代數(shù)基本定理的幾種證明

李志國 邵澤玲 李志新

摘?要：代數(shù)基本定理是數(shù)學中最重要最基本的定理之一，不僅僅在代數(shù)學中起著重要的基礎(chǔ)作用，乃至整個數(shù)學研究都有著廣泛的應(yīng)用基礎(chǔ)。本文通過利用拓撲、不動點、代數(shù)等理論給出了代數(shù)學基本定理的五種不同的證明。

關(guān)鍵詞：代數(shù)基本定理;不動點定理;同倫;分裂域

代數(shù)基本定理在代數(shù)乃至整個數(shù)學中起著基礎(chǔ)作用。最早該定理由德國數(shù)學家羅特于1608年提出。據(jù)說，關(guān)于代數(shù)學基本定理的證明，現(xiàn)有200多種證法。迄今為止，該定理尚無純代數(shù)方法的證明。大數(shù)學家J.P.塞爾曾經(jīng)指出：代數(shù)基本定理的所有證明本質(zhì)上都是拓撲的。美國數(shù)學家John Willard Milnor在數(shù)學名著《從微分觀點看拓撲》一書中給了一個幾何直觀的證明，但是其中用到了和臨界點測度有關(guān)的sard定理。復變函數(shù)論中，對代數(shù)基本定理的證明是相當優(yōu)美的，其中用到了很多經(jīng)典的復變函數(shù)的理論結(jié)果。

代數(shù)基本定理，一般高等代數(shù)的教材中都沒有給出證明，這是因為它的純代數(shù)方法的種種證明都很復雜。大多數(shù)參考文獻中都是利用維爾定理和儒歇定理等復變函數(shù)理論來證明代數(shù)基本定理。本文從拓撲學，不動點理論，代數(shù)理論等角度分別列舉了五種不同的證明方法。

1 代數(shù)學基本定理

任何一個n次多項式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在復數(shù)域C中至少有一個根。

證法一：（代數(shù)拓撲方法）

視S2=C∪{SymboleB@

}，f（z）可以延拓為一個連續(xù)映射：

F：S2=C∪{SymboleB@

}→S2=C∪{SymboleB@

};

F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@

）=SymboleB@

。

由此可知，只要證明0∈ImF即可。定義H：S2×I→S2如下：

H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，

SymboleB@

，z=SymboleB@

。

令F1（z）=anzn，z∈C

SymboleB@

，z=SymboleB@

，則H（z，t）定義了一個F與F1之間的一個同倫。而degF1=n，所以degF=n，故F必為滿射，所以0∈ImF，證畢。

證法二：（代數(shù)拓撲方法）

用反證法。設(shè)n次復系數(shù)多項式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在復平面上無根。于是a0≠0，否則0是根。不妨設(shè)an=1。

r>0，規(guī)定fr（z）：S1→S1為

fr（z）=f（rz）/‖f（rz）‖

則r，fr～f0。而f0（z）=a0/‖a0‖，即f0是常值映射。于是fr零倫但是不難證明當r→+SymboleB@

時，fr（z）→zn。從而當r充分大時fr～hn。這里hn：S1→S1規(guī)定為hn=zn。它不是零倫的，因為（hn）π不是平凡同態(tài).導出矛盾。

證法三：（微分拓撲方法）

因為limz→SymboleB@

f（z）=SymboleB@

，所以存在R>0，使得|z|R|f（z）|>|f（0）|，記K={z∈C|z|SymbolcB@

R}，則函數(shù)|f（z）|在K上的最小值必定在K內(nèi)部的某點c取得，這時必有f（c）=0。否則，因為f將c點的一個開鄰域U（不妨設(shè)UK）映成點f（c）的一個開鄰域W，所以必有W中的某點w=f（z）使得|f（z）|<|f（c）|，但這與|f（c）|的最小性矛盾（如下圖所示）。

證法四：（不動點理論方法）

不失一般性，可設(shè)an=1，令z=reiθ（0SymbolcB@

θSymbolcB@

2π），且令R=2+|a0|+…+|an-1|，在復平面上定義函數(shù)：

g（z）=z-f（z）Rei（n-1θ）?|z|SymbolcB@

1，

z-f（z）Rz（n-1）|z|>1。

由g的形式，顯然它是連續(xù)函數(shù)，考慮集合C={z||z|SymbolcB@

R}，它是平面上列緊的凸集?，F(xiàn)在證明集合C對于g是不變集合。事實上，設(shè)|z|SymbolcB@

1，則：

|g（z）|SymbolcB@

|z|+|f（z）|RSymbolcB@

1+（1+|a0|+…+|an-1|）RSymbolcB@

1+1=2SymbolcB@

R

設(shè)|z|1，則：

|g（z）|SymbolcB@

|Rzn-f（z）||Rzn-1|=|（R-1）zn-（an-1zn-1+…+a1z1+a0）||Rzn-1|

SymbolcB@

（R-1）zR+|a0|+…+|an-1|R

SymbolcB@

R-1+R-2RSymbolcB@

R

由集合C對于是g不變集合，由Brower定理gC：C→C有不動點，設(shè)為z0，即g（z0）=z0，故：

f（z0）=0。

證法五：（近世代數(shù)方法）

首先假設(shè)f（z）是實系數(shù)多項式，并設(shè)n=2lm，m為奇數(shù)。（對l歸納證明）當l=0時，n為奇數(shù)，顯然f（z）有一個實根，當然也是一個復根。假設(shè)l1，定理對l-1成立。由分裂域存在定理，存在f（z）的分裂域Ef包含f（z）的所有根α1，α2，…，αn-1，αn，任取一實數(shù)r，并令βij=αiαj+r（αi+αj）（i

i，jSymbolcB@

n），共有n（n-1）2=2l-1m個。

作多項式g（z）=Πni，j=1i

某對i，j，使得βij（1）=αiαj+r1（αi+αj）;βij（2）=αiαj+r2（αi+αj）都是復數(shù)，因此可得αiαj，αi+αj也都是復數(shù)，從而αi，αj也都是復數(shù)。這就證明了實系數(shù)多項式f（z）至少有一個復根。

其次，如果f（z）不是實系數(shù)多項式，設(shè)f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0，令f1（z）=a-nzn+a-n-1zn-1+…+a-1z1+a-0，則F（z）=f（z）f1（z）是實系數(shù)多項式，由第一步的結(jié)論可知α至少有一個復根α，即f（α）f1（α）=0;若f（α）≠0則f1（α）=0，從而f1（α）=f（α-）=0，所以α-是f（z）的一個復根。

綜上所述，定理得證。

2 結(jié)語

代數(shù)基本定理保證了多項式方程的根的存在性，證明歷史由來已久，前人已對代數(shù)基本定理的證明進行了深入研究，然而利用各方面的知識探討該定理的證明仍是十分有意義的，本文從拓撲學，不動點理論，代數(shù)理論等角度分別列舉了五種不同的證明方法。反映出現(xiàn)代數(shù)學的各個分支相互滲透，相互融合也提現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一觀。

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基金項目：河北工業(yè)大學教育教學改革研究項目（201903028）;河北省自然科學面上基金（A2019402043）

作者簡介：李志國（1979-），男，漢族，河北磁縣人，博士，講師，拓撲學方向;李志新（1983-），男，漢族，河北邯鄲人，博士，講師，動力系統(tǒng)方向。

*通訊作者：邵澤玲（1977-），女，漢族，山東臨沂人，博士，副教授，圖論方向。