焊縫磨拋機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與動(dòng)力學(xué)仿真

葛吉民， 鄧朝暉， 余卓爾

(1.難加工材料高效精密加工湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭411100；2.湖南科技大學(xué) 智能制造研究院,湖南 湘潭411100)

0 引 言

目前結(jié)構(gòu)件焊縫普遍采用人工磨拋，存在著生產(chǎn)效率低、磨拋質(zhì)量難保證、勞動(dòng)強(qiáng)度大、成本高、安全性差等問題[1]。雖然市場(chǎng)上出現(xiàn)了焊縫砂帶磨拋機(jī)，但仍存在柔性差和生產(chǎn)效率不高的問題，因此使用工業(yè)機(jī)器人作為打磨平臺(tái)成為快速發(fā)展趨勢(shì)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究，Song等[2]搭建了一個(gè)機(jī)器人打磨平臺(tái)，基于CAD模型匹配校正打磨工件的姿態(tài)誤差和位置；張明德等[3]設(shè)計(jì)了一個(gè)機(jī)器人砂帶打磨系統(tǒng)，并且建立了機(jī)器人砂帶磨削的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行了螺旋槳葉片型面磨拋?zhàn)鳂I(yè)實(shí)驗(yàn)。上述初步實(shí)現(xiàn)機(jī)器人磨拋過程，但其智能化程度仍較低，因此本課題組提出在機(jī)器人本體上安裝一套焊縫跟蹤系統(tǒng)，激光線掃描焊縫，相機(jī)抓取軌跡位置信息并控制機(jī)器人磨削，實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)件焊縫的智能磨拋。

機(jī)器人焊縫打磨屬于剛性磨削[4]，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)、受力過程比較復(fù)雜。建立一個(gè)準(zhǔn)確并滿足控制要求的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型顯得尤為重要[5]。目前運(yùn)動(dòng)學(xué)建模最常用的方法有D-H(參數(shù))法[6-8]和旋量法[9-11]。其D-H法因其簡(jiǎn)單、方便而應(yīng)用廣泛。動(dòng)力學(xué)建模最常用的方法有：拉格朗日法、牛頓-歐拉法、虛功原理法、凱恩法等。殷志峰等[12]基于Kane-Huston和旋量理論建立了雙臂空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型；張安翻等[13]采用力矩平衡原理和改進(jìn)的牛頓第二定律構(gòu)建水下機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型；WU等[14]針對(duì)并聯(lián)機(jī)器人，利用虛功原理法建立逆動(dòng)力學(xué)方程；WANG等[15]針對(duì)3-DOF機(jī)器人，基于傳統(tǒng)牛頓-歐拉法，提出簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)建模方法；ABDELLATIF等[16]利用Lagrange方程，提出一種建立動(dòng)力學(xué)模型的高效計(jì)算方法；STE FAN等[17]以帶旋轉(zhuǎn)執(zhí)行器的機(jī)器人為研究對(duì)象，創(chuàng)建一種新的動(dòng)力學(xué)分析法（即迭代矩陣法）；劉曉等[18]結(jié)合虛功率形式達(dá)朗貝爾原理建立了機(jī)構(gòu)的耦合動(dòng)力學(xué)方程；GALLARDO等[19]將螺旋理論和虛功原理結(jié)合，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

本文利用經(jīng)典成熟的D-H法建立磨拋機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在此采用簡(jiǎn)化的牛頓-歐拉法建立其動(dòng)力學(xué)模型，通過Matlab編寫程序計(jì)算動(dòng)力學(xué)結(jié)果。在Simulink和Simmechanics兩種環(huán)境下聯(lián)合仿真，并建立一套完整的動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng)，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性，為后續(xù)智能磨拋機(jī)器人的研究奠定了基礎(chǔ)。

1 焊縫磨拋機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 模型參數(shù)分析

本文研究的焊縫磨拋機(jī)器人三維模型如圖1所示，由腰部、大臂、小臂、末端手臂、馬達(dá)、砂輪組成，此磨拋機(jī)器人六個(gè)關(guān)節(jié)都是旋轉(zhuǎn)副，前三個(gè)關(guān)節(jié)確定手腕參考點(diǎn)的位置，后三個(gè)關(guān)節(jié)確定手腕的位姿，關(guān)節(jié)4、5、6的軸線交于一點(diǎn)。建立必要坐標(biāo)系，并選取機(jī)器人腰關(guān)節(jié)坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，其簡(jiǎn)化的三維模型如圖2所示。

圖1 焊縫磨拋機(jī)器人三維模型

圖2 簡(jiǎn)化三維模型

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

1.2.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)

D-H法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，實(shí)質(zhì)上就是連桿之間的變化矩陣。將這些矩陣依次相乘得到末端砂輪相對(duì)于基坐標(biāo)系的齊次變化矩陣，圖2為相鄰連桿的坐標(biāo)變換。

將以上連桿變換矩陣依次相乘得到末端砂輪相對(duì)于基坐標(biāo)系的變換矩陣為

根據(jù)上述公式，求得六軸機(jī)械臂在相同位姿下可能存在8種關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角組合，所以往往要根據(jù)實(shí)際情況選取一種最優(yōu)的解（行程最短、功率最小、受力最優(yōu)）。

1.2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證

利用Matlab的Robotics Tool box工具箱，定義磨拋機(jī)器人連桿參數(shù)如圖3所示，當(dāng)各關(guān)節(jié)角為[0 π/4 -π 0 π/4 0]時(shí)的機(jī)器人位姿如圖4所示。

利用Matlab的fkine函數(shù)，求得在已知各關(guān)節(jié)角的情況下的變化矩陣為

圖3 磨拋機(jī)器人連桿參數(shù)

圖4 磨拋機(jī)器人位姿模型

利用Robotices Toolbox[12]中的求逆函數(shù)ikine6求得各關(guān)節(jié)角，其主要命令語(yǔ)句為qz=p560.ikine6s(T),得到的各關(guān)節(jié)角分別為[0 0.7845 3.1416 0 0.7854 0],[2.6486-3.9270 0.0940 2.5326 0.9743 0.3734 ], 前者與上述正運(yùn)其中，C=cos θ,S=sin θ。

1.2.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)用來(lái)描述機(jī)器人末端相對(duì)于基坐標(biāo)系的位置關(guān)系，即已知末端位姿，求解各關(guān)節(jié)變量。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解方法最簡(jiǎn)單的是將依次左乘T的逆矩陣，使兩對(duì)應(yīng)元素相等，便可求得各關(guān)節(jié)變量，求解過程如下：

動(dòng)學(xué)的關(guān)節(jié)角一致，證明模型的正確性。出現(xiàn)兩組關(guān)節(jié)角也證明了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的多種轉(zhuǎn)角組合，利用polt函數(shù)顯示其模型圖如圖5、圖6所示，可以看到有2種姿態(tài)。

2 焊縫磨拋機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模與仿真

2.1 動(dòng)力學(xué)建模

本文利用簡(jiǎn)化的牛頓-歐拉法建立磨拋機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型[6]，即已知關(guān)節(jié)角的角位移、角速度、角加速度計(jì)算關(guān)節(jié)力矩。

2.1.1 已知條件

1）多項(xiàng)式插值得到的理想關(guān)節(jié) 運(yùn) 動(dòng) 參數(shù)——角位移、加速度、角加速度：

圖5 模型右姿態(tài)

圖6 模型左姿態(tài)

2)末端砂輪作用外力f和外力矩和τ。

3)構(gòu)建的第i個(gè)質(zhì)心在坐標(biāo)系{i}中的坐標(biāo)。

4)連桿坐標(biāo)系{i+1}原點(diǎn)在連桿坐標(biāo)系{i}的位置矢量P，可以從變化矩陣Ti+1的第四列得到。

5）基座固定，角位移和角速度為0。

2.1.2 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的速度和加速度傳遞

連桿i+1的角速度等于連桿i的角速度加上連桿i+1繞關(guān)節(jié)i+1旋轉(zhuǎn)的角速度,在坐標(biāo)系{i+1}中表示為

坐標(biāo)系{i+1}原點(diǎn)線速度大小等于坐標(biāo)系{i}原點(diǎn)線速度加連桿i轉(zhuǎn)動(dòng)速度的分量,在坐標(biāo)系{i+1}中表示為

由式(9)、式(10)進(jìn)一步推得角加速度和線加速度傳遞公式：

2.1.3 質(zhì)心的速度和加速度

2.1.4 牛頓力平衡方程和歐拉力矩平衡方程

2.1.5 遞推的牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)算法

首先向外遞推計(jì)算各連桿速度、加速度；其次利用牛頓-歐拉方程求得各連桿慣性力和力矩；最后向內(nèi)遞推計(jì)算出各關(guān)節(jié)相互作用力和力矩，乘z分量得到各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩：

通過上式計(jì)算得到所需驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)力矩：

2.2 動(dòng)力學(xué)計(jì)算

根據(jù)上述公式，采用遞推的牛頓-歐拉方程，利用Matlab編程求得各關(guān)節(jié)完成運(yùn)動(dòng)所需關(guān)節(jié)力矩，程序流程如圖7所示。

起始位置各關(guān)節(jié)角為[3.2631,2.0791,0.5992,0,0.4633,0.1215], 終止位置各關(guān)節(jié)角為[2.3358,2.0791,0.5992,-2.3209, 1.2425，-2.377]，使磨拋機(jī)器人做直線運(yùn)動(dòng)（如圖8）。采用多項(xiàng)式插值的方法，用Matlab計(jì)算各關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度，最終通過牛頓-歐拉遞推求得在此過程中磨拋機(jī)器人各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩如圖9所示。

2.3 動(dòng)力學(xué)仿真

在SoildWorks和Simmechanics兩種環(huán)境下對(duì)磨拋機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真[20]。

機(jī)器人Simmechanics模型圖如圖10所示；通過from workspace將上述求出的關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度作為信號(hào)輸入端求得所需的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩如圖11所示。

圖7 程序流程圖

圖8 機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)軌跡

圖9 理論計(jì)算各關(guān)節(jié)力矩變化

圖10 Simmechanics模型

通過理論計(jì)算和仿真結(jié)果的對(duì)比，關(guān)節(jié)1、2、3、4、5、6 的仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果趨于一致。但其存在一定偏差的原因可能是仿真模型的三維模型圖與理論計(jì)算使用的磨拋機(jī)器人各參數(shù)（連桿質(zhì)量、質(zhì)心位置等）存在偏差。

圖11 仿真計(jì)算各關(guān)節(jié)力矩變化

3 結(jié) 論

提出一種快速建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型的方法，并通過Matlab編程計(jì)算機(jī)器人實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動(dòng)所需的驅(qū)動(dòng)力大小，最終在Simulink和Simmechanics兩種環(huán)境下聯(lián)合仿真，利用力矩輸入模塊、力矩檢測(cè)模塊搭建仿真，并通過scope以示波器的方式輸出仿真的結(jié)果，仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果大體一致。驗(yàn)證該簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型的正確性，為后續(xù)磨拋機(jī)器人進(jìn)一步動(dòng)力學(xué)及控制研究奠定了基礎(chǔ)。