機器人拉桿超靜定吊裝動力學問題研究

湯受鵬

(山東商務職業學院 機電工程系，山東 煙臺264670)

0 引 言

現代結構工程中存在大量著超靜定結構，比如各種礦產行業的井下吊裝、海港碼頭吊裝、海洋平臺上的吊裝作業、大型毛坯零件加工前的吊裝定位和民生建筑內大型多線吊燈等。這些結構在使用過程中總是受到各種動力作用，其結構應力和變形的動態效應明顯且不容忽視。目前分析這種問題大多采用ANSYS等各種有限元分析軟件，這種做法不僅分析速度快、效率高，而且應用正確時結果也比較可靠；但其缺點一是方面直觀性不強，二是應用過程中軟件條件設置不當會導致軟件給出的結果可能存在著偽數據，這對于實際應用都是有很大影響的。不過，有些問題可以通過剛體動力學和材料力學建立數學模型進行求解，這樣的解不僅較為精確可靠，參數之間的關系明確，而且對于結構可靠性分析和優化設計及參數敏度分析等都具有重要理論意義，對于檢驗數值算法結果的精確度和真偽也有重要參考價值。

張曉艷等[1]利用動靜法將動力學問題轉化為靜力學問題處理，利用成熟的材料力學知識建立補充方程解決超靜定動力學問題；利用ANSYS等有限元軟件分析超靜定結構動態響應的固有頻率和振型已被人們廣泛采用[2-4]，趙慶云[5]基于結構力學基本假定和桿件撓曲微分方程提出了分析超靜定結構靜力學問題的微分方程法；明書君[6]基于空間力分析和材料力學線彈性假設研究了多起重機吊裝的空間超靜定靜力學問題；劉妤等[7]利用力法和功能原理研究了具有超靜定特點的微結構靜力學問題；王和慧等[8]利用超靜定連續梁模型和赫茲接觸理論等研究了大型回轉窯筒體結構的應力和變形問題。

本文利用剛體動力學理論和線彈性變形理論研究了機器人多拉桿吊裝超靜定動力學問題，重點討論了拉桿中應力和變形的時間變化規律，并與對應的超靜定靜力學分析結果做了對比，說明了慣性效應的影響規律。本文分析方法和結論可為拉桿吊裝系統及類似問題的可靠性分析和優化設計提供理論參考，對于研究那些涉及到桿、柱和梁等簡單構件約束的超靜定動力學問題也有理論參考價值。

1 問題模型與分析

如圖1所示，一個質量為m、圍繞其質心C的轉動慣量為JC的被吊裝剛體C（忽略其變形）是用n根拉桿吊裝的，為了理論結果推廣應用的普遍性，假設這些拉桿的彈性模量、橫截面積和長度分別為（Ej,Sj,L）（j=1,2,...,n），各個拉桿的兩端分別標記為Oj和Aj（j=1,2,...,n），不失一般性。假設剛體C除了自重還受到力F（t）的擾動，其作用點偏離剛體質心C向右的水平距離為δ（δ<0意味著向左偏離）；且整個結構系統和受力都位于同一平面內（對于空間問題類似討論），而拉桿都是線彈性變形體。

圖1 拉桿吊裝

圖2 物體C 的受力分析

根據理論力學受力分析知道，剛體C受到n根拉桿的吊力Tj（j=1,2,...,n）、自身重力mg和外部擾動力F（t）的共同作用，是典型的平面平行超靜定力系（n≥3）。

為方便研究，建立如圖2所示的坐標系xoy，并假設Aj（j=1,2,...,n）和質心C的水平坐標分別為xj（j=1,2,...,n）,xC；擾動力F（t）的作用點的橫坐標為xF。

利用質心運動定理和相對于質心的動量矩定理對剛體C可以列出如下動力學方程組：

此外，在小變形假設條件下，根據幾何關系容易得到如下等式：

式中，v（jj=1,2,...,n）是第j根桿件的動變形。

顯然單靠式（1）是無法解決問題的，需要借助于材料力學列出補充方程才能求解。對于這n根拉桿，討論的思路都是一致的。由于不考慮它們的質量慣性效應，其動變形vj和軸向力Tj之間滿足如下方程：

將式（2）代入式（3）有

將式（4）代入式（1）整理得

式中

利用主坐標變換法求解式（5），考慮到系統主振型的加權正交性，上述方程可完全解耦處理。

將式（6）代入式（5），并在方程兩邊左乘變換陣ψ的轉置矩陣ψT得

為了得到變換陣ψ，求解式（5）對應的特征方程

即

式中，λ是特征值。

問題對應的特征向量（振型矢量）滿足的方程為

式中，（u1,u2）T是特征矢量，決定于具體特征值的大小。

求解式（9）得

將求得λ1、λ2分別代入式（10）中可以得到兩個特征矢量分別為：

由式（12）和式（13）可以得到變換矩陣ψ為

因而有：

容易證明下面3個等式是成立的，即

所以ψTMψ與ψTKψ都是對角陣，它們分別可簡寫為

因此式（7）可解耦為2個獨立的方程，分別為：

其解分別表示為：

故

這樣由上述結論，各個拉桿的變形vj、軸向力Tj和應力σj（j=1,2,3,4）可分別表示為：

為了比較，假設不考慮剛體的運動，也沒有擾動力F（t）的作用，僅僅考慮整個吊裝系統在被吊裝剛體的重力mg作用下處于靜止狀態時的受力情況，并假設在這種條件下，剛體質心的下垂距離為Y（s）C，剛體圍繞著質心轉過的角度為α（s）（逆時針轉向為正），則按照理論力學和材料力學的線彈性理論可以列出如下靜力狀態下的定解方程組：

解得：

2 算例與分析

在實際工程中，n根拉桿的材料性質和尺寸多半是一樣的，在這里假設它們材質的彈性模量均為E=200 GPa，橫截面直徑為20 mm，拉壓剛度ES為6.28×107N，長度L為3 m，m=5×103kg，n=4，xC=1.5 m，x1=0.3 m，x2=0.6 m，x3=2.4 m，x4=2.7 m；重力加速度g=9.80 m/s2，這種拉桿布置是完全對稱的，計算結果表明，這四根拉桿的變形量都是5.8519×10-4m，受到的軸向力都是12 250 N，應力皆為3.9013×107Pa，剛體轉動角度為0°，這顯然是符合實際情況的。但實際上拉桿的布置是很難對稱排列的（相對于對稱布置略有偏差），為此假設拉桿吊點橫坐標改為x1=0.27 m，x2=0.62 m，x3=2.41 m，x4=2.68 m，此時計算結果為：

上述計算結果表明當拉桿布置不對稱或者說有偏差時，各個桿件的受力是不一樣的，總有一根桿處于最危險狀態，并且被吊裝物體不能水平吊起，存在一定傾斜，這在實際工程中某些個別場合是必須予以關注的事情。

在上述微小非對稱布置條件下，考慮吊裝物的慣性時，則四根桿件中的最大軸向變形為0.0012 m，最大軸向力為2.4629×104N，最大軸向應力為7.8437×107Pa。不過由于四根桿件的空間布置接近于對稱，故它們的動態變形、動態軸向力和軸向應力的變化規律和幅度盡管不太一樣但卻比較接近，容易看出考慮動態性的話，動態參量都近似為對應的靜態參量的2倍，這與實際情況是吻合的。

若將拉桿布置成明顯非對稱的情形，比如xC=2.0 m，x1=0.1 m，x2=0.4 m，x3=2.8 m，x4=4.0 m。計算結果是靜態情況下剛體質心的垂直位移為5.9190×10-4m，剛體順時針轉角為3.8328×10-5rad；四根桿件的靜態拉伸變形量vj(s）、靜態軸向力Tj(s）和靜態拉伸應力σj(s）（j=1,2,3,4）分別為：

若在上述明顯的非對稱布置條件下，考慮動態響應，則四根拉桿的動變形、動態軸向力和動態應力的變化曲線分別如圖3～圖5所示。

圖3 四根拉桿變形的時間變化曲線

圖4 四根拉桿軸向力的時間變化曲線

圖5 四根拉桿應力的時間變化曲線

從動態效應計算結果來看，四根拉桿的軸向變形、軸向力和軸向應力都是時間的周期性函數（未考慮系統的阻尼），并且很明顯，四根拉桿的動態軸向變形幅度、動態軸向力幅度和動態應力幅度都比相應的靜態量大1倍多。此外，由于拉桿布置不對稱，所以第三根拉桿和第四根拉桿在動態響應過程中其動變形、動態軸向力和動態應力都不同程度地出現了負值。此時，若拉桿是柔索，將意味著吊裝系統處于非常不利的一種工況，因為這兩根柔索性質的拉桿在此情形下是不起作用的，吊裝系統的載荷將會重新分配，因此拉桿吊裝系統設計應該盡可能做到拉桿布置對稱于被吊裝剛體的質心，這在實際情況中是非常關鍵的。

3 結 論

通過上述理論分析和算例的計算結果，可以總結出如下幾個結論：1）對于桿件、梁和柱等簡單構件約束的超靜定力學系統可以通過材料力學和理論力學分析方法得到理論解，這對于系統進一步的可靠性優化和設計是方便和有利的。2）對于同一超靜定系統的力學分析，考慮慣性效應和不考慮慣性效應，得到的分析解是有較大區別的，且分析過程的復雜程度也不一樣。而系統處于動態環境下又是常見的，因此分析求解超靜定力學系統的動態行為始終是需要進行的研究工作。3）本文的工作和結論對于類似機器人超靜定動力學問題的研究具有一定的理論參考價值。4）本文算例結果表明拉桿的動態最大響應量明顯大于對應的靜態響應量，若系統阻尼不大或可忽略，系統的動態響應量變化有一定的周期性。