高中數學幾何問題探究

劉建國

(保定市順平縣職業技術教育中心 河北 順平 072200)

數學知識變化莫測，使得數學世界變得豐富多彩。就如簡單的兩條直線就有平行、重合、共面、異面等多種關系，簡單的一條線、一個面也可以組成多種位置關系。課時學生對于幾何類問題的解答，受到自身空間想象能力和邏輯思維能力多種能力的影響。因此，為了培養學生的這些幾何能力，對高中幾何幾種題型進行了分析探討。

1.利用幾何圖形的平行、垂直位置關系解決立體幾何問題

通常情況下，幾何圖形的平行問題主要分為線與線之間的平行關系、線與面之間的平行關系和面和面之間的平行關系幾種問題。解決這三類問題通常會用到平行公理、線面平行性質定理、線面垂直性質定理和線面平行性質定理幾塊知識內容。其中判斷線面平行問題是，最常使用的方法就是線面平行定理。然而如何在一個平面中找到一條直線的平行線是學生倍感苦惱的問題，需要我們教師加以引導，讓他們學會用性質定理分析問題、解決問題。另外三垂線定理和逆定理在解決幾何位置關系中，發揮了重要的作用，在高中中出現的頻率也相對較高。添加輔助線是培養學生利用已知條件探索解決問題辦法的有效途徑之一，也是學生需要掌握以及熟練運用的。

2.立體幾何空間角解題技巧

立體幾何里面空間角的問題是高考必考內容，所以說對這塊內容的學習是重點。空間角分成異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角幾種形式。利用定義求空間角也常用方法，既利用空間角的定理來尋找空間幾何體的結構特征，從而順利將空間角轉換成平面角，把立體幾何轉變到平面幾何問題上來，有效降低了解題難度。其關鍵點在：第一根據空間角的定義來找到角。找角主要是在已經知道的空間角上添加輔助線找出空間角里的平面角。第二證角。我們找到角以后還要證明這個角就是題目中要求的角。第三步求角。把找到的角放在平面中，然后再利用定理來求角。

空間角的問題通常線面角出題率較高，我們可以利用傳統方法解答此類問題。如下題：

證明：∵地面ABCD為矩形，又∵AD垂直于PD。CD與PD相交于D點，∴AD與平面PCD垂直，而AD屬于底面，所以底面和平面PDC也垂直。

對于異面直線所成的角這類問題，解題的關鍵所在就是利用幾何定義找到解題突破點，異面直線所構成的角，從定義我們知道這個角就是由空間中任意一點到兩個異面直線的平行線構成的，那么從空間中所取的這個點就是解題的突破點。一般情況下我們選擇一條線段的端點或中點、等分點。如下題：

那么，解答此題的時候，我就把B點和D點連接起來，取了上面一個點G，使得BG:GD=A:2.這樣就找到了題目的突破口。

3.立體幾何中空間距離的計算方法

在高中立體幾何中，空間距離主要涉及到點到直線的距離、異面直線間的距離、點到平面的距離三個方面。對于求點到直線距離的問題，我們通常采用三垂線定理得到三角形來求解，另外還可以利用面積相等的原理來求解；對于異面直線間空間距離問題，可以找出兩條異面直線的公垂線，轉換到線段長度問題上來；對于點到平面距離的問題，通常是從這點出發，做平面的垂線。也可以利用“三棱錐體積法”來解決此類問題，然而在我們直接接找點到平面垂線比較困難的時候，就從點所在直線中，找到另外一點到平面的距離，這樣就可以把點到平面的距離求解轉移到直線到平面距離問題上來進行求解。

4.平面圖形翻折與立體圖形展開問題技巧

平面圖形經過翻折或者我們在解題過程中把立體圖形展開解題是立體幾何解題常用方法，也是高考常考的熱點問題，需要我們教師長期地引導學生熟練掌握此解題方法。我們在解題時沿著某一條直線，把平面圖形翻折得到一個立體圖形，那么這條直線其實就是圖形旋轉的一個軸。對于此類問題的解答，首先要弄清變化了的量和位置關系，找到變化的內容和沒有變化的內容，然后把沒有變化的條件集中起來，都在立體圖形中進行分析，這樣就把條件和問題結合成為一個比較明朗的立體幾何問題。

立體幾何解題時，把立體幾何問題轉變成平面幾何問題，能夠有效降低難度，使得學生思維順利進行遷移。把立題幾何展開以后，得到一個平面圖形，然后弄清楚立體幾何中相關點、面在展開后的關系，這就是解決展開立體幾何問題的突破點。如下題：

求上圖長方體中，一個蜘蛛從從A點到B點的最短距離是多少。那么此問題就可以把立體圖形展開，把表面積的位移問題轉化成平面里的位移問題。

總之，在高中幾何問題的學習中，需要教師采用科學的手段，幫助學生學習有效解決問題的方法，使得他們的立體空間想象能力得到提升。同時也培養學生發散思維，使他們能夠順利進行問題的轉換，降低解題難度，使學生在高考中能夠順利找到問題的突破點，快速解決問題。