利用圖像“面積”法 巧解物理求和問題

(浙江省永嘉縣上塘中學，浙江 永嘉 325100)

在高中物理教學中，物理圖像的理解是教學的重點，用圖像法解決物理問題會變得簡潔、形象、直觀，易于學生接受和理解。物理圖像與橫軸所圍“面積”的物理意義，因坐標軸的含義不同而不同，因而明確圖像中的“面積”所表示的物理意義，是解決問題的關鍵。

1 圖像“面積”的物理意義

在許多問題中，物理圖線下的“面積”具有特殊的物理意義，分析這類問題應抓原理、重根本。

如圖1所示,物體做勻速運動，位移s=vt，速度圖線與時間軸圍成的“面積”等于vt，所以位移的大小為陰影部分的“面積”。運用微元法，推廣到勻變速直線運動，在非勻變速運動中其“面積”也表示在這段時間內物體通過的位移。新教材從勻速直線運動的速度圖線下的“面積”表示位移的大小，用微元法研究勻變速直線運動，速度圖線下的“面積”表示對應時間內物體的位移(如圖2)，從而推廣得到任一條速度曲線與t軸所包圍的“面積”也表示對應時間內物體的位移(如圖3)。從數學角度來看，相當于在運動過程中選取一微元時間Δt，而在Δt時間內速度的變化非常小，我們可將這段時間內的運動看成勻速直線運動，所以Δs=vΔt，再把每段位移相加就可得到總位移,這就是積分思想，即速度v對時間的定積分為位移。依次類推，一定質量的理想氣體等溫過程的p-V圖線下的“面積”代表氣體做的功W，F-t圖線下的“面積”為力的沖量I，F-s圖線下的“面積”為力所做的功W，i-t圖線下的“面積”為這段時間流過導體的電荷量q。

圖1

圖2

圖3

物理圖線下的“面積”常表示另一個物理量，有意識地利用求“面積”的方法，可使某些物理問題的解決變得簡便，判斷一個圖線下的“面積”是否有意義，我們一般是看兩坐標軸所對應的物理量的乘積是否為一個有意義的物理量，并不是所有縱、橫坐標物理量的乘積均能構建新的物理量，其圖線下的“面積”都有意義。如圖4中功率P1=U1I1是A點對應的瞬時功率，我們需要關心的僅是該點對應的電壓U1和電流瞬時值I1及其兩者的乘積，并不關心O點到A點間曲線的形狀，所以該U-I圖線下的“面積”沒有實際的物理意義。

圖4

2 利用圖線下的“面積”巧解物理題

利用圖線下的“面積”求解物理問題，通常需滿足以下條件：(1) 物理量y隨x變化；(2) 其圖線下的“面積”有確定的物理意義。在高中階段應用圖線下的“面積”求解時要求：(1) 當y為恒量時，有“s=yx”的表達形式；(2) 將x微元化后，y可看作恒量來處理；(3) 若為矢量運算，可通過規定正方向，將矢量運算簡化為代數運算。

例1(2019年浙江卷)：如圖5所示，傾角θ=37°、間距l=0.1m的足夠長金屬導軌底端接有阻值R=0.1Ω的電阻，質量m=0.1kg的金屬棒ab垂直導軌放置，與導軌間的動摩擦因數μ=0.45。建立原點位于底端、方向沿導軌向上的坐標軸x。在0.2m≤x≤0.8m區間有垂直導軌平面向上的勻強磁場。從t=0時刻起，棒ab在沿x軸正方向的外力F作用下，從x=0處由靜止開始沿斜面向上運動，其速度v與位移x滿足v=kx(可導出a=kv)，k=5s-1，當棒ab運動至x1=0.2m處時，電阻R消耗的電功率P=0.12W，運動至x2=0.8m處時撤去外力F，此后棒ab將繼續運動，最終返回至x=0處。棒ab始終保持與導軌垂直，不計其他電阻，提示:可以用F-x圖像下的“面積”代表力F做的功，sin37°=0.6。求:

圖5

(1) 磁感應強度B的大小；

(2) 外力F隨位移x變化的關系式；

(3) 在棒ab整個運動過程中，電阻R產生的焦耳熱Q。

圖6

例2:從水平地面上某處以初速度v1豎直上拋一個小球，已知小球運動時受空氣阻力與速度大小成正比，測得小球落回地面時速度大小為v2，求小球運動的時間。

圖7

圖8

例3：如圖9所示是一種測量電容的實驗電路圖，實驗是通過對高阻值電阻放電的方法，測出電容器充電至電壓U時所帶電荷量Q，從而再求出待測電容器的電容C。某同學在一次實驗時的情況如下：接通開關S，調節電阻箱R的阻值，使小量程電流表的指針偏轉接近滿刻度，記下此時電流表的示數I0=490μA，電壓表的示數U0=6.0V，I0、U0分別是電容器放電時的初始電壓和電流。斷開開關S，同時開始計時，每隔一定時間測定一次電流，將測得數據填入表格，并在圖10所示的坐標紙上畫出小黑點“·”。求該電容器的電容。

圖9

圖10

解析：要求得電容器的電容，必須求出電容器開始放電至電壓為0期間流過放電電阻的電荷量Q，而電流是變化的，所以只有畫出電流隨時間變化的圖像，根據其物理意義，利用i-t圖線下的“面積”來得到這段時間內流過放電電阻的電荷量。

用平滑的曲線將圖中各點連起來，如圖11所示，i-t圖線下的“面積”共約36個方格，總電量Q=9×10-3C，由公式C=Q/U0，得電容器的電容C=1.5×10-3F。

圖11

3 結語

物理圖像下的“面積”在解決問題的過程中起著十分重要的作用，常能觸發學生靈感，讓學生產生“柳暗花明又一村”的感覺。從以上例題的解析可知：圖像“面積”的應用實際是建立在微元后累積求和的基礎之上的，應用時首先要理解坐標軸的物理意義，既要看圖像表達的物理量的乘積是否能構建新的物理量，還要注意構建的物理量相對于橫坐標是否有累積求和關系。

圖像是物理的語言之一，利用圖像下的“面積”在處理問題時比較直觀、快捷，要讓學生從“面積”的物理意義入手，使學生真正理解其內涵后再應用，切忌生搬硬套、弄巧成拙。圖像下的“面積”還有正、負問題，會關系到對應物理量的正、負，必須具體問題具體分析。求圖像下的“面積”本質是連續函數的求和，在高中物理教學中適當地滲透定積分的思想，有助于學生準確理解和辨析物理概念，提升運用數學解決物理問題的能力。另一方面，鑒于高中數學只是初步介紹定積分，常規教學應該定位于引導學生體會“分割、建立微元、求和”的思想方法上，不要在數學上提出過高要求。