚴格論證才能確定結論的必然性。而最新研究表明，10～11歲是兒童演繹推理認識的快速發展期，因此，作為數學教師，我們可以依據自己的教學內容，逐步滲透之，只要學生能“夠得著”，我們就要開展演繹推理，讓學生走出依靠直觀形象和感性經驗進行合情推理的框框，展開有根有據、有條有理的論證，讓學生明白其中蘊含的道理，幫助學生樹立理性思維。下面是王老師家房間和外面陽臺的平面圖。

師：你能提出什么問題？請列出算式。

生：房間的面積多少平方米？列式為3.8×3.2。

師：大家嘗試一下？

生：利用單位換算把3.8米和3.2米轉化為38分米和32分米，38與32積為1216，1216（平方分米）=12.16（平方米），所以3.8×3.2=12.16。

師：不借助單位換算的方法，能否說明小數乘法的計算道理？

生（皺著眉頭）：從3.8變成38擴了10倍，3.2變成32也擴大10倍，積也會擴大的，那怎么辦？

生（激動地說）：我明白了，3.8和3.2分別擴大10倍是38和32，積就擴大100倍，然后把38和32的積縮小100倍是12.16。（結合學生的說明完成板書如下）

生：小數乘法是轉化成整數乘法計算的，然后點上小數點。

師：一道題帶給大家的感悟不少，會算陽臺的面積嗎？

（學生獨立計算后展示）

生：我是按照小數點對齊計算的，算完后把小數點拉下來積是43.7，大家同意嗎？

生：我不同意，如果把兩個小數都看大一點，分別是2和4，乘積才是8，這題中積比8小。

師：利用估算初步判斷1.15×3.8不等于43.7，正確的該如何計算呢？

生：按照末尾對齊來計算，把1.15和3.8分別擴大100倍和10倍為115和38，乘積就擴大1000倍，115與38的積是4370，最后把積縮小1000倍為4.37。

師：算出的積符合剛才估算的結果嗎？（學生贊同）這位同學不僅說出了結果，還說明了原因。它們計算時有什么相同點？

生：都是轉化成整數乘法進行計算的。

生：小數乘法列豎式計算最好末尾對齊。

師：為什么小數乘法列豎式計算末尾要對齊？

生：小數乘法列豎式計算如果小數點對齊，積的小數點和乘數的小數點不一定對齊。它和小數加減法不一樣，小數加減法計算時小數點對齊，結果的小數點和上面小數點也對齊。

生：小數乘法是轉化成整數乘法來計算的，與小數點是否對齊沒有關系。

師：這幾位同學講得很好，能從小數乘法計算本質說明末尾對齊的合理性。

計算的本質就是推理，就是寓理于算的過程，本環節學生在剛剛獲得兩個一位小數相乘的算法后，能夠利用單位換算完成3.8×3.2的計算。但是學生對小數乘法的理解僅停留在“知其然”的表面上，沒有理解藏在背后的算理。教師的適時追問“不借助單位換算轉化的辦法能否說明小數乘法的計算道理”“ 逼迫”學生進行了深入思考，通過箭頭的指向打通了小數乘法和整數乘法之間的聯系。學生有條有理地闡釋了其中乘數和乘積的變化，逐步理解了小數乘法是利用積的變化規律轉化成整數乘法計算，然后把積縮小相應的倍數求出原來結果的算理。轉化過程的每一步都是嚴謹而有根據的，詮釋了演繹推理的魅力，使學生明晰了背后的算理，從而“知其所以然”。教師并沒有滿足于學生對3.8×3.2算理的理解，而是請其獨立計算1.15×3.8。學生展示各自的算法并有理有據地闡釋，通過對比，學生真正明白小數乘法末尾對齊的根本所在——都是轉化成整數乘法進行計算，有效消除了小數加減法給小數乘法計算帶來的負遷移，使其由對小數乘法由關注外在形式走向深刻理解內在結構。

三、注重說理訓練，總結計算方法

通過不完全歸納法學生發現了小數乘法計算的關鍵點——乘積小數的位數和兩個乘數小數位數之間的關系，然后通過演繹推理證明了開始的猜想。經歷兩種推理，學生進一步明確了小數乘法計算算理。算理是內隱的，算法是算理的外在表達方式，于是算法的總結完善就成為計算教學的必然。

師：你能給下面各題的積點上小數點嗎？

生：0.87×0.9兩個乘數分別擴大100倍和10倍，轉化成87×9=783，然后積再縮小1000倍，成為0.87乘0.9，結果是0.783。

師：積的小數位數是怎樣確定的？

生：8.7和0.9都是一位小數，積7.83是兩位小數，72.9和0.04分別是一位和兩位小數，乘積2.916是三位小數。

生：我發現“積的小數位數就是兩個乘數中小數位數的和”。

師：大家同意這位同學的發現嗎？

生：我不同意，第三題16.5×0.6=9.9，兩個乘數都是一位小數，積還是一位小數。

生：不對，積9.9是原來乘積9.90這個兩位小數化簡得來的。

生：最好在剛才發現加上幾個字變成“積的小數位數在沒有化簡之前等于兩個乘數中小數位數的和”。

師：加上幾個字就不容易產生歧義了，為什么存在這一現象呢？

生：如果兩個乘數分別是兩位和三位小數，轉化成整數時分別擴大100倍和1000倍，乘積就擴大100000倍，積縮小100000倍就是五位小數。

師：如果不舉事例，能不能說明這一結論？

生：小數乘法是轉化成整數乘法來計算的，兩個乘數分別有a位和b位小數，轉化成整數分別要向右移動a位和b位，所得乘積向右移動（a+b）位。要求小數的乘積，就要把積向左移動（a+b）位，所以乘積的小數位數在沒有化簡之前等于兩個乘數中小數位數的和。

師：這位同學用字母說明乘數小數位數與乘積中小數位數之間的關系，這樣就能把所有情況全部概括了。誰能總結小數乘法的計算方法？

生：小數乘法是按照整數乘法的計算法則進行計算的，最后數出兩個乘數一共有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。

學生把對算理的理解用自己的語言表征了出來，通過幾道題的訓練，學生發現小數乘積中小數位數和乘數小數位數的和之間有著直接的關系，借助兩個小數轉化成整數擴大的倍數以及積的變化規律對此關系作以深刻詮釋，使得“算理”和“算法”相融而貫通。

四、溝通知識聯系，拓展學生思維

有效的練習既注重“練（訓練）”，更注重“習（習得）”，從“習”對“練”的過程的反省和思考，促使“練”與“習”向縱深處發展。作為練習，既要聚焦小數乘法的難點——乘積中小數位數的確定，又要注重發展學生思維，提升數學核心素養。

師：看下面的算式，根據小數乘積的小數位數給乘數點上小數點。

生：第一題應該為7.29×0.4=2.916，因為積為三位小數，乘數0.4為一位小數，所以另一個乘數應為兩位小數7.29。

生：第二題積在沒有化簡前為兩位小數，所以兩個乘數小數位數一共是兩位，可以寫成1.65×6=9.90;16.5×0.6=9.90;165×0.06=9.90三種情況。

師：這兩題有什么區別？

生：第一題的答案只有一種，因為乘積與其中一個乘數的小數位數確定，另一個乘數的小數位數就確定了。

生：第二題要注意乘積沒有化簡之前是兩位小數，所以在給兩個乘數點小數點時，只要兩個乘數一共有兩位小數就可以了，所以本題答案不止一個，存在多種可能。

數學練習不求全，但求變，該練習引導學生根據小數乘法的計算法進行逆向推理，在“積”的不變中尋求兩個乘數的狀況，在“變與不變”中讓學生不僅達到對小數乘法計算的通透理解，而且還發散學生的思維，增強思維的開放性。

（課題項目：本文系江蘇省十三五規劃立項課題“構建小學數學‘情理相融課堂的實踐研究”階段性研究成果，課題編號D/2016/02/06。）

（責任編輯：楊強）