數形結合在函數問題中的應用

黃定紅

摘要：本文對數學結合在函數問題中的應用，從函數圖形轉函數，函數轉圖形，函數和圖形之間互相轉換的三個方面提出了探討，為數形結合解決函數問題的策略提供參考。

關鍵詞：數形結合;函數;數學

函數圖像是函數概念在二維環境下的直觀展現，是解決函數問題的突破口。函數圖像能夠清晰的展現出函數的性質和規律，了解函數與變量之間的關系，有助于函數問題的解決。在進行函數學習的時候，要善于利用函數圖像輔助函數解題，利用數形結合的思想能夠有效提升函數學習的效果，增強數學學習能力。

1.數形結合中的以形助數思想在函數問題中的應用

通過函數圖形幫助函數問題的解決，是初中階段用來解決函數學習的最主要的方式之一。借助圖像所具有的生動、直觀的特點，把數量之間的變化關系表現的非常直觀形象，一眼就能發現其中的規律，這也讓解題思路變得更加清晰起來。

因為數字本身所具備的抽象、零碎的特性，如果在解決函數問題的時候，糾結于數值上面，就會加大函數解題的難度，增加了干擾項。所以要從“數”的領域轉變成“形”的領域，利用圖形去解決問題。

核心思路是把以數為主的問題轉換成以形問題，先去解決函數圖形當中存在的問題，最后再次解決函數的問題。

例如在學習一次函數的過程中，給出題目：“一塊冰塊沿著管道向下滑，它的速度v（m/s）與冰塊下落時間t（s）的關系如圖所示。

（1）試寫v與t之間的關系表達式;

（2）當冰塊滑落3s時冰塊的速度是多少？

教師進行函數教學的時候，通過函數圖像將函數中數量間的關系，轉變成更加直觀、更加形象的直角坐標系，學生可以從圖像中觀察到數量之間的變化關系（因為圖像是一條經過原點的直線，因此該圖像為正比例圖像）和題意分析可知，變量v與變量t之間呈正比例關系[1]。設v=kt，通過這種方式可以有效的結合已知量和變量，讓學生重新通過另一種方式認識到一次函數和變量之間的關系。通過學生自己的觀察和分析，尋找出正確的答案。最后根據圖像可以看出，當冰塊下滑速度在3s的時候，速度達到3k，已知k=v/t且k是定量，所以根據t在2s時v=5可知，k=2.5，所以當t=3時，v=7.5。因此，確定直角坐標系思想模型，可以讓學生在對函數問題形象化的分析實踐中，達到對問題的有效分析，合理判斷，并最終作出對函數問題的有效解答。

通過函數圖形去幫助解決函數問題，這之中圖形是關鍵的。在解題的過程中，需要制作正確的圖，學會正確用圖，最后用正確的邏輯去分析函數圖形，是以形助數的基本。要學會從函數轉到圖形，再從圖形轉回函數。心理學領域元認知的概念就是認為人只要通過培訓，就可以對認識行為進行再認識。因此要在函數的學習中，

做到見“數”如見“圖”，將函數的解題思路放在更高一個層次上，才能做到數學學習質量的提升。

2.數形結合中的以數代形思想在函數問題中的應用

在數學函數學習的過程中，經常會出現運用文字的形式表示數與數之間的關系，這不利于數學學習中抽象思維的發展。因此要在數學學習實踐的過程中，將函數代數的問題轉變成幾何圖像，用生動形象的幾何圖形直觀的表現函數關系，更有助于引導數學學習，提升對函數問題的認知。

例如在學習反比例函數的過程中，分析例題：若點（-3，y1）、（-2，y2），（0，y3）在反比例圖像y=-3/x上，求y1，y2，y3之間的大小關系。根據反比例函數的關系式可以得到直角坐標函數圖像，然后再在圖像上標注y1，y2，y3三個點所在的位置，對比三個點的大小關系，得出答案。通過以數化形的方式，可以讓數量關系在直觀圖里通過更直接的方式展現出來，不需要通過繁雜的計算就可以輕松對比出大小關系，為函數當中在函數圖像的應用擴寬了思考方向。

3.數形結合中的互相變換思想在函數問題中的應用

如果在函數學習的過程中直接給出函數的關系式和圖像，那么一定可以很輕松的發現其中的規律，并找到解決的辦法。但是如何判斷函數的數量具體關系，以及根據這個關系列出正確的關系式，再進行正式的畫圖分析，則需要更多的考量。數形互換的方法可以很好的解決在單一思路受到阻礙的情況[2]。如果無法確定函數的關系式，那么可以先構畫函數圖像，通過分析函數圖像的增減性，然后判斷函數之間的關系，最后再寫出關系式。數形互換思想是利用數形結合解決函數問題當中最復雜也是最靈活的方式，如果能做到正確合理的運用，將會對函數思維模型的構建起的極大的推動作用。

例如已知函數y=kx+b（k≠0）和函數的圖像相交于點A（m，4）和點B（2，n）兩點，并與坐標軸交于M，N兩點，求（1）一次函數的解析式，（2）請直接寫出kx+b-≥0重的x的取值范圍。

解題時要注意發揮數和形的優勢，結合數形關系進行分析。根據第一問，根據函數之間的關系計算得出k=-2，b=6，m=1，n=2，所以函數y=-2x+6。如果沒有圖形作為輔助，那么這道題需要解出kx+b-≥0中的x的取值范圍，也就是-2x+6-≥0的范圍，難度較大。

我們可以觀察一次函數和反比例函數之間的關系和交點，可以看出當反比例函數在第一象限時，僅在m到n點的取值小于一次函數，其他階段都滿足kx+b-≥0，所以根據題目我們可以直接得出當x≤0或1≤x≤2的時候，滿足kx+b-≥0。

結論

數形結合思想的研究是對函數解題思路的一種改進，是對認知方法的再認知，有利于提升思想高度去解決函數問題，簡化問題的同時尋找到更多的辦法，開拓眼界。在數學函數學習過程中，要熟練的掌握好從圖形轉函數、從函數轉圖形，再到函數圖形互相轉換的辦法，尋找到不同的解題思路，促進數學思維發展。

參考文獻：

[1]王偉平，張宏政.妙用兩點構圖像立足關聯謀整體——函數復習課教學實錄及點評[J].中學數學教學參考，2019（35）：33-36.

[2]羅曉彤.數形結合對應為徑——數形結合思想方法在函數綜合問題中的應用分析[J].中學數學教學參考，2019（35）：66-69.