由一道習題引發的教學思考

徐麗珍

學生總是匆忙完成作業，不多加以思考、探究，往往忽略了問題本質，就題解題的學習態度。如果一線教師碰到此類問題，不加以挖掘問題本質，那么就太浪費教學資源，因此，一線教師不光要加以重視學生存在困惑，還要引導學生進行探究問題，從初識問題、認識問題到深化問題，使得學生能悟出此類問題本質，并加以理解，讓學生在此類問題的解決上有所突破。

一、背景展現、發現問題

這是一道高一的習題：

題目：在△ABC中，設

(1)求證：△ABC為等腰三角形；

答題分析：答(1)沒有問題。(2)學生答的不理想：①答題的正確率不高，部分同學是空白的，表現為沒有想法；②做了的同學，方法選擇比較煩瑣或者計算錯誤；③選擇較好的解題方法的同學很少。因此，面對這樣的一種教學現狀，直接提供好的方法，顯然不對。數學的學習是數學思維的形成過程，需要學生能從本質上認識此類問題，在解題上需要實現優化解題思路、簡化解題過程，值得探究。

二、初識問題，探究模型

學生錯誤是學生對基礎知識還不夠落實，基本技能不太掌握，因此高中數學解題教學應以“基礎知識的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落實”為原則。在教學中，教師不是直接告訴學生，而是通過問題設計，充分激發學生的思維，學生能自然地感悟到知識的形成，然后尋找問題與知識間的聯系，會對學生分析問題產生積極的影響，開闊了解題的思路。

例(2012·浙江15)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝3，BC＝10，則

這類問題的特殊性就是極化恒等式，但是從解題的情況來看，學生只是恰巧碰對了，未能真正理解極化恒等式的本質。

【設計意圖】例1 的設計讓學生能簡單認識極化恒等式是用基底表示數量積運算的一種應用，是對基礎知識的簡單深化。由于條件與結論之間的關系緊密，學生很容易突破問題。

三、認識問題，探究本質

我們知道，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則本質是一樣的，那么你能從平行四邊形的角度看極化恒等式嗎?

學生：已知平行四邊形ABCD中，對角線交于O點，則

即在平行四邊形模型中，我們求共起點的兩個向量的數量積，只要知道哪些量就能求呢?

學生：我們只要知道這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；

很好，我們把這個模型稱為極化恒等式的平行四邊形模型；

很好，這個式子就是極化恒等式的符號表示式；

那么，前人是怎么發現極化恒等式的呢?大家請看一個我們都熟悉的問題。

題目：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。你能用向量方法證明平行四邊形的對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍嗎?

你能發現這個問題的背景與極化恒等式的聯系嗎?

這個時候，學生的眼神會告訴我們，如果在碰到這個問題時，能夠再細心一點，或許就能發現極化恒等式。

請同學們歸納極化恒等式的表現形式；

她是你的煞星！你要做的，是將刀插入她的心臟！不能再繼續猶豫和顧慮，這只會讓你更加得軟弱，更加得無法握住刀柄！

追問：極化恒等式解決什么問題?

學生：極化恒等式描述的是兩個數量積、這兩個向量的和的模和這兩個向量差的模的關系；

【設計意圖】尋找知識點并重構對知識的再理解，使得知識的內涵得以豐盈，使知識的展開、方法的形成不再是無本之木、無源之水。學生能夠更加系統地認識到問題是源于課本而又高于課本的一種現象，這樣使得學生能夠更好地認識問題。

題目：在△ABC中，設

(1)求證：△ABC為等腰三角形；

經過這一系列的努力，學生解(2)小題不再是構造函數思想來求了，學生能分析出設O為AC的中點，即，是個常量，在△ABC中，OC隨著角B在變換，

【設計意圖】學生通過錯誤題目的再探，自然地解決問題，能讓學生深刻體會細細研究問題的重要性，對模型的認識到位，自然出現最優的解法，增加學生的解題興趣。

辨析：雖然我們都用的是三角形模型的極化恒等式求數量積的范圍問題，但是只能是中線是變量嗎?

學生：利用極化恒等式求解數量積的問題，化歸思想是轉化為兩個線段的長度問題，若其中一個是變量，就可以探究這個數量積的范圍問題。

老師：答得很好，在一定程度上我們認識了使用極化恒等式的特點。

變式1

學生：設DB的中點為E，，此時，學生有些困惑，因為這兩個量都隨著D在變換，不能求出的取值范圍。

追問：使用極化恒等式有什么要求?

學生：使用極化恒等式的化歸思想，要轉化為已知的線段長或者已知一個變量，若兩個都是變量，就不能使用了。

追問：那么此題的數量積怎么求呢?

【設計意圖】通過變式1 的辨析，學生更清楚極化恒等式的化歸思想的應用，進一步認識了極化恒等式的本質，同時也明白極化恒等式求數量積不是萬能的。

四、深化問題，提升素養

變式2：(2013·浙 江)設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有則( )

A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90°

C.AB＝ACD.AC＝BC

【設計意圖】通過真題檢驗，希望同學們能夠增強學習信心，深化了對極化恒等式的本質的理解。進一步證明高考就是對高于課本的知識考查，讓學生碰到問題能更好地去研究問題，提升學生解題的能力，實現何以知其所以然的解題境界。

五、教師反思，感悟提升

大部分學生在平時解題時，只是匆忙地完成解題，沒有養成探究問題的習慣，這樣的數學學習只能在題海戰術中摸爬滾打，這樣學生學得很累，沒有達到高效課堂的效果。碰到這種情況，如果教師能以學生存在的問題作為備課的主題，在課堂中引導學生以問題和變式為載體，從中發現他們的共性，能讓學生抽象出一般的數學問題，從而建立數學模型，然后能讓學生進一步深化理解和應用辨析，掌握模型的本質和模型的應用，從而深化對模型的理解，最后達到真正的領會和掌握，這樣，就能到達從一道題到一類題的過渡，達到課標要求。通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增加學會數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力。羅增儒教授指出：誰也無法教會我們解所有的數學題，重要的是，通過有限的學習去領悟那種解無限道題的數學素養。