導(dǎo)數(shù)教學(xué)的幾點體會

尹麗蕓

摘 要 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容，教師在課堂教學(xué)中規(guī)范引入概念，說明法則，明確學(xué)習(xí)意義，能很好的銜接知識，提高解實際問題能力。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 切線 求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

中圖分類號：G633文獻標識碼：A

導(dǎo)數(shù)是微積分教學(xué)內(nèi)容中的核心概念，導(dǎo)數(shù)教學(xué)不僅要使學(xué)生掌握微分的知識和技能，加深對初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，還要使學(xué)生通過研究一系列生產(chǎn)實際問題和科技問題，掌握這種有效處理問題的基本思想和方法，充分發(fā)展智力和才能.

在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中對以下幾個關(guān)系的正確理解，將對導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)理解和掌握有著極其重要的作用。

1導(dǎo)數(shù)概念問題

導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)，首先應(yīng)該從學(xué)生已熟悉的圓的切線開始引入。在初等數(shù)學(xué)中，把圓的切線定義為與圓有唯一交點的直線，如果仍拿這種思想去定義任意曲線的切線，就會出現(xiàn)下列問題：

對于函數(shù)=2它與y軸有唯一的交點（0，0），但是我們認為y不是它的切線。

對于函數(shù)=32它與X軸交于兩點（0，0），（0，1）， 但我們認為X軸是曲線相切于原點的一條切線。

因此，規(guī)范定義，我們把曲線上M點的切線定義為：過曲線的M、N兩點作割線，當點N沿曲線移動趨近于點M時，割線MN的極限位置MT就叫做曲線上點M的切線。進而把切線的求法與極限聯(lián)系起來。

在學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)定義以后，應(yīng)該著重向?qū)W生指明下列三點：

（1）函數(shù)=（）在給定點=的導(dǎo)數(shù)存在時，它應(yīng)當是一個完全確定的數(shù);如果函數(shù)在定義域上的每個點都有導(dǎo)數(shù)，那么它的導(dǎo)數(shù)就是一個新的函數(shù)，因此仍然能求它的導(dǎo)數(shù)，而這個導(dǎo)數(shù)稱為原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，它還可稱作導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。這種關(guān)系要使學(xué)生熟悉。它對于將來研究函數(shù)的極值問題以及曲線凹凸性的問題，都有極其重要的意義。

（2）如果函數(shù)=（）在某一點=上有導(dǎo)數(shù)，那么函數(shù)在這點上是連續(xù)的，但是反過來，函數(shù)在這點上連續(xù)，卻不一定在這一點處有導(dǎo)數(shù)。可舉=||在=0點連續(xù)但不可導(dǎo)作為例子說明。

（3）導(dǎo)數(shù)的含義雖然因研究的具體問題所表示函數(shù)的不同而不同。例如函數(shù)表示路程和時間的關(guān)系時，導(dǎo)數(shù)就是速度;函數(shù)表示質(zhì)量與長度的關(guān)系時，導(dǎo)數(shù)就是密度;在經(jīng)濟學(xué)中，導(dǎo)數(shù)就是邊際函數(shù);函數(shù)表示某條曲線時，導(dǎo)數(shù)就是曲線上點的切線的斜率。但是函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法卻是相同的。

2求導(dǎo)法則的證明問題

（1）關(guān)于復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的證明，一般都是采用取極限的方法解決的。但是這個證明是不嚴密的。這個證明沒有考慮到=0時的情形。雖然存在證明上的這種缺陷，但復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式依然成立。在推導(dǎo)過程中，這個缺陷是可以避免的。因為復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式是（）點有導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)在點也有導(dǎo)數(shù)的條件下成立的。

（2）必須讓學(xué)生知道反函=-1（）數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在條件是原函數(shù)=（）是（嚴格）單調(diào)且連續(xù)（即'（）不改變符號），'（）是存在且不為零的。

（3）反三角函數(shù)=，它的定義域為[-1，1]。它的導(dǎo)數(shù)'=定義域為（-1，1），定義域發(fā)生了改變。

（4）說明;。

在進行公式推導(dǎo)的教學(xué)中一定適當引導(dǎo)，注意發(fā)揮學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性。

3導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的問題

我們知道導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，它可以依據(jù)中值定理給出求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，曲線凹凸等方法。進而可以描繪函數(shù)的圖形。教學(xué)中應(yīng)該通過例題在描繪圖形上給予一定的示范，然后讓學(xué)生做一些綜合性的練習(xí)，使學(xué)生通過繪圖解決一些有關(guān)的應(yīng)用問題。

例：根據(jù)常數(shù)的變化求三次方程3212=0的不同實根個數(shù)。

分析：因為方程3212=0的實根個數(shù)與函數(shù)=3212和=的圖像交點個數(shù)相同。

所以可以先求出'=62612=6（+1）（2）的實根，然后分析這兩個點是極值點，極大值點（-1，7），極小值點（2，-20）畫圖可得：

（1）當<-20或>7時有一個實根;

（2）當a=-20或=7時有兩個不同的實根;

（3）當-20<<7時有三個不同的實根。

概念明確，方法也就清楚了。再加上教學(xué)中配合一定數(shù)量的例題、應(yīng)用題的訓(xùn)練，學(xué)生學(xué)習(xí)是不會有困難的。最后，在教學(xué)中能及時向?qū)W生說明研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的目的和意義，對于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性是有好處的。事實上，學(xué)習(xí)微分法的目的就是采取什么樣的方法去研究函數(shù)的變化狀態(tài)更容易。從函數(shù)圖像在點的鄰近來看，它和該點的切線部分幾乎是密不可分的。因此研究函數(shù)在點的鄰近狀態(tài)就可以用該點的切線狀態(tài)來反映，從而把曲變?yōu)橹保箚栴}簡化。如果把點的切線斜率求出，切線方程就能夠?qū)懗觯瑥亩材軌驕y出函數(shù)的曲線在點的臨鄰近變化狀態(tài)。例如，物體運動的速度正是以該點上切線的向量來表示，這就可以測出在某時刻上物體運動的方向和速度變化的大小和變化狀態(tài)，這樣便把問題統(tǒng)一在研究函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)上了。還有這部分的教學(xué)中，重點應(yīng)該放在如何將實際應(yīng)用題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題上，這對于學(xué)生提高解決實際問題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和積極性都會有好處。