讓“數”與“形”聯袂而行

王宜琴

【摘要】“數形結合”的應用大致可分為兩種情形：借助于“數”的精確性來闡明“形”的某些屬性;借助“形”的幾何直觀性來闡明“數”之間的某種關系。也就是說，幾何直觀實質包括以下兩種情形：“以數解形”和“以形助數”。《義務教育數學課程標準（2011版）》提出，核心概念之一的幾何直觀，其本質含義主要是指利用圖形描述和分析問題，體現的是“數形結合”中“以形助數”的思想，借助“形”的幾何直觀性來闡明“數”之間的某種關系。

【關鍵詞】幾何直觀 數形結合

小學數學教學包括諸多的教學環節，而習題教學與訓練是諸多教學中重要環節之一。在實際教學中，特別是到了中高年級，隨著已知條件越來越復雜，有很多習題讓部分學生“束手無策”。《義務教育數學課程標準（2011版）》指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”筆者就“幾何直觀”在習題教學與訓練中的應用，談一些心得體會。

一、借助幾何直觀，變“模糊”為“清晰”

小學生由于年齡的特點，其思維方式以具體形象思維為主，思維水平正處于具體運算階段向形式階段的過渡期，這一階段的小學生對于概念的建構還離不開具體事物的支持。而幾何直觀憑借其直觀性的特點，能將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，充分突出問題的本質，幫助學生突破理解上的難點。

例如，蘇教版數學五年級上冊“小數的意義和性質”單元練習判斷題：0.5和0.50大小相等，意義也相同。

本題學生錯誤率比較高，很多學生第一反應是該題是正確的。根據學生已有的經驗和知識水平，由小數的性質很容易就能得出0.5等于0.50，而對于“小數0.5與0.50的意義是否相同”，很多學生往往處于 “一知半解”狀態。此時不妨通過圖形直觀和對比分析，幫助學生借助直觀的圖形，突破理解上的難點，真正理解數學概念的本質內涵。

以下是教學的主要環節：

（1）問：0.5和0.50大小相等嗎？學生根據小數的性質得出0.5與0.50大小相等。

（2）追問：那么0.5與0.50的意義是否一樣呢？首先我們先看0.5表示什么呢？一些思維能力較強的學生能夠想到：0.5的小數意義是把整數“1”平均分成10份，表示其中的5份。用圖形怎樣表示呢？

（3）0.50表示什么？根據學生的回答，用圖形表示出0.50的小數意義：把整數“1”平均分成100份，表示其中的50份。

由圖，學生不難發現：0.5和0.50有著不同的意義，0.5是一位小數，表示十分之五，精確到十分位;0.50是兩位小數，表示百分之五十，精確到百分位。而涂色部分的面積是相等的，所以大小相等，即0.5=0.50。

例如，五年級上冊“小數的意義和性質”單元練習題：把0.54、0.56、0.49、0.6、5.05按從小到大的順序排列。

對于小數的大小比較，不少教師會借助數軸，把這些大小不一的小數在數軸上一一找到相對應的位置，再去比較它們的大小。縱觀整個小學階段的教學，數軸發揮著極其重要的作用，可以不夸張地說：數軸是認數最直觀的工具。在小學數學教材中，數軸幫助學生直觀地認識了自然數、分數、小數、負數、百分數等，使學生逐步認識到所有的有理數都可以用數軸上的點表示，這些有理數與數軸上的點是“一一對應”關系。

在概念教學的過程中，注重引導學生積極運用幾何直觀，巧妙地“以形助數”，可以幫助學生把抽象、模糊的數學概念逐漸生動化、直觀化、清晰化，順利化解學生的學習難點，抓住概念的本質。

二、借助幾何直觀，變“復雜”為“簡單”

“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”數形結合是一個重要的數學思想，更是解決數學問題時最常用的方法。它借助簡單的圖形、符號或文字所作的示意圖，溝通數學知識之間的聯系，促進學生抽象思維和形象思維的緊密發展，凸顯問題最本質的特征，實現“數”與“形”之間的互換，使得看似無法解決的問題簡單化、明朗化。

例如，筆者參加2018年區級四年級教師命題能力比賽時，出了這樣一道實際問題：

四（1）班同學全部參加隊列表演，小慧的位置無論從哪個方向看都是（4，4）。

（1）請為他們設計一下這個隊列。（用一個點●來表示1個人，小慧的位置用一個★表示）

（2）如果最外圈的同學都穿紅色運動服，那么需要準備多少套紅色運動服？

該試題題型比較綜合，看似條件比較少，其實對學生的思維要求相對比較高。它將四年級下冊的數對知識和畫圖策略巧妙地結合起來，既考查了學生是否能根據數對想象出物體在具體情境中的位置，又考查了學生是否有能力靈活運用畫圖策略解決問題。小慧的位置無論從哪個方向看都是（4，4），那么學生首先要思考的是：小慧的前、后、左、右分別有幾個人呢？對于部分學生來說，不借助幾何直觀，僅憑大腦想象是很難解決該題的，這就需要引導學生動手畫一畫，充分發揮畫圖策略的優勢，體驗畫圖策略的有效性。通過數形結合幫助學生把抽象問題具體化、直觀化，從而使學生尋找到解決問題的突破口。

例如，2017-2018學年度第二學期無錫市小學數學四年級期末調研試卷中一道實際問題：

小華和小明分別從一座橋的兩端同時出發，往返于橋的兩端之間。小華的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，經過4分鐘兩人第一次相遇，這座橋長多少米？兩人從出發到第二次相遇，一共走了多少米？

這樣的行程問題，對學生而言具有一定難度，因為這里關系到兩個對象的運動方向及路程。面對如此復雜的數量關系，即便是平時的學習過程中接觸過類似的習題，很多學生仍云里霧里不知如何是好。在這里，幾何直觀是解決這一類問題的最佳選擇，我們不妨借助線段和箭頭來表示行走的路程和方向，把這兩個運動對象路程之間的數量關系直觀形象地表示出來。對比文字敘述，用線段圖來解決“行程”問題，可以化抽象的文字為形象、直觀的圖形，使抽象的數量關系直觀化，相對于文字表述線段圖更簡約，更方便學生理解題意尋求合適的方法解題。學生很容易就可以得出第一次相遇兩個一共走了一個橋長;第二次相遇兩人共走了3個橋長。甚至還可以繼續追問：第三次相遇，兩人走的路程一共是幾個橋長呢？

實踐證明，學生經歷了抽象（題目）→形象（圖）→抽象（數量關系）的相互轉化的過程，才能真正理解問題的本質。幾何直觀，使學生親身經歷將復雜的數學問題抽象成簡約的數學圖形并進行解釋與應用的過程，讓學生在獲得數學理解的同時，思維能力、情感態度與價值觀等多方面也得到進一步提升和發展。

三、借助幾何直觀，變“模仿”為“內化”

笛卡爾曾說過：“沒有圖形就沒有思考。”很多問題解決的靈感，往往來自學生頭腦中的幾何直觀。小學生學習數學主要以形象思維為主，他們在圖形與幾何的學習過程中，普遍感到空間思維比較抽象、難以理解。幾何直觀是學生空間觀念形成的基礎，我們要充分挖掘教材中的一些現有素材的內涵與價值，幫助學生積累豐富的幾何表象，把學生的思維向高層次引導，使學生掌握知識本質的同時，提高數學學習的積極性，提高思維的靈活性。

例如，六年級上冊“表面積的變化”中的例題：

用上面的兩個長方體拼成三個不同的大長方體，你有什么發現？

在實際教學中，首先讓學生動手擺一擺、指一指、說一說，了解幾種拼法，增強體驗。同時要較好地體現出多媒體的優勢，通過多媒體清晰直觀地演示2個相同的長方體可以拼成哪幾種不同的大長方體，使學生明白重疊的面越大，表面積減少得越多;重疊面越小，表面積減少得越少，讓學生的空間觀念和思維能力得到很好的鍛煉。

為了鞏固所學知識，培養學生數學思考和解決問題的能力，筆者隨后設計了這樣一道專項訓練習題：把一個長10厘米、寬8厘米、高6厘米的長方體切成兩個大小相等、形狀相同的長方體。切成的兩個長方體的表面積之和最大是多少平方厘米？

習題與例題相比，是例題的變式問題，通過這樣的變式，擴大學生認知的深度與寬度。習題的解決，簡單的模仿是行不通的，此時需要借助幾何直觀搭建思維跳板，幫助學生拓展思路，變“模仿”為“內化”，理解習題是“形”變“質”不變，從而打開解題的突破口。

【例1】練習題：學校一條走廊長6米、寬3米，走廊上鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要多少塊？

【例2】變式題：學校一條走廊長6米、寬4米，走廊上鋪上邊長是3分米的正方形地磚，需要多少塊？

【例3】練習題：一個長1.1米，寬0.9米的長方形紙片，剪成幾個直徑是2分米的圓，可以剪幾個？

解決例1時，學生最常見的解法是：用“塊數=大面積÷小面積”，得出60×30=1800（平方分米），3×3=9（平方分米），1800÷9=200（塊）。很少有學生能想到“總塊數=每行塊數×行數”這個數量關系。解決例2、例3時，如果學生還是借助已有的知識經驗和基礎，選用“塊數=大面積÷小面積”這個知識點來解決，顯然是行不通的。像這樣類型的問題，五年級多邊形的面積單元學生們會接觸很多。對于圖形的密鋪，必須要借助幾何直觀，理解這一類題本質都是一樣的，就是要去思考沿著長擺幾個，沿著寬擺幾排。

在實際的教學中，教師通常會通過實物、形體模型和圖形，生動形象地描述幾何或其他數學問題，展開豐富多彩的空間聯想，直觀地反映和揭示問題的思路，形成表象，從而有效地解決問題。換句話說，隨著經驗的積累，這些經常感知的直觀圖形會逐漸印刻在學生的腦海中，成為學生隨時可以提取的數學表象，它們是學生能及時展開數學想象的重要素材。學生大腦中的表象越豐富，他們越是容易把一些抽象的問題轉化成直觀的表象，也容易從直觀的表象中抽象出本質特質，也就是直觀思維能力越強，自然會變“模仿”為“內化”。

四、借助幾何直觀，變“定勢”為“創造”

美國數學家斯蒂思曾說過： “如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形， 那么就整體地把握了問題的實質。”“以形助數” 中的“形”，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型;若無形，則可另行構造或聯想。因此“以形助數”的途徑大體有三種情形：第一是運用圖形;第二是構造圖形;第三是借助代數式的幾何意義。在實際教學中很多復雜問題的解決可以根據問題中“數”的結構，另辟蹊徑構造出與之相應的“形”，并利用這些“形”的特征及規律來尋求解決問題的方法，避免一些復雜的數字討論。

例如，教學蘇教版數學六年級上冊“解決問題的策略——轉化”這一內容時，教材上安排了這樣一道習題：

教學片段如下：

出示+++，計算出結果。通過通分，學生很快得到+++=。

變式：++++…+。追問：你還愿意用通分的方法來計算嗎？學生頓時茫然。

設疑：這道題的各個加數很有特點，依次是，，，，…。我們常說遇到難題可以借助圖形解決，那么可不可以畫圖呢？

學生討論，多媒體出圖：我們不妨用一個大正方形代表單位“1”，將這個大正方形平均分成2份，就可以得到，再平均分得到，繼續平均分……（如上圖）。 引導學生看圖，得出+++=1-=。

探究規律：如果繼續平均分下去，++++結果是多少呢？再一次次平均分下去，直到+++++…+，你能很快得出結果嗎？如果直到+++++…+呢？

【例4】探索規律：

例4也是一道比較典型的探索規律題，就學生的知識基礎和經驗而言，學生解決這道題的第一選擇就是直接計算。參與計算的數比較少，這是一個好方法;若參與計算的數多，這就是一道復雜的數字干擾問題。很多抽象的數學問題都可以轉化成可借用的幾何直觀問題，解決這道題，巧妙地借助點子圖，幫助學生將復雜的數字討論立刻切換成直觀的表象，使學生能更好地從直觀的表象中抽象出問題的本質屬性，探究出這一類問題的規律，感受到幾何直觀的價值。像這樣，教師通過編選一些特定的問題，借助幾何直觀，幫助學生不從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是對問題的本身進行具體的分析、進行一系列的探索性思維活動，使頭腦中已有的思維方式實現大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的最佳方法，變“定勢”為“創造”。

其實在小學課堂教學中，像這樣的例子還有很多，比如分數的四則運算、畫圖策略、圓柱圓錐體積的計算等，這些具體的問題的背景和情境不同，運用的直觀方法也大不相同，但都很好地體現了“幾何直觀”這個常用的數學思想方法在小學習題教學與訓練中的應用。總之，“幾何直觀”作為新課標提出的核心概念，是數學學習中常用的思考問題的方法，它在數學教學中具有非常重要的意義。“數”與“形”的聯袂而行，讓小學數學的習題教學與訓練，真正實現了“化難為易、化繁為簡、化隱為顯”的目的。

【參考文獻】

[1]許新征.對幾何直觀的認識與教學思考[J].教育研究與評論，2012（10）.

[2]蔡杰.也談“幾何直觀”的認識及運用[J].課程教育研究，2012（35）.