基于PCA的遠(yuǎn)程教育數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)模型研究
——以四川電大為例

■許宇翔，譚淇婧

（四川廣播電視大學(xué)教育學(xué)院,四川成都 610015）

高校中，高等類數(shù)學(xué)課程作為高校絕大多數(shù)專業(yè)的公共課，對(duì)老師而言，課時(shí)多、教學(xué)任務(wù)重以及考試及格率偏低。而在電大，由于高等遠(yuǎn)程教育的普及，學(xué)生接受高等教育以及再教育的門檻不像以前那么高。但是由于部分學(xué)生工學(xué)矛盾突出、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識(shí)欠缺。在課堂上，教學(xué)部門為了提高課程的教學(xué)質(zhì)量，就需要客觀并準(zhǔn)確地了解高校教師的課堂教學(xué)情況。理論上，我們知道廣義中的課堂教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)一般分為四種評(píng)價(jià)方式：專家評(píng)價(jià)、同行評(píng)價(jià)、學(xué)生評(píng)價(jià)和自我評(píng)價(jià)，哪種方式更佳？這四種評(píng)價(jià)方式都各有利弊，現(xiàn)在沒有給出明確定論。那么如何在數(shù)學(xué)課堂評(píng)價(jià)中將這些評(píng)價(jià)方式加權(quán)處理，是我們高校教學(xué)質(zhì)量評(píng)估體系中一個(gè)值得研究的問題，也是電大在遠(yuǎn)程教育教學(xué)中所要解決的問題。

如今，學(xué)生評(píng)教作為課堂教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控的一個(gè)指標(biāo)，逐漸應(yīng)用于電大開放教育中，也是督促老師不斷改進(jìn)和提高教學(xué)方法的手段。課堂教育質(zhì)量評(píng)教不僅能夠幫助提高高等數(shù)學(xué)類課程教學(xué)質(zhì)量，而且也可以幫助我們教師了解自身在課堂教學(xué)中的不足。所以，我們需要根據(jù)數(shù)學(xué)類課程的性質(zhì)和特點(diǎn)再加上各種學(xué)生評(píng)價(jià)打分匯總后的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行科學(xué)的加權(quán)處理，以此還原對(duì)學(xué)生評(píng)價(jià)的客觀性和真實(shí)性。

學(xué)生評(píng)價(jià)又稱為教學(xué)評(píng)價(jià)，是上述所說到四種課堂教育質(zhì)量評(píng)價(jià)方式中采用情況最多的一種。課堂中，學(xué)生作為老師課堂教學(xué)表現(xiàn)最直接的“聽眾”，能夠?qū)虒W(xué)工作做出價(jià)值判斷，真實(shí)地反應(yīng)教學(xué)效果。所以，學(xué)生評(píng)教體系作為學(xué)生對(duì)任課教師實(shí)施教學(xué)質(zhì)量的監(jiān)督，是學(xué)生評(píng)價(jià)活動(dòng)中一個(gè)重要組成部分。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生參與學(xué)校對(duì)教師教學(xué)監(jiān)督的有效管理途徑之一。電大的遠(yuǎn)程教育教學(xué)關(guān)系到教學(xué)工作和教學(xué)質(zhì)量，同樣需要學(xué)生評(píng)價(jià)。高等數(shù)學(xué)類課程要想得出客觀真實(shí)的評(píng)價(jià)就需要建立非常科學(xué)合理的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。

一、主成分分析原理

主成分分析法又稱為PCA(Principal Component Analysis)，它是一種數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)降維算法，經(jīng)常應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)和醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域中。簡(jiǎn)單來(lái)說，就是對(duì)一些很復(fù)雜的高維數(shù)據(jù)工作通過提取變量來(lái)分析其中主要的重要變量。

二、主成分分析實(shí)施步驟

（一）計(jì)算協(xié)方差矩陣

（二）求出Σ的特征值λi及相應(yīng)的正交化單位特征向量ai

Σ的前m個(gè)較大的特征值λ1≥λ2≥…λ>m0,就是前m個(gè)主成分對(duì)應(yīng)的方差，i對(duì)應(yīng)的單位特征向量ai就是主成分Fi的關(guān)于原變量的系數(shù)，則原變量的第i個(gè)主成分 Fi為：Fi=ai′X

（三）選擇主成分

當(dāng)累積貢獻(xiàn)率大于85%時(shí)，就認(rèn)為能足夠反映原來(lái)變量的信息了，對(duì)應(yīng)的m就是抽取的前m個(gè)主成分。

（四）計(jì)算主成分載荷

主成分載荷是反映主成分Fi與原變量Xj之間的相互關(guān)聯(lián)程度，原來(lái)變量Xj（j=1，2，…，p）在諸主成分Fi（i=1，2，…，m）上的荷載lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p）：

在SPSS軟件中主成分分析后的分析結(jié)果中，“成分矩陣”反映的就是主成分載荷矩陣。

（五）計(jì)算主成分得分

計(jì)算樣品在m個(gè)主成分上的得分：

Fi=a1iX1+a2iX2+…+aPiXP

三、四川電大學(xué)生評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建實(shí)例分析

文中以四川電大7位數(shù)學(xué)老師他們?cè)?018-2019年度《幾何基礎(chǔ)》精彩課堂上教學(xué)質(zhì)量為研究對(duì)象，建立基于PCA的精彩課堂的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)模型。本數(shù)據(jù)采自于四川廣播電視大學(xué)校本部2018-2019參加《幾何基礎(chǔ)》課程教學(xué)的學(xué)生。對(duì)國(guó)內(nèi)外高校評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行收集和整理是調(diào)查的首要任務(wù)，然后依據(jù)四川電大督導(dǎo)教學(xué)工作水平評(píng)估指標(biāo)體系，結(jié)合師生調(diào)查問卷并咨詢了相關(guān)教授專家最終制定了評(píng)價(jià)指標(biāo)體系。評(píng)價(jià)指標(biāo)體系可以概括為四個(gè)方面：師德師風(fēng)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)效果（表1所示）。

為了提高數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性，首先我們會(huì)將學(xué)生評(píng)教指標(biāo)10分或者6分的以下數(shù)據(jù)看作是傾向性主觀數(shù)據(jù)。然后將剩余的各指標(biāo)求平均分后就能夠得出學(xué)生評(píng)教基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（附表1所示）。

（一）數(shù)據(jù)分析

將附表1中的13個(gè)基本指標(biāo)數(shù)據(jù)輸入SPSS 21.0版中，得到主成分特征值、貢獻(xiàn)率及其累計(jì)貢獻(xiàn)率表如附表2所示。之前我們?cè)O(shè)定主成分的提取數(shù)目為前4個(gè)主成分，設(shè)定特征值大于1才具有顯著性，可以看到前4個(gè)主成分分析合計(jì)方差累計(jì)貢獻(xiàn)率為87.103%，根據(jù)主成分選取原則，選取主成分能夠保留原始信息的85%以上即可，選取前4個(gè)主成分，信息的損失率為12.837%，表明前4個(gè)主成分具有顯著代表性，能夠起到壓縮數(shù)據(jù)量的作用。

這個(gè)結(jié)論也可以通過圖1來(lái)表達(dá)。從碎石圖中，我們可以很清楚地看出前四個(gè)特征值差異都很大，并且都大于1，從第五個(gè)特征值開始，初始特征值為0.864，距離第四特征值變化很小，雖然第五個(gè)特征值也趨近1，但變化量不大，變異程度也不大。所以我們可以看到，取前四個(gè)作為主成分是合理的。

表1 評(píng)教指標(biāo)體系

圖1 碎石圖

利用計(jì)算得到的主成分荷載矩陣除以每個(gè)主成分特征根的均方根可以得到13個(gè)主成分的特征向量。前面已經(jīng)告知我們將最終選取前4個(gè)主成分，所以可以得到的前4個(gè)主成分特征向量如表4所示。

表4 前四個(gè)主成分成份矩陣a

（二）數(shù)據(jù)表達(dá)

根據(jù)主成分荷載矩陣及其主成分的特征值計(jì)算每個(gè)主成分中各指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得出4個(gè)主成分的表達(dá)式分別為：

y1=-0.180x1+0.691x2-0.165x3-0.269x4-0.422x5+0.873x6-0.131x7+0.474x8-0.539x9+0.702x10+0.945x11-0.543x12+0.488x13

y2=0.957x1+0.329x2-0.471x3-0.512x4-0.219x5-0.06x6+0.503x7+0.172x8-0.513x9+0.86x10-0.72x11+0.610x12-0.699x13

y3=-0.31x1-0.51x2+0.83x3+0.76x4-0.73x5-0.287x6+0.197x7+0.271x8-0.470x9+0.316x10-0.70x11+0.541x12+0.196x13

y4=-0.119x1-0.381x2-0.240x3+0.178x4+0.198x5+0.384x6+0.718x7-0.644x8-0.279x9+0.354x10-1.11x11+0.48x12+0.264x13

我們將以上4個(gè)主成分貢獻(xiàn)率和式的結(jié)果帶入

F=0.30797y1+0.23166y2+0.20422y3+0.12718y4

F=0.1444x1+0.02313x2-0.0212x3-0.0240x4-0.3220x5+0.0259x6+0.20750x7+0.1600x8-0.4172x9+0.3468x10+0.2475x11+0.0089x12+0.0628x13

綜合上述結(jié)果，我們可以建立主成分綜合模型來(lái)得出四川電大2018-2019《幾何基礎(chǔ)》的7位教師每一位教師的主成分以及他們的綜合成分得分，在這里我們不再計(jì)算。

（三）結(jié)果分析

（1）在主成分y1中有6個(gè)較高的載荷指標(biāo)分別是X2、X6、X8、X10、X11、X13，這 6 個(gè)指標(biāo)分別是課前準(zhǔn)備、內(nèi)容拓展、教學(xué)語(yǔ)言、違紀(jì)現(xiàn)象、作業(yè)評(píng)閱和教學(xué)效果。這些指標(biāo)分布于師德師風(fēng)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)效果這四個(gè)大類。通過計(jì)算y1主成分的排名情況可以得出：我們四川電大數(shù)學(xué)教師的綜合教學(xué)水平。這說明授課方法新穎、靈活多變、教學(xué)內(nèi)容豐富的授課老師更能適應(yīng)學(xué)生的需要，能夠得到學(xué)生的肯定。由于時(shí)代不同，老師們需要不斷探索新的教學(xué)方法，通過結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況和四川電大遠(yuǎn)程教育的特點(diǎn)找出更能迎合四川電大學(xué)生的教學(xué)方法。但是由于y1只是其中一個(gè)主成分，沒有考慮到其他幾個(gè)主成分分析，所以由此得來(lái)的綜合排名是有一些偏差的。（2）主成分y2、y3中也有較高的荷載指標(biāo)，分別從師德師風(fēng)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)效果四個(gè)大的方面來(lái)評(píng)價(jià)了電大教師教學(xué)水平。不過教師分?jǐn)?shù)排名仍然有差異。（3）最后我們得到的F主成分綜合得分模型能夠計(jì)算出四川電大7位教師綜合排名，教師的綜合素質(zhì)隨著分?jǐn)?shù)的增長(zhǎng)成正比。

我們?cè)谶\(yùn)用主成分分析中要注意的是：（1）當(dāng)主成分中綜合原指標(biāo)為特征貢獻(xiàn)率最大的一項(xiàng)時(shí)，可以作為電大數(shù)學(xué)課堂教學(xué)總體效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)；（2）在進(jìn)行主成分分析的時(shí)候，特別注重影響作用相反的兩種關(guān)系；（3）在對(duì)各項(xiàng)具體指標(biāo)進(jìn)行分析時(shí)，需要靈活運(yùn)用PCA。

四、結(jié)束語(yǔ)

一方面，電大教師通過學(xué)生評(píng)價(jià)不僅可以直觀、客觀地得到評(píng)價(jià)結(jié)果，通過主成分分析的結(jié)果還可以構(gòu)建師生之間的高等數(shù)學(xué)類課程教學(xué)的評(píng)價(jià)量表。教學(xué)部門希望《幾何基礎(chǔ)》等高等數(shù)學(xué)類課程教學(xué)質(zhì)量能夠從評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)中得到有用的信息，因?yàn)殡姶髮W(xué)生的特殊性，這些信息能夠幫助我們不斷地總結(jié)高等數(shù)學(xué)類課程經(jīng)驗(yàn)、改進(jìn)高等數(shù)學(xué)類課程教學(xué)、提高高等數(shù)學(xué)類課程教學(xué)質(zhì)量，保證學(xué)生能夠在課堂上取得好的效果，讓其順利通過考試并畢業(yè)；另一方面，也可以反映出我們電大教師在實(shí)際教學(xué)中所出現(xiàn)的問題，揚(yáng)長(zhǎng)避短，不斷得到提升。

附表1 學(xué)生評(píng)教基礎(chǔ)數(shù)據(jù)表

附表2 主成分特征值、貢獻(xiàn)率及其累計(jì)貢獻(xiàn)率