解析數學建模在高中數學解題中的應用

曹彩霞

(江蘇省海門市四甲中學 226100)

數學模型是對實際問題的數學化概括與濃縮，是高中數學學習的重要內容之一.在當前大力提倡核心素養培養教育背景下，數學建模能力被納入核心素養的重要構成部分，因此授課中應提高認識，注重數學建模的應用講解，提高學生的數學建模意識以及能力，為核心素養的提升奠定堅實基礎.

一、認真審題，構建函數模型

學生對函數模型并不陌生，在初中階段已有所了解.高中數學涉及的函數模型更為深入，難度更大，授課中應注重該種模型的應用講解.一方面，構建函數模型的關鍵在于找到自變量和因變量之間的關系，因此要求學生應用該模型進行解題時應認真審題，充分理解題意，尤其準確確定自變量的取值范圍，以保證解答的正確性.另一方面，為學生講解常見函數模型解答方法，如二次函數、指數函數、三角函數、高次函數等相關模型，使其認識到解題中通常需要借助函數的單調性進行求解，其中高次函數模型，則需要用到導數知識.

例1有一片樹林現有木材儲蓄量為7100cm3，要力爭使木材儲蓄量20年后翻兩番，達到28400cm3.

(1)求平均每年木材儲蓄量的增長率;

(2)如果平均每年增長率為8%，幾年可以翻兩番？

認真分析可知，解答該題目需要用到指數函數模型.對于(1)可設增長率為x，根據題意可構建如下模型：7100(1+x)20=28400，即(1+x)20=4.由對數知識可知，20lg(1+x)=2lg2，即，lg(1+x)≈0.0301，∴x+1≈1.072，所以x≈0.072=7.2%.(2)設y年可以翻兩番，則構建模型為：7100(1+0.08)y=28400，解得y≈18.02，即十八年后可以翻兩番.通過該題的講解使學生認識到，構建函數模型要認真審題，找到關鍵字構建對應數據模型.

二、把握特點，構建數列模型

數列模型是高中數學中較為常見的模型，包括等差數列和等比數列兩種類型.應用該種模型解答數學問題時，判斷是等比數列還是等差數列模型尤為關鍵.一方面，為學生總結等差數列和等比數列模型特點，使其認清兩種模型之間的區別，結合題干找到首項、公差或公比.另一方面，解答數列模型時，應積極回顧所學的數列知識，包括前n項和、數列的單調性，尤其注意在求解等比數列前n項和時，應注重按照公比q=1和q≠1兩種情況進行分類討論.

三、鼓勵想象，構建空間模型

立體幾何是高考的重要知識點，對學生空間想象能力要求較高.解答相關試題時構建合理的空間模型尤為重要.為使學生靈活應用空間模型解答立體幾何試題，一方面，可運用多媒體技術，從不同角度向學生展示立體幾何圖形，加深其對立體幾何點、線、面要素的認識；同時鼓勵學生聯想生活中的立體幾何圖形，合理想象，在頭腦中心形成清晰的空間對象.另一方面，要求學生具體問題具體分析，在求解的過程中，使用常規解法或向量解法，不斷提高空間模型解答能力.

例3已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點M在△ABC外，且MB=1，AC=2，則MA的最大值是____.

通過該題目的講解使學生認識到，構建空間模型時應選擇合適的視角，才能簡化計算，提高解題效率.

四、深思熟慮，構建概率模型

概率模型是高中數學的重要模型之一，相關試題難度并不大，但仍有一些學生在解題中出錯，因此為提高學生的概率模型應用能力，一方面，為學生講解常見概率模型，包括古典概型和幾何概型，使其充分理解兩種模型之間的區別，以及應用注意事項，如分析古典概型時，應注重當情況不確定時應注重分類討論，保證考慮問題的全面性.另一方面，構建概率模型時，可圍繞具體的問題情景，要求學生深思熟慮，認真分析，不斷鍛煉學生的模型分析以及構建能力.

例4某單位有3項業務要招標，共有5家公司前來投標，且每家公司對3項業務發出了投標申請，最終發現每項業務都有且只有一家公司中標.如果5家公司在各項業務中目標的概率均相等，問這3項業務由同一家公司中標的概率為多少？

綜上所述，數學建模是一項重要的數學能力，根據題意構建正確的數學模型可明顯提高解題效率，因此授課中應提高認識，結合高中數學所學的數學模型，為學生認真細致地講解數學建模專業知識.同時創設相關的問題情景，對學生進行模型構建訓練，積累數學建模經驗與技巧，不斷提高數學解題能力.