巧用面積法突破幾何題

覃秀芬

[摘要]面積法是幾何中較為特殊的思想方法，該方法可用于解決一些與線段相關(guān)的幾何問題，探討面積法的解題思路及技巧，可以提高學(xué)生的解題能力。

[關(guān)鍵詞]面積法，幾何題，轉(zhuǎn)化

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）11-0014-02

面積法是利用面積之間的相互轉(zhuǎn)化或利用面積與邊、角之間的關(guān)系來求解的一種方法，面積法在幾何問題中有著廣泛的應(yīng)用，

一、用面積法求線段長

面積法可用于求線段長，求解時一般結(jié)合題干信息采用兩種思路：一是若圖形的面積已知，則可以結(jié)合面積公式直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于線段長的乘積;二是若圖形中存在等面積關(guān)系，則可以利用等面積法完成線段乘積關(guān)系構(gòu)建，

[例1]如圖1所示的△ABC為等腰三角形，其中AB=AC=13.BC=10.點D是腰AB上的中點，現(xiàn)過點D作AC上的垂線，垂足為點E，則線段DE的長為____，

分析：題干表明點D是AB的中點，若過點B再作AC的垂線，令垂足為點F，則DE就為△ABF的中位線，DE長就為BF長的一半，此時可利用面積法求出BF的長，

評析：上述面積法用到了等量轉(zhuǎn)化思想，該面積模型構(gòu)建的思路是建立在對幾何三角形面積模型的充分認識上，也是等面積求線段長的常用方式，

二、用面積法證明線段和差問題

[例2]如圖3所示，△ABC為等邊三角形，設(shè)h表示其中一邊上的高，已知點P為三角形內(nèi)的任意一點，分別過點P作三角形三邊上的垂線，垂足分別為點D、E、F試證明：PE+PF+PD=h。

分析：過點P作了三條垂線，若連接PA、PB、PC，則可以將△ABC分割為三個小的三角形：△APC、△APB和△BPC，三個小三角形的面積和等于△ABC的面積，

三、用面積法證明定理

幾何定理和公式之間存在一定的關(guān)聯(lián)，實際上也可以用面積法與角平分線判定定理之間的關(guān)聯(lián)完成相關(guān)問題解答，

[例3]如圖4所示的△ABM中，AE和BD分別是底邊BM和AM上的高，AE與BD相交于點C，已知AE=BE，且BD是∠ABM的角平分線，試證明∠BDE=∠MDE

分析：證明∠BDE=∠MDE就是證明ED是∠BDM的平分線，根據(jù)角平分線的判定定理可知，只需要證明點E到角兩邊的距離相等即可，

四、用面積法求最值

求最值是平面幾何常見的問題類型，對于一些線段、面積最值問題有時也可以采用面積法來求解，

[例4]如圖5所示的等腰△ABC中，已知AB=AC=5.BC=6.點P是邊AC上的一個動點，連接BP，試分析線段BP的最小值，

分析：本題看似是幾何動點問題，但結(jié)合“垂線段最短”知識可直接確定BP最短時的情形，即BP是邊AC上的垂線時就可以滿足條件，△ABC為等腰三角形，題干給出了三邊長，可以通過面積法來求解，

五、用面積法求比例

利用面積法可以構(gòu)建關(guān)于線段長的比例關(guān)系，因此可以將面積法推廣到求證線段比例問題中，

分析：如圖6所示的三條直線為平行關(guān)系，需求證對應(yīng)的線段比例式，實際上就是要證明平行線分線段的成比例，證明線段比例式一般有兩種思路：一是構(gòu)建相似三角形，利用相似性質(zhì)完成;二是借用面積法，通過等面積轉(zhuǎn)化來完成，本問題采用面積法。

評析：上述在求證比例式時將等面積作為中介，借用面積公式完成了比例式轉(zhuǎn)化證明，面積法的使用是建立在幾何圖形上的，因此，在求解線段比例問題時首先需要構(gòu)建圖形，然后利用面積關(guān)系來轉(zhuǎn)化。