皮亞諾型余項在函數冪級數展開時的巧用

洪麗君 劉金靈 洪曉春

[摘要]本文使用幾個實例闡述了皮亞諾型余項的重要性，說明在對函數進行冪級數展開時，巧妙使用皮亞諾型余項證明泰勒公式余項的極限為零極為簡潔，此方法對部分函數非常實用

[關鍵詞]皮亞諾型余項;冪級數;泰勒公式余項;泰勒級數

[中圖分類號]0173.1 [文獻標識碼]A [文章編號]2095-3437（2020）05-0074-03

級數理論是分析學的一大分支，它與另一大分支微積分學作為基礎知識及工具出現在其余各分支中，二者共同以極限為基本工具，分別從離散和連續兩方面，結合起來研究分析學的研究對象一一函數.級數是研究函數的重要工具，在理論上和實際應用中都處于重要地位，原因是，一方面能借助級數表示許多常用的非初等函數;另一方面又能將函數表為級數，從而借助級數去研究函數。

文獻[1]研究了在高等數學的學習中，可以利用級數展開法將比較復雜的變系數微分方程轉化為一組線性代數方程進行研究，是一個很好的辦法.文獻[2]研究了在高等數學學習中，針對無窮級數章節，剖析了學生學習困境產生的原因，然后從“教”與“學”兩個方面，給出了幫助學生擺脫困境的策略.文獻[3]使用級數等概念，對高等數學與中等數學的學習方法進行了對比研究分析，得出學習方法需要進行轉換適應等結論.

文獻[4]研究了帶皮亞諾型余項的泰勒公式在求極限以及判定極值方面的應用.文獻[5]研究了帶皮亞諾型余項的泰勒公式在解決考研試題方面的應用.在分析學中，把函數在點Xo的鄰域上展開成冪級數的方法在函數理論和實際計算中都很實用，可以用來判定函數在點x=xo處解析;而判斷函數在點xo的鄰域上能夠展開成冪級數的關鍵，又是判斷函數的泰勒公式余項在該鄰域上的極限為零。本文重點討論如何使用皮亞諾型余項來判斷函數在點xo的鄰域上能夠展開成冪級數.

一、函數冪級數展開的理論

三、討論

對于例1，為了證明泰勒公式余項Rn（x）在收斂域（-1，1]上的極限為零，文獻[6，9]均使用拉格朗日型余項、柯西型余項進行分段證明.對于例2，為了證明泰勒公式余項Rn（x）在收斂區間（-1，1）內的極限為零，文獻[6，8]均使用柯西型余項進行證明，文獻[7，9]的證明過程更加復雜，雖然這些證明方法對同學們數學思維的訓練會有提升，但因冗長，很多同學不易理解.我們使用皮亞諾型余項來證明，證法簡潔，容易理解.

四、結論

本文使用3個例子闡述了使用皮亞諾型余項，證明泰勒公式余項Rn（x）在收斂區間（-1，1）內極限為零，非常簡潔，同學們容易理解，同時可以節約大量時間，在教學中可以使用此方法進行教學。