基于超扭曲非奇異滑模的多電機協調控制

王 玨， 金濤濤， 張 軍

(北京建筑大學城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點實驗室，北京 100044)

多電機同步協調控制是一類可為系統提供較大負載驅動和靈活運動方式的控制方式，目前已廣泛運用于工程車輛、機器人、造紙、紡織、舞臺設備等領域。多電機的協調控制其實質是確保多臺電機間轉速或位移同步。在實際工程應用中，多電機系統的協調控制性能會因為各電機轉速不匹配、外部負載擾動等因素而降低[1]。因此，多電機協調控制在電機控制研究領域具有極為重要的研究意義。以公鐵兩用車[2]為被控對象，研究多電機系統的協調控制。

多臺電機控制常用的幾類電同步控制方式主要有并行同步控制、相鄰交叉耦合和偏差耦合控制方式等。并行同步方式控制結構簡單，同步精度較低[3]。相鄰交叉耦合方式同步精度相對較高，但控制器只能控制相鄰電機，4臺及以下電機的系統難以達到理想精度，主要適用于電機數大于5的系統[4-6]。偏差耦合控制方式[7-8]通過單臺電機實際轉速與其他電機轉速相對比，轉角協同補償器補償每臺電機的誤差以實現多電機動態同步控制。因此，兩用車轉角控制選擇偏差耦合控制方式，同步誤差較低，系統魯棒性好。

以偏差耦合作為電同步控制方式，多臺電機難以兼顧系統的快速穩定性和同步性能，因此需要結合現代智能控制方式降低每臺電機的跟蹤誤差，以實現降低多臺電機的同步誤差。何新霞等[9]研究了偏差耦合控制方式與模糊比例積分微分控制(proportional-integral-derivative control，PID)算法相結合，提高了多電機系統的精細控制，但對系統響應性能的提升有限。耿強等[10]基于偏差耦合控制結構與積分滑模控制器研究了多電機系統的同步控制，降低了系統的同步誤差，但該積分滑模函數能否消解抖振現象并未提及。

針對公鐵兩用車轉向系統中多電機偏差耦合控制方式難以同時提高系統的快速性、穩定性、魯棒性的問題，提出一種可提高系統收斂速度的非奇異快速終端滑模函數[11]，結合可降低系統抖振的超扭曲算法[12]設計了系統控制器，以期能提高多電機系統的控制精度和同步性能。

1 多電機轉角偏差耦合控制器設計

1.1 永磁同步電機數學建模

研究對象為公鐵兩用車轉向控制系統的多永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor, PMSM)控制，建立電機的數學模型。通過Clarke變換和Park變換后的定子繞組各參數變為在d-q旋轉坐標系下的數學模型。電機的電磁轉矩可由公式推導得出，同時根據公鐵兩用車連續啟停和轉向精度高的特點，確定以id=0控制方式，作為電機的控制方式。

(1)

(2)

(3)

式中：Te為電磁轉矩；Pn為PMSM極對數；φf為永磁體磁鏈，Wb；Ld、Lq分別為d、q軸電感，H，該系統中電感很小，可計為0；id、iq分別為d、q軸定子電流；U為系統電壓，V；R為電機內阻，Ω；i為系統電流，A；ke為反電動勢系數；N為齒輪減速比；ω為車輪旋轉角速度，rad/s；J為電機主軸轉動慣量，N·m；kt為電機扭矩系數；ks為彈簧阻尼系數；f為摩擦系數；θ為機械角度，(°)。

聯立式(2)、式(3)可得：

(4)

1.2 偏差耦合控制方式

偏差耦合控制方式是目前多電機電同步控制方式中精度較高的一種方式，主要適用于系統電機數小于6的情況。對于多電機控制系統，可定義系統中第j臺電機的跟蹤誤差為

ej=θ0-θj

(5)

式(5)中：θ0為電機的給定轉角，(°)；θj為第j臺電機的輸出轉角，(°)。

在多電機轉角同步控制的過程中，在既滿足多臺電機的誤差e趨向于0的情況下，又要滿足多臺電機的跟蹤誤差盡量相等，即e1=e2=e3=e4。對于轉角協同補償器，其多臺電機之間的轉角關系式為θ1/u1=θ2/u2=θ3/u3=θ4/u4，可將控制系統的同步誤差表示為

(6)

式(6)中：εji為第j臺電機與系統其他電機的同步誤差，i為第i個轉角協同補償器；ui為兩臺電機之間的同步耦合系數。

對公鐵兩用車多電機系統同步控制進行研究，將4臺電機通過轉角協同補償器進行耦合，并實現偏差耦合控制。轉角協同補償器可對轉角誤差進行實時補償，其主要功能就是求取4臺電機轉角誤差的實時平均值，即

并將轉角誤差平均值給定控制器，實現轉角的同步控制[13]。多電機耦合的協調控制結構如圖1所示。

圖1 公鐵兩用車多電機耦合的同步控制結構Fig.1 Multi-motor synchronization control structure for road-railvehicle

2 超扭曲非奇異快速終端滑模控制器

2.1 非奇異快速終端滑模函數設計

為了提高多電機控制系統的動態響應性能及魯棒性，在多電機偏差耦合控制結構的基礎上，提出一種新型非奇異快速終端滑模函數，可使滑模函數在系統平衡點附近比經典終端滑模函數以更快的速率收斂。該新型非奇異快速終端滑模函數可表示為

(7)

式(7)中：γ為系統參數；p、q為正常數，且1

滑模控制算法是為了能使狀態變量在光滑滑模面上產生滑模運動，以實現控制的響應性和穩定性，則需要滿足：

(8)

(9)

通過Lyapunov穩定性理論可知，所提出的非奇異快速終端滑模函數可以穩定收斂。

2.2 超扭曲算法控制器設計

由于滑模函數需要在滑模面內持續不停地切換，滑模控制算法在平衡點附近會發生抖振現象。為了避免抖振現象的出現，引入了超扭曲算法，使滑模變量隱藏在高階導數內，可有效避免抖振。

超扭曲控制算法的非線性方程為

(10)

式(10)中：α=α(t)表示系統的狀態變量；k1、k2為正常數；sgnα為α的符號函數。

通過超扭曲非線性方程，可得其滑模趨近控制律為

(11)

由式(8)～式(10)可得系統的控制律為

(12)

(13)

通過Lyapunov穩定性理論，證明提出的超扭曲算法非奇異快速終端滑模控制器系統可達穩定。

3 仿真結果與分析

為了進一步驗證所提出的基于超扭曲算法非奇異快速終端滑模控制器在多電機控制系統中的可行性、有效性和使用性能，基于公鐵兩用車轉向控制系統，利用MATLAB/Simulink搭建了4臺永磁同步電機的控制仿真平臺，對多電機系統進行了仿真。

對于系統內單臺電機而言，提出的基于超扭曲算法非奇異快速終端滑模控制器可有效地實現以車輪轉角為被控對象的快速控制。系統1號電機的響應曲線如圖2所示。當給定信號為階躍信號時，普通滑模控制器與超扭曲非奇異快速滑模控制器均無超調量，系統調節過程較為平穩。超扭曲非奇異快速滑模控制器在0.043 s時系統達到目標值并穩定收斂，普通滑模控制器在0.145 s達到目標值并收斂，穩態時間縮短了70%。在系統給定信號為方波信號時，超扭曲非奇異快速滑模控制器可在0.024 s內達到穩定，并可緊隨信號波動，具有較好的跟隨性能。普通滑模控制器難以在方波信號下實現穩定，系統穩定性、跟隨性較差。

圖2 1號電機轉角變化曲線Fig.2 Angle change curve of No.1 motor

如圖3所示，超扭曲非奇異快速終端滑模可在平衡點穩定收斂，幾乎無轉角誤差，且未發生抖振現象，保持了系統控制的穩定性。普通滑模函數在系統穩定收斂后，仍有0.03°的誤差，且有較大的系統抖振，并會出現波動，系統控制不穩定。因此，超扭曲非奇異快速滑模控制器具有更好的動態性能，系統無抖振現象，響應迅速、穩態精度高。

圖3 系統消除抖振效果Fig.3 Eliminating buffeting effect

以1號、3號電機轉向角為30°，2號、4號電機轉向角為9.68°為例(圖4)，分析系統的同步誤差。

圖4 公鐵兩用車系統轉向方案Fig.4 Road-rail vehicle steering scheme

對多電機轉向控制系統，超扭曲非奇異快速滑模控制器使4臺電機均能在對應的轉向角度值穩定收斂，跟隨精度較高。如圖5所示，4臺電機均在0.053 s時系統達到穩定且超調量較小，當系統1號電機在0.5 s時間處受到方波信號振動時，2、3、4號電機均會發生波動，且波動的幅度遠小于1號電機，證明偏差耦合控制結構可使多電機處于協調控制狀態，在某一電機受外界負載擾動時，2、3、4電機通過轉角協同補償器計算同步誤差平均值的方式可有效增強系統的魯棒性能和同步性能。普通滑模控制的4臺電機均在0.164 s時系統達到穩定，響應速度較慢，且當系統內1號電機在0.5 s受到方波信號振動時，普通滑模控制難以實現穩定，其跟隨性能和魯棒性能差。

偏差耦合電同步控制方式可以使多臺電機實現同步控制，且所提出的新型超扭曲非奇異快速滑模控制器顯著提升了多電機系統的響應速度和穩定，所設計的多電機同步策略可以實現。

圖5 多電機轉角控制變化曲線對比Fig.5 Contrast of multi-motor angle control

圖6 轉角誤差曲線Fig.6 Multi-motor angle error

系統在超扭曲非奇異快速滑模控制器控制下的轉角誤差如圖6所示，多臺電機在該控制策略下的同步誤差會在很短的時間內收斂于0，且當系統受到方波信號的擾動時，系統可在0.024 s內達到穩定收斂，具有較強的響應特性和跟蹤性能。

4 實驗結果及分析

基于自主研發的純電動公鐵兩用車平臺，對多電機轉向控制系統進行實車實驗，實車搭載高精度絕對值編碼器，可實現多電機轉角精確控制及信號反饋。

公鐵兩用車為四驅四轉型特種車輛，即由4個獨立驅動電機與4個獨立轉向電機分別控制4個驅動輪。轉向電機通過帶動行星減速器及轉向盤，實現牽引車的轉向。公鐵兩用車電氣控制系統主要由中央控制單元、顯示觸摸屏幕、牽引電機、牽引驅動器、轉向電機、轉向驅動器、牽引控制單元、轉向控制單元以及外圍一些執行機構組成。純電動公鐵兩用車如圖7所示。

圖7 純電動公鐵兩用車Fig.7 Electricroad-railvehicle

圖8 多電機轉角控制實車對比Fig.8 Real vehicle contrast of multi-motor angle control

在實車試驗中，將超扭曲非奇異滑模算法和普通滑模算法作對比，并驗證仿真試驗效果，試驗結果如圖8所示。由圖8(a)可知，對于系統的單臺電機而言，超扭曲算法可明顯提高轉角控制系統的響應性，降低單臺電機的跟蹤誤差，并能實現系統在達到穩定時間后，穩態精度較高，且沒有系統抖振。

由圖8(b)、圖8(c)可知，對整車轉向控制系統而言，超扭曲非奇異滑模算法相較于普通滑模算法，可使多電機系統更快地達到穩定，可有效提高系統的同步精度和多電機耦合精度，多電機轉向系統的響應性和穩定性也得到了顯著的提高。

通過公鐵兩用車的實車實驗，證明所提出的超扭曲非奇異滑模算法可有效實現多電機協調控制，并能明顯提高控制性能。

5 結論

(1)針對多永磁同步電機協同控制的要求，采用偏差耦合控制結構，提出一種新型超扭曲非奇異快速終端滑模面控制方法，實現了多電機轉角的協同控制。

(2)為驗證上述方法的有效性，基于MATLAB/Simulink平臺搭建仿真模型，經仿真分析表明，新型超扭曲非奇異快速終端滑模面控制器可使單臺永磁同步電機在階躍響應下在0.043 s時系統達到穩定，并可使4臺電機在0.053 s時系統達到穩定，并且穩態精度在10-3量級。

(3)基于自主研發的純電動公鐵兩用車設計實車試驗，驗證兩種算法在實際工程中的使用效果。試驗證明，新型超扭曲非奇異快速終端滑模面控制器可能有效提高多電機控制的穩態精度、響應特性、跟隨精度及同步精度，能滿足公鐵兩用車多電機協同控制的使用要求。