液壓支架立柱撓度的因次分析與仿真研究

2020-05-08 09:37:12云浩張海張繼業徐文蘇趙武

機械工程師 2020年4期

云浩，張海，張繼業，徐文蘇，趙武

(1.河南理工大學機械與動力工程學院,河南焦作454000；2.鄭州煤礦機械集團股份有限公司，鄭州450000)

0 引言

隨著液壓支架支撐高度的不斷增大，對立柱工作可靠性的要求也越來越高。立柱是液壓支架的主要承載部件。目前，液壓支架的最大支撐高度已經達到8.8 m，立柱內徑增大到630 mm。液壓支架立柱受到偏心載荷的作用時將發生橫向彎曲，而橫向撓曲又會對立柱產生附加彎矩，附加彎矩的大小與橫向撓曲量和軸向載荷的大小有關。文獻[2]中要求“立柱(包括加長段)和支撐千斤頂在偏心力和(或)側向力作用后，不應出現功能失效，級間過渡處的撓度值應小于試驗長度的0.1%”。因此，為了保證立柱安全可靠地工作，需要對立柱受偏載作用下的撓度進行研究。目前關于液壓支架立柱的研究有很多，文獻[3]～文獻[5]對立柱穩定性進行了研究。文獻[6]利用Fluent軟件對立柱在偏心載荷下的流固耦合過程進行了仿真研究，并對立柱的最大應力、應變及位移進行了討論。文獻[7]對φ 400 mm缸徑雙伸縮立柱的撓度進行了研究，但未考慮立柱內流固耦合及接觸狀態的影響。文獻[8]對有無流固耦合時，雙伸縮立柱中的活柱在中心載荷作用時的位移和應力進行了仿真和比較。文獻[9]利用流固耦合仿真技術研究了2倍中心載荷作用時的立柱應力和位移。上述研究主要集中在基于流固耦合的立柱強度分析，而關于偏載條件下立柱撓度的研究很少。

文獻[1]給出一種立柱撓度計算的一般方法，但沒有涉及到液體初撐力、缸體膨脹、活塞與缸體之間的相對運動等因素的影響。本文聯合運用因次分析方法與數值仿真技術，對流固耦合條件下的立柱撓度進行研究，提出了一種立柱撓度計算方法。

1 立柱撓度的因次分析

因次分析又稱量綱分析，是基于因次和諧原理對某一物理現象有關各物理量之間的關系進行研究的一種方法，在工程學科的研究中有著廣泛的應用。

立柱撓度的大小，主要受到立柱的結構和材料參數、初撐力、液體參數和外載荷等幾個方面因素的影響。具體來說，影響立柱撓度的因素主要包括如下7個方面：1）缸體長度L;2）缸體截面模量I;3）缸體材料的彈性模量E;4）液體黏度n ;5）液體密度ρ;6）缸體內部初撐力P;7）外載荷（偏心彎矩）M。

取長度、質量、時間為基本量綱，分別用L、M、T表示，立柱撓度用y表示，其量綱為長度[L]。上述7個影響因素的量綱分別為：1）立柱缸體彈性模量E。量綱—N/m2= kg·m/sm2=kg/(ms2)=ML-1T-2;2）立柱缸體截面模量I。量綱—[I]=L4;3）缸體長度L。量綱—[L]=L;4）液體黏度n。量綱—[n]=N·s/m2=kg·m/s·(s/m2)=MLT-2TL-2=M L-1T-1;5）液體密度ρ。量綱—[ρ]= kg/m3= ML-3;6）初撐力（液體壓強）P。量綱—N/m2=kg·m/s/m2=kg/(m·s2)=ML-1T-2;7）彎矩M=1.1倍額定載荷偏心距。量綱—[M]=N·m= kg·m/s·m= ML2T-2。

根據因次分析理論，立柱撓度y與上述7個因素應滿足如下關系：

式中：a、b、c、d、e、f、g為待定指數；k為無量綱常數。

將7個因素的量綱代入式（1），得

式（2）兩邊的對應指數應該相等，故有：

式（3）～式（5）中有7個未知量，而方程只有3個，無法求出唯一解。為此，假設a、b、e、g已知，則可求出其余3個未知量，結果如下：

將式（6）～式（8）代入式（1）中，可得：

或

式（9）和式（10）即為立柱撓度的因次分析式。

為求解出式(10)中的未知量a、b、e、g，對式（10）兩邊同時取自然對數，得

則式（10）變形為如下的線性方程：

式（12）是一個含有4個變量的線性方程。

本文選擇3種不同缸徑的雙伸縮立柱（φ500 mm、φ250 mm、φ230 mm）進行數值仿真實驗，將數值仿真結果代入式（12），并進行多元線性回歸分析，從而求解出式（12）中的未知量K、a、b、e、g。

2 有限元仿真及未知量求解

本文采用FEM和SPH聯合仿真技術，對雙伸縮立柱流固耦合系統在偏載作用下的撓度進行數值仿真研究。其中，FEM用于求解固體域，SPH用于求解流體域。

SPH又稱光滑粒子流體動力學，是在近20多年來逐步發展起來的一種無網格方法。該方法將缸體內乳化液用賦予其相同物理量的光滑粒子代替，以解決乳化液與缸體的流固耦合問題。

2.1 立柱有限元模型

雙伸縮立柱主要由底缸、中缸、活柱和導向套等主要零部件組成。應按照立柱最大高度求解撓度。圖1為雙伸縮立柱全部伸出時的有限元三維模型。缸體內液體用SPH光滑粒子代替。三種立柱的主要結構參數如表1所示。

圖1 雙伸縮立柱有限元模型

表1 三種立柱的主要結構和工作參數

主要部件的材料參數：缸體材料為30CrMnSi，密度7850 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3；導向套材料為42CrMo，密度為7850 kg/m3，彈性模量為207 GPa，泊松比為0.3。

2.2 約束及初始條件

仿真分析時，假設初撐力等于泵壓。為了具有一般性，選取φ500 mm立柱的泵壓為37.5 MPa，φ230 mm和φ250 mm立柱的泵壓為31.5 MPa。

載荷的施加：按照GB25974.2-2010《液壓支架立柱技術條件》要求，在立柱頂端施加1.1倍額定工作阻力的偏心載荷，偏心距等于活柱頂端球頭半徑R的0.3倍。3種立柱的偏心載荷分別為1870、2090、9240 kN，偏心距分別為21.00、23.25、42.00 mm。

為了便于準確施加偏心載荷，在活柱頂部增加了加載塊，如圖2所示。

圖2 偏心載荷的施加方式

約束條件：1）底缸下端球頭外表面上的節點施加固定約束，約束6個自由度；2）活柱上端的球頭與加載塊之間為粘接約束；3）導向套與缸體之間為粘接約束；4）活塞與缸體內壁之間為接觸約束，摩擦因數為0.12；5）導向套與活塞桿之間為接觸約束，摩擦因數為0.13。

表2 三種立柱各段參數

2.3 仿真結果及未知量求解

應用上述有限元模型，可以求解出立柱各個部位的撓度值。仿真得到的立柱撓度值是初撐力、缸體變形及活塞與缸壁之間的相對運動等因素綜合影響后的結果。如果將仿真得到的撓度值作為已知量代入式（12），求解出式中的未知量，則其結果中就包含了初撐力、缸體變形及活塞與缸壁之間的相對運動等因素對立柱撓度的影響情況。

雙伸縮立柱是包含流固耦合和接觸的復雜變截面系統，但立柱在偏心載荷作用下的彈性變形量和位移量均很小，故可將雙伸縮立柱看作多個包含流固耦合的等截面彈性系統的線性組合。在求解雙伸縮立柱的整體撓度時，可以將雙伸縮立柱按照截面特性分解為多個等截面彈性系統，并分別求解出各個等截面彈性系統的撓度。立柱的總撓度即為各個等截面彈性系統撓度的線性疊加。

文獻[1]中，根據立柱結構特征將雙伸縮立柱分解為5段分別求解。其中，底缸和中缸的固定段（導向套長度+活塞長度），共兩段；底缸、中缸、活柱除了固定段以外的部分，共三段。本文在求解式（12）中的未知量時，不再將重合段分離出來單獨求解，而是將立柱分解為底缸段、中缸段、活柱段三段進行求解，如圖3所示。

圖3 立柱分解示意圖

圖3中，L1、L2、L3分別稱為活柱段、中缸段、底缸段的計算長度。仿真所用三種立柱的計算長度及相關結構參數、材料參數和載荷條件如表2所示。表2中，每一行為一組數據，故表中共有9組數據。

應用前述有限元模型和約束條件、載荷條件，對3種立柱分別進行仿真，求解出每種立柱3個計算長度的撓度值，得到9個撓度數據，如表3所示。將9組數據和9個撓度值代入式（12），進行多元線性回歸分析，可求解出K、a、b、e、g如下：K=-19.272，a=-0.029，b=-0.913，e=0.417，g=1.666。

又因為K=lnk，故有：k=eK=4.268×10-9。

將k、a、b、e、g代入式（9），即得到立柱每一個計算長度的撓度計算公式：

式(13)求解出的是每一個計算長度的撓度，式中的L為計算長度。

將k、a、b、e、g代入式（6）～式（8），可求解出另外3個指數：c=0.488，d=-0.834，f=-1.220。

求解出的指數和系數如表4所示。

表4 系數和指數的求解結果

將表4的數值代入式(1)，即得到7個影響因素與立柱撓度之間的關系式：

根據式(14)，可對各個因素對撓度的影響情況進行分析。

由a<0,b<0,f<0可知，彈性模量E、立柱截面模量I和初撐力P越大，立柱撓度越小；由c>0，g>0可知，立柱計算長度L越長，外載荷彎矩M越大，立柱撓度越大。由d<0，e>0可知：液體黏度n越小，密度ρ越大，立柱撓度越大。由于液體參數幾乎不發生變化，故其對撓度的影響不予討論。

為了研究初撐力P對立柱撓度的影響情況，假設其它參數都保持不變，使初撐力由P變化至P′，對應的撓度將變為y′。則P變化前后的撓度之比可由式（14）得到：

同樣的，截面模量I、立柱計算長度L、外載荷M對立柱撓度的影響情況，可以用以下關系式加以描述：

以式（15）～式（18）中右側括號內的比值為橫坐標（稱為參數比），左側比值為縱坐標，可繪制出圖4。

圖4中，當4個參數由小到大變化時，I、P對應的撓度逐漸減小，L、M對應的撓度逐漸增大，且P、M的變化率大于I、L。由此可見，增大立柱初撐力，相當于增大立柱的抗彎剛度。當橫坐標均為1.1，即參數增量為10%時，I、P、L、M對應的撓度比分別為0.917、0.890、1.048和1.172。

圖4 立柱撓度比與參數比的關系曲線

實際上，上述參數往往是多個參數同時發生變化。為此，可將I、P、L、M等4個參數同時變化為I′、P′、L′、M′時，則由式（14）得

由式（19）可對多個參數同時變化時的立柱撓度進行分析。

假設立柱結構參數一定，將工作阻力和初撐力同時增大10%，代入式（19），得到撓度比為1.043，即立柱撓度僅增大4.3%。而單獨增大工作阻力時，立柱撓度的增量是17.2%。故采用較高初撐力有利于減小由于工作阻力大幅度變化引起的立柱撓度變化。

另外，如果I、P、L、M等4個參數同時變化，且均增大10%，代入式(19)，求解出撓度比為1.00。即4個參數同時增大10%，由于各因素之間的耦合作用，立柱撓度并不發生變化。

3 因次分析式有效性檢驗

3.1 因次分析值與仿真值的比較

為了對式(14)的有效性進行檢驗，首先用式（14）求解出φ230 mm、φ250 mm、φ500 mm三種立柱的撓度值。然后，選取缸徑φ400 mm的雙伸縮立柱，并用式（14）求解出撓度值，然后進行仿真計算。缸徑φ400 mm雙伸縮立柱的結構、材料和載荷參數見表5。φ230 mm、φ250 mm、φ400 mm、φ500 mm等4種雙伸縮立柱的撓度仿真值、計算值及其誤差見表6。