一類具有時滯的高階分數階微分方程積分邊值問題解的存在唯一性

鄭春華，寧艷艷，高汝林

(陜西工業職業技術學院公共課教學部，712000，陜西，咸陽)

0 引言

因為分數階微分方程在化學物理、高分子材料等領域都有著非常深入的應用，所以分數階微分方程的研究越來越受到重視[1-3]。分數階微分方程的邊值問題是分數階微分方程研究工作的重要方面，這方面的研究出現了很多成果[4-9]。

對于含有時滯的分數階微分方程邊值問題特別是積分邊值問題的研究結果還不是很多[10-11]。本文利用Banach壓縮映射原理研究分數階微分方程的積分邊值問題

(1)

解的存在唯一性問題，其中f(t,x)C([0,1]×R,R)，n為大于1的整數，n-1<α≤n，0<τ<1，r≠α，Dα0+表示標準的Riemann-Liouville型分數階導數。

1 主要引理

定義1[3]：對于函數f(t)和α>0，定義f(t)的α階Riemann-Liouville型分數階積分為

定義2[3]：對于函數f(t)和α>0，定義f(t)的α階Riemann-Liouville型分數階導數為

其中N=[α]+1。

定義3[12]：設(X,ρ)為度量空間，T:X→X的映射，如果存在0<λ<1使得對?x1,x2X都有

ρ(Tx1,Tx2)≤λρ(x1,x2)

成立，則稱T為壓縮映射。

引理1[4]：對于α>0，uC(0,1)IL(0,1)，則存在ciR(i=1,2,…,n)使得Iα0+Dα0+u(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n。

引理2[12]：設X為Banach空間，T:X→X為壓縮映射，則T在X中有唯一的不動點。

引理3：設hC[0,1]，則BVP

存在唯一解

證明：利用引理1和n-1<α≤n，可得

x(t)=Iα0+h(t)+c1tα-1+…+cntα-n。

由邊值條件x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=0可得c2=c3=…=cn=0。

再由積分邊值條件可知

進而可知

因此

令

X={x|x

定義算子T:X→X，

2 主要結果及證明

定理1：若下列條件成立，

(A1) 存在常數c滿足

|f(t,x)-f(t,y)|≤c|x-y|t[0,1],x,yR；

則BVP(1)存在唯一解。

證明：為了利用引理2證明定理1的正確性，下面證明T是壓縮映射。

對?x1，x2X，利用引理3有

再利用條件(A1)可得

再根據條件(A2)可知T為壓縮映射。利用壓縮映射原理可知BVP(1)在X中存在唯一解，進而可知BVP(1)有唯一解。