基于定性數據定量化變換改進熵值法及其應用

詹棠森，汪子婷，湯可宗，歐陽震坤

(景德鎮陶瓷大學信息工程學院，333403，江西，景德鎮)

0 引言

關于藝術品的定價方法，很多是采用一種主觀的定性方法。藝術品的價格存在混亂、以次充好、甚至是以贗代真等問題[1-2]。出現這種問題，最關鍵的就是沒有用定量化的模型進行評價。現在，國內外藝術品的定價方法主要有以下5種方法：一是代表作方法，這種方法就是用代表其在市場上所有作品的代表作的平均價格作為藝術品價格指數。該方法的可取之處是直觀而且簡單，但不同的人就有不同的價格指數，即使用某一個場拍賣數據進行平均得到藝術品的價格指數，但還是無法評價不同其他藝術家和不同藝術風格的作品。對藝術品進行分類和選擇代表作品時，存在著任意性。因此,該方法并不能作為定價的一般方法。二是雙重出售法，最早由Baumol用標準連續復利回報率公式測量至少售出2次的繪畫的回報率。不足之處是有很多作品沒有再次出售，并且數據獲取較難。三是重復銷售法，通過對一段時間重復成交記錄的所有繪畫作品的價格進行回歸估計，估計的系數就是藝術品價格指數的值。這種方法同樣不適應單個作品的評價。四是特征價格指數法，為了克服雙重和重復銷售法中交易數據獲取困難問題，最早由Court[3]提出特征價格指數法。特征價格法就是把特定商品的量分解成反映其特性的一系列指標，通過對成交數據取對數進行回歸(hedonic回歸法)。這樣在回歸方程里，回歸系數不穩定與樣本選擇不同所帶來的偏差是密切交織在一起的，這樣降低了藝術品價格指數的可靠性。五是其他定價方法，Roberto Zanola利用數據包絡方法，通過效率值分析拍賣行對藝術品價格的影響，但一種藝術品不是在同時進行拍賣的就很難分析拍賣行對拍賣價格的影響。文獻[2]在隨機抽樣對成交價是否在估價范圍之內，發現很多畫家的作品價格被低估的概率大于被高估的概率。并且在定量化的過程中，很多虛擬變量都是用0和1進行表示的，這樣在取對數過程中，對應指標都定義為0。可以說，這種不科學的定量方法在評價藝術品時，都是很片面的。如何把定性的因素進行定量，指標定量化及權重的確定具有舉足輕重的地位。

指標權重確定的科學、合理，評估結果的可靠性與正確性就高。指標賦權方法分為主觀賦權法和客觀賦權法[4]。依據已拍賣的陶瓷藝術品客觀價格數據信息可以定量影響陶瓷藝術相同因素的值。熵值法是常用的客觀賦權法，該賦權方法意義明確且對決策方案數及指標個數沒有限制，但當某個指標值與其他指標值離散程度較大時，該指標的熵值及權重會很大，導致該指標影響最終的評價結果。為了克服這種偏離太大的問題，文獻[5-6]借鑒AHP賦權法，構造基于指標信息熵的判斷矩陣[7-8]，從而得到各個指標的權重值。這種決策方法只是用熵值得到的權重再去評估各個決策單元的值，但這種排序結果是否準確，沒有評判的標準。文獻[9]首先根據灰色GM(1, 1)模型和線性模型的預測結果的相對誤差作為影響因素，對相對誤差序列進行變換，然后再按照傳統熵值法計算各個預測值的權重，從而得到組合預測值，但這里首先要用其他方法進行預測，后再利用熵值法，如果沒有其他的預測方法也就無法計算，并且計算比較復雜。對于陶瓷藝術如何從定性的數據進行定量并進行預測具有較好的研究意義，但現在都很少對這種內容進行研究。雖然，在文獻[10]中通過小波神經網絡算法對陶瓷藝術的價格進行預測，但這種方法在數值比較大的時候，由于小波函數的分解值幾乎都等于0，這樣在小波神經網絡算法的迭代中，網絡的調整值中基本等于0，這樣就會造成誤差很大，預測結果就不精確。另外，通過很多算法對這種定量化后的預測都會出現過擬合狀態。出現這些現象，關鍵是各因素相同情況下，定量值是相同的。所以在選取樣本時，盡可能選取不同因素樣本進行分析。本文就是在相同因素情況下進行定量后，通過價格與影響因素的關系重新得到新的定量數據，把新的定量數據利用熵值法進行綜合權重排序，并用這種改進熵值法進行預測，預測結果符合價格的范圍，說明應用該方法的過程及改進效果。通過對比分析，提出的基于數據變換改進熵值法相對于熵值法及其他熵值法有一定的優勢，確定指標權重的方法更加合理有效。

1 基于數據變換改進熵值法的基本原理

1.1 數據預處理

評價指標對象的定量值為x=(x1,x2,…,xn)T，而每個決策單元或方案包含了k個指標，記xi=(xi1,xi2…,xik)，i=1, 2,...,n。由于各指標之間的量綱不同，因此首先對各個指標數據進行無量綱化處理。當選取的指標數據是越大越好時，即選定的指標數據都為正向指標，這樣的數據采取極差方法對數據進行如下無量綱化處理：

(1)

1.2 熵值法的基本步驟如下[9]

1)計算第個i決策單元下第j個指標占該指標的權重，即第j個指標下第i個決策單元Ai的貢獻度pij可表示為

(2)

其中pij為第個j指標下第個i決策單元占該指標的權重。

2)計算第j個指標的熵值，即計算所有決策單元對屬性Xj的貢獻總量為aj

(3)

其中m=1/ln(n),(m>0,0≤pij≤1)，假設當pij=0時,pijln(pij)=0。

3)計算信息熵冗余度：

bj=1-aj，j=1,2,…,k

(4)

4)計算各項指標的權重值：

(5)

5)計算各決策單元的綜合指數

(6)

2 基于數據變換改進熵值法及應用

由于在陶瓷藝術評價中，只知道每個陶瓷藝術品的價格，首先確定幾個主要的定性指標(朝代、造型、裝飾、尺寸(高，直徑)、圖案)，其次，對于5個定性指標如何定量化才比較客觀，并能夠反應價格的關系。首先，通過162個陶瓷藝術品的拍賣價格[11]，根據定性指標的屬性相同情況下所對應的價格進行平均，所得到的平均值作為各指標的各個屬性值。比如朝代中的唐五代，就是根據這個朝代的數據所對應的價格進行平均得到唐五代的屬性值。這樣所得到的屬性值叫初步的指標屬性定量數據。其中尺寸的分類屬性是根據0～10、10.1～20、20.1～30、30.1～40、40.1～50、50以上6種屬性分類進行定量化。下面選取了24個樣本，其中22個樣本作為仿真數據，另外2個樣本作為預測數據。通過所選取的22個樣本數據研究熵值法的適應性和排序的一致性，研究陶瓷藝術數據如何定量化的適應性。24個樣本各個指標的定性數據和根據162個樣本數據以各個指標的相同屬性平均值得到的定量數據如表1，另外如果以24個樣本(自身)數據的各個指標的相同屬性平均值所得到的定量數據放在對應的下一行，如表1。

表1 24個陶瓷藝術品的以指標定性數據和定量數據(以162個樣本和22個樣本分別求平均值取整)

表1(續)

表1(續)

對每個指標的相同屬性是為了得到各指標定量化的客觀依據，根據上式(1)～式(6)熵值法步驟得到各個指標的權值pj,j=1,2,3,4,5，得到各決策單元的綜合指數si,i=1,2,…,22，并根據綜合指數進行排序與實際價格的排序之間的差別。具體的不同樣本個數情況下5種指標權值如表2和排序結果比較如表3。

表2 162個樣本和22個樣本分別所求平均值對應的5種指標權重

表3 不同樣本情況下22個樣本的綜合指標Si及排序和實際價格的排序(小到大)

從上面的排序結果可知，以22個樣本數據求對應指標屬性值進行熵值法所得到的排序與各樣本價格排序只有4個是對應排序相同，以162個樣本數據求對應指標屬性值進行熵值法所得到的排序與各樣本價格排序也只有4個是對應排序相同的，這樣的排序結果是很差的。這種利用熵值法所計算的綜合指數并不能反應陶瓷藝術價格的波動情況。為了修正這種熵值法，在式(1)和式(2)之間對數據進行變換，變換數據改進熵值法的步驟如下。

1)首先要對定量數據進行新的行變換，由于這些指標的屬性量綱都是以價格為基礎平均得到的數據，所以量綱是一致的。

(7)

2)變換后的數據乘以價格，得到新的定量數據

(8)

其中ci是每一個陶瓷藝術樣本的價格。

只要通過這種與價格相關的定量數據變換，才能把不同樣本相同因素的定量值進行改變，才能改變樣本綜合指標值，具體的變換值同表4。

3)利用式(1)～(6)熵值法的步驟求變換后的熵值及綜合指數值，具體如下表5、表6。

表4 162個樣本和22個樣本分別變換后的定量數據

表5 162個樣本和22個樣本分別變換后對應的5種指標權重

表6 數據變換后不同樣本情況下22個樣本的綜合指標Si及排序和實際價格的排序(小到大)

從表4、表5結果反應，通過對定量數據進行新的行變換后，乘以價格，得到新的定量數據。再按照修正的熵值法求各個樣本的綜合指數排序與其價格的排序完全相同。并且利用修正的熵值法所得到的5種指標權重對樣本23、24的2個樣本進行預測。得到不同總體樣本情況下，綜合指數值如表7。

表7 預測樣本23、24的2個樣本的綜合指數值

表6中，當選取162個多樣本數的平均值進行改進熵值法進行預測時，預測1號樣本的價格2 585 000是介于6號樣本價格2 156 863和12號樣本價格2 750 000之間。所求預測1號的綜合指數0.101 9也介于6號樣本綜合指數0.076 4和12號樣本綜合指數0.111 3之間。預測的2號樣本的價格1 900 000是介于2號樣本價格1 828 500和6號樣本價格2 156 863之間，預測2號樣本的綜合指標值0.066 5也介于2號樣本綜合指數0.056 7和6號樣本綜合指數0.076 4之間。說明預測的2個樣本的綜合指數排序與價格的排序一致。若用22個少樣本數的平均值進行改進熵值法進行預測時，所求預測1號樣本的綜合指數0.120 5介于6號樣本綜合指數0.092 5和12號樣本綜合指數0.125 7之間，說明預測樣本的綜合排序與其價格排序是相同的。但在預測2號樣本的綜合指數0.072 5不介于2號樣本綜合指數0.072 7和6號樣本綜合指數0.092 5之間。說明預測2號樣本的定價有點偏高。

3 總結

傳統的熵值法在不同樣本作為參考樣本集時，所得各個樣本綜合指標與價格排序都只有10%的一致性，具有較大的偏差；另外，通過改進熵值法，所得各樣本的綜合指數的排序結果與各樣本的價格排序結果100%一致。對于預測樣本，選取大樣本數作為參考樣本集比選取少樣本作為參考集所得預測結果排序要精確。通過實例，說明本文所提出的改進熵值法具有較好的適應性和應用價值，并能反應陶瓷影響因素定量定價的合理性。