數形結合方法在高中數學教學中的應用

李曉靈

摘要：數形結合主要就是將數學知識與幾何關系相結合，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。將數形結合應用于高中數學的具體教學中，不僅能使抽象的將數學問題更加直觀、形象的呈現，而且還能使高中生解決數學問題的思路得到有效開闊，從而使學生解題的準確性與解題效率得到有效提高。本文主要對數形結合的應用準則進行分析，并提出數形結合在高中數學實際教學中的應用策略，從而使高中數學的教學質量得到有效提高。

關鍵詞：高中數學;數形結合;教學;應用

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）06-083-2

隨著新課改的進一步發展，高中數學的教學方法也實現了相應的優化，數形結合的教學理念逐漸在高中教學領域中得到廣泛應用。高中數學實際教學中，通過數與形的結合，進行形的高效推理，通常能夠使復雜的解題方式變得更加簡單，并通過對數的高效運算，使抽象化的數學問題實現具體化。同時，數形結合運用于數學教學中，通常對數學教師具備的專業水平也有著較高的要求，這不僅要求數學教師在數形結合的應用中充分尊重數學的簡單性與實際性原則，而且還能使教師的教學方式備受學生喜歡，從而使數學教學質量得到有效提高。

一、數形結合應用的基本準則

數形結合的應用基本準則具體包括：（1）等價性原則。數形結合的過程中，“數”表示的代數性質和“形”表示的幾何性質之間的轉換必須是等價的，也就是在對相關數學問題進行解決的時候，學生不僅需依據題意繪制出對應的示意圖，而且在繪圖的時候，還需要繪制出基本特征以及標注相應的關鍵點，如果繪制的圖較為粗糙或不準確，就會對數學問題的解決產生影響，并產生解題失誤或理解失誤的現象。（2）簡潔性原則。通過數形結合的方式進行構圖，需在保證正確的基礎上，盡可能促使圖形的簡潔，對幾何圖像具備的優勢進行充分發揮，并在代數的具體計算過程中，盡可能避免出現繁雜的計算，以此使解題的難度得到有效降低，并使繁、難的題目變得更加簡、易。如果在繪制圖形的時候沒有注意到該準則，不僅會影響到圖形優越性的發揮，而且還會導致計算量的增加，同時，如果在進行代數計算的時候盲目計算，也會導致計算難度的增加，因此，在繪制圖形的時候需注重圖形的簡潔性。（3）雙向性原則。數形結合的應用，不僅需要對幾何圖形實施分析，而且還需要對相關數據實施研究，也就是通過代數抽象和幾何直觀相結合的方式進行探索，并通過二者之間的相互作用對數據或圖形進行修正，并通過圖形具備的直觀性對抽象數據進行分析，通過數據的精確性對圖形的誤差進行分析，通過對二者之間的優勢充分發揮，使數形結合的優越性得到充分體現。

二、數形結合方法在高中數學教學中的應用

1.在函數問題中的應用

函數作為高中教材當中較為重要的部分，其屬于高中數學各個知識點實現有效連接的主鏈，該章節運用數形結合通常表現在兩方面：（1）函數的性質，如函數具備的奇偶性、單調性，以及函數的最值，數學教材中都對這些性質給出了符號化概念，這些性質的研究與探討也都通過函數圖像具備的直觀性，把代數解析式轉變成直角坐標系當中的函數圖像，并通過幾何圖像對抽象的函數概念進行體會，從而使高中學生實現更好的理解與學習。（2）函數與方程體現的方法為一元二次方程和其相對應的二次函數的圖像兩者的關系，其內容主要是將函數圖像與方程的解與X軸的交點所構建的對應關系，則是代數方式的“y=f（x）有零點”、“f（x）=0有實根”和幾何形式“y=f（x）的函數圖像和x軸的交點”之間的相互轉化，也就是“數”“形”互相轉化的形式，基于此，學生就能夠以數形結合的方式對“數”“形”的關系進行理解與掌握，并通過數形結合運用函數圖像的零點定性對無法有效解決的方程實數根進行判斷，并以根的方式對函數是否有零點進行判斷。

2.在概率問題中的應用

概率通常和集合有一定聯系，因此，不同的概率事件、概率間的基礎運算通常能夠與集合之間的關系、集合間的基礎運算處理的過程構建相對應的關系。對于集合部分而言，其運用數形結合的方式通常是以Venn圖進行體現的，因此，不同事件之間的關系也能夠通過Venn圖進行處理，以便于概率的計算。另外，幾何概型通常是把事件之間的關系以幾何圖形的方式進行表示，然后，通過圖形的長度比、面積比以及體積比對概率進行表示，這也屬于數形結合的應用方法。

3.在解析幾何問題中的應用

所謂的“解析幾何”，主要是由數學專家笛卡爾所建立的。不論是一維的數軸，還是二維的直角坐標系，其都能實現“數”“形”的有機結合，這也屬于數形結合充分體現的部分。對幾何問題進行歸納總結成代數形式的相關問題，并通過定理或者公式的角度，對圖形問題進行解決的過程。例如，在對直線的斜率進行講解時，以代數計算的方式對直線之間垂直或平行的位置關系進行判斷，而通過對直線之間的位置關系進行直觀的觀察，也能獲得對應的代數間的關系式。同理可知，兩點之間的距離和點到直線之間的距離也能夠通過數形結合的方法進行解決。對于圓與方程的相關內容而言，圓的方程式通常是通過平面直角坐標系當中的圓具備的幾何性質和兩點之間的距離公式有機結合獲得。除此之外，對于點與圓、圓與圓、線與圓之間的位置關系而言，其不僅能夠從圖形上進行直接觀察，而且還能夠通過數字計算，如圓心到直線的實際距離和半徑r的關系、點的坐標是否符合方程代數式等，由此就能夠對直線與圓、點與圓、圓與圓之間的位置關系進行有效判斷，其也屬于數形結合運用于數學教學中的體現。

4.在三角函數問題中的應用

通過幾何學中的平面直角坐標系以及單位圓，其不僅能夠通過任意角代數進行表示，而且還能夠對不同角之間的位置關系進行直觀觀察，同時，通過幾何學具備的圖形語言，還能獲得基本的代數表達式以及三角函數，或者是反過來通過三角函數值對三角函數的圖像進行構造，從而充分表現出數形結合的運用。通過單位圓具備的特殊性對三角函數的相關內容進行探究，例如，三角函數中的和差運算以及誘導公式等，其通常也能夠有效呈現出數形結合的應用。最后，對函數y=Asin（ωx+φ）過控制變量法對A、ω、φ對函數圖像產生的影響進行獲得，相反的，通過函數圖像，就能夠得到代數解析式當中的A是振幅，周期是T=2πω，相位是ωx+φ，初相為φ。因此，該部分內容也能夠充分體現出數形結合的方法。

5.在方程問題中的應用

在方程相關的問題中，學生通常能夠對已知條件當中的變量關系實施分析，并對方程當中所含有的等量關系進行提煉，以此在坐標系當中畫出變量與等量的關系，從而使問題的求解得到預測的結果。例如，在對方程零點的個數進行求解的問題中，學生事先通常是不知道方程的具體零點個數，為了避免少求或多求零點，教師可以依據方程具備的特征，將其轉變為函數關系，并在坐標系中進行表示，這種解題方式雖然不能明確知道零點的具體位置，但是，卻能夠對零點處于的區間和零點個數進行把握，這樣可以有效防止學生在求解中出現錯誤。

綜上所述，將數形結合運用于高中數學的具體教學中，不僅能夠使學生的學習質量得到有效提高，而且還能豐富學生的解題思路，從而使學生全面、高效的掌握數學解題方法。對于數學教師而言，首先需要對數形結合理念具備的現實意義與教育價值進行明確，然后通過例題分析、合作學習等策略，高效的運用數形結合理念，從而確保數學教學目標的有效落實，并使高中生具備的學科能力得到有效發展。

[參考文獻]

[1]馬正勛.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[J].學周刊，2019（31）：87.

[2]朱琳.數形結合思想方法在高中數學教學中的應用研究[J].中國校外教育，2019（26）：48-49.

[3]袁先軍.數形結合法在高中數學教學中的應用策略探析[J].數學學習與研究，2019（15）：28.

[4]李錦明.數形結合思想方法在高中數學教學中的應用探討[J].數學學習與研究，2019（07）：83.

（作者單位：甘肅省靖遠縣第三中學，甘肅 白銀 730600）