關于函數與方程思想在高中數學解題中的實踐

陳瑞飛

(江蘇省揚州中學教育集團樹人學校 225000)

一、函數與方程思想求解參數范圍

求解參數范圍是高中數學的重要題型，解答該題型的思路有兩種：其一，認真審題，深入挖掘已知條件中的不等式關系，運用不等式知識求解參數范圍.其二，借助題干中的等量關系構建對應的函數，在定義域內求解函數的取值范圍.授課中既要注重相關例題的篩選與講解，使學生把握函數與方程思想解題步驟，明確解題注意事項，又要鼓勵學生總結函數與方程思想在解題中的應用技巧，遇到類似數學習題少走彎路，能夠迅速找到解題思路.

例1已知a、b為正數，滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

該題目題干簡單，已知條件關系明了，解題方法較多，關鍵如何找到最簡解法.觀察可知題干中涉及兩個參數的積與兩個參數的和，由此可聯想到一元二次方程兩根的關系，借助函數知識解答.設ab=t，由ab=a+b+3，可知a+b=t-3.因此可構造方程x2-(t-3)x+t=0，顯然a、b為該方程的兩個正根，不難得出如下關系：

Δ=(t-3)2-4t≥0，t-3>0，t>0，解得t≥9.

即ab的取值范圍為[9，+∞).

解題感悟求解參數取值范圍時不能思維定勢，應結合已知條件巧妙地運用函數與方程思想進行解答，尤其當習題中出現兩個參數和與積的關系時，可考慮構造相關的方程，借助根與系數的關系解答.

二、函數與方程思想解答方程問題

高中數學學習的函數類型較多，包括二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等.針對一般的方程問題可通過分離變量轉化為對應的函數，借助函數圖象進行分析.針對稍微復雜些的方程問題，可采用換元法構建新的函數，通過研究新函數找到要求解的答案.授課中僅僅講解理論知識是不夠的，應借助例題為學生做好解題的示范，使其掌握函數與方程間的轉化思路.同時，鼓勵其在學習中加強訓練，認真剖析經典習題，能夠舉一反三.

例2已知兩個函數f(x)=2cos2x+cosx-1，g(x)=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，假設兩個函數的圖象在(0，π)范圍內至少有一個公共點，求a的最小值.

讀懂該題并進行巧妙的轉化是使用函數與方程思想解題的關鍵.兩個函數圖象在給定的區間內至少有一個解，即當兩個函數相等時有解，如此便將其轉化為方程問題.

由已知可知，f(x)=g(x)在(0，π)上有解，即2cos2x+cosx-1=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，化簡得到：a(1+cosx)=(cosx+1)2+1.

∵x∈(0，π)，即0<1+cosx<2,

解題感悟部分習題并未直接給出等量關系，需要學生深刻理解題意進行正確的轉化，因此，在以后的解題中應注重積累相關轉化經驗，養成使用函數與方程思想解題的良好習慣.

三、函數與方程思想求解不等式問題

高中數學中不等式問題常和恒成立問題聯系在一起，求解時除使用基本不等式知識求解外，多數采用函數與方程思想進行解答.通過分離參數、移項構造新的函數，運用函數知識求解函數最值是常用的解題思路.授課中為學生講解對應例題，使學生深刻體會函數與方程思想在解答不等式問題中的應用.同時，要求學生具體問題具體分析，尤其針對存在多個參數的習題，應結合已知條件確定變量與要求解的參數，明確其之間的函數關系，靈活運用函數知識解答.

該題目題干簡單，證明的技巧性較強，沒有正確的思路，難以解答.認真觀察要證明的不等式，結合以往解題經驗可知，需要先進行移項構造新的函數，通過研究新函數的單調性求解其最值進行證明.

解題感悟構造函數技巧性較強，對學生的各項能力要求較高.為使學生能夠順利使用函數與方程思想解題，要求其在學習中做好解題總結，明確使用函數與方程思想解題的思路，掌握函數構造技巧，結合題干構造合理的函數，巧妙運用函數知識解答.

函數與方程思想是高中數學重要的思想，在解題中的應用率較高.授課中為使學生牢固掌握這一思想，并靈活應用于解題中，應做好能夠使用該思想解答的數學習題類型的匯總，選擇經典例題為學生深入剖析，把握函數與方程思想在不同題型中的應用方法與技巧，實現解題能力的顯著提高.