高一物理中滲透極限方法教育探討

(廣西壯族自治區南寧市第三中學,廣西 南寧 530201)

科學思維是學生在學習和運用物理知識和方法過程中必備的能力,也是核心素養的重要方面,教師應有意識地在教學中培養學生的科學思維能力。人教版教材中多次展現極限方法的運用,其目的是讓學生通過多次接觸,逐步領悟、掌握；微元法是極限方法的基本應用,運用微元法可以快速解決較復雜的高中物理問題,只有對極限方法有了一定的理解,才能理解和應用微元法。科學思維的形成需要學生在學習過程中不斷體會和領悟,這就要求教師在教學中應有意識、有計劃地進行滲透。

依據皮亞杰認知發展理論,高一學生處在“形式運算階段”,多數學生具備一定的抽象思維能力,但仍較薄弱。筆者按照“初步體會—初步感受應用—初步嘗試應用—再次感悟”的程序，在高一逐步進行滲透,使學生對極限方法經歷螺旋式上升的理解過程。

1 逐步體會

高中物理首次運用極限方法的是瞬時速度的概念,在瞬時速度的教學中,讓學生了解極限方法,初步體會即可。

師：我們知道平均速度是描述一段時間內的運動快慢,如果想知道劉翔在經過終點那一刻的速度是多大,該怎么辦呢?

圖1

生：第3張，時間間隔是0.02s,更精確。

通過討論,教師給出瞬時速度的定義,并明確向學生指出：時間間隔Δt非常非常小,無限接近于0,這在技術上很難實現,但我們可以運用極限思維在頭腦中“實現”,因此極限思維是處理物理問題的一種重要思維方法。

2 感受應用

學習過瞬時速度后,學生初步了解了極限思維,但尚未明了如何應用極限思維解決物理問題。必修一2.3節中通過“無限分割”v-t圖像得出“面積代表位移”結論,又運用了極限方法，本節是使學生感受利用極限思維解決問題的重要契機。

師生共同學習了教材“思考與討論”的內容后，教師提問：如何在小車的v-t圖像上運用極限方法？

生：在v-t圖像中每一個小矩形代表一段時間內的位移,這些矩形“面積”之和就是物體運動的位移(如圖2)。

圖2

師：如果時間間隔取的是0.04s,還是采用上述方法估算位移,我們又該如何在v-t圖像中體現呢?如果時間間隔取得更小,比如取0.02s、0.01s，甚至更小呢?

師生共同探究：時間間隔越小,相當于把時間均分的份數越多,借助GeoGebra分析，把時間分割成多份(圖3為分割成20份、圖4為分割成100份),我們發現時間被分割的份數越多,小矩形越多,小矩形“面積”之和就越接近于圖線與坐標軸圍成的“面積”,我們可以想象：當時間被分割成無限多份,這些無限多個小矩形“面積”之和就等于梯形的“面積”。極限是一種重要的思想方法,之前由平均速度引出瞬時速度時我們也用到了極限方法。

圖3

圖4

在教學中,通過“無限分割”時間,獲取時間微元Δt,在Δt時間內把“變速”當“勻速”,再對所有Δt內的勻速直線運動的位移求和，即為勻變速直線運動的總位移。微元法是極限方法的基本應用之一,在上述教學中已有體現,但是不宜要求學生完全掌握,只要求學生初步感受利用極限方法解決物理問題。另外在新課教學中借助GeoGebra軟件進行動態演示,可以讓學生經歷從感性到理性的認知過程,更有利于學生接受極限方法。

3 嘗試應用

3.1 向心加速度表達式的推導

必修2第五章第5節“做一做”欄目從一般性的結論出發,利用極限方法從理論上研究向心加速度的方向和表達式。由于向心加速度表達式的推導過程比較抽象,很多教師在教學中回避了推導過程,直接把公式告知學生。筆者認為：學生經歷了幾次極限方法的滲透和感悟,已具備在教師的幫助下嘗試使用極限方法解決問題的能力,因此本節課是學生嘗試使用極限方法的良機。

(1) 向心加速度的方向

圖5

圖6

(2) 向心加速度表達式

3.2 開普勒第二定律的證明

開普勒第二定律也叫面積定律,即：行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。根據開普勒第二定律可推知：行星在遠日點速度小,在近日點速度大。

圖7

3.3 重力做的功

如圖8所示，小球A從同一高度按不同的路徑下降到另一高度,對于按(1)、(2)方式下降,學生利用公式W=Fscosθ，能快速計算出重力做功為mgh。若小球按任意曲線下降,該如何求解呢?教師引導學生：

圖8

(1) 在求解勻變速直線運動的位移時,我們是把物體的運動分解成很多段“勻速運動”,通過類比,小球下降的路徑能不能也分成很多段?

(2) 當分的段數越多,每一間隔就越接近一段傾斜的線段,物體通過s1這段位移時,重力做的功是多少?

答：ΔW1=mgs1cosθ=mgΔh1。

(3) 物體通過整個路徑,重力做的功是多少?

答：W=W1+W2+…=mg(Δh1+Δh2+…)=mgh。

證明過程利用極限方法來“化曲為直”,使復雜的物理問題轉變成簡單的問題。先無限分割,對一微元過程進行分析,找出規律,再求和,展現了微元法的基本應用步驟。

4 再次感悟

關于“彈性勢能的表達式”,課標明確提出“著重體會探究過程,領悟研究方法”。功與能有密切的關系,可通過彈力做功去

研究彈性勢能。彈簧的形變量越大,彈力越大,彈力做功屬于變力做功,如何求出彈簧被拉長x的過程中彈力做的功?教師引導學生回憶求勻變速直線運動位移的方法：把物體的運動分割成很多份,每一小份速度的變化很小,可以近似認為每一份是勻速運動,求出每一小份的位移后再求和。對于彈力做功,可用同樣的方法來處理：把彈簧被拉長的過程分解成很多段,每一小段的長度為Δx1,Δx2,Δx3,…每一小段的拉力認為是不變的,即每一小段的彈力分別為F1,F2,F3,…整個過程彈力做功為F1Δx1+F2Δx2+F3Δx3+…類比勻變速直線運動v-t圖線下的“面積”表示位移,同樣可以借助F-x圖像求出彈力所做的功，得到彈性勢能的表達式。

5 結語

在人教版教材中,極限方法在概念的定義、結論的推導中多次出現,但沒有直接說明,這就要求教師從更寬的視角研讀教材,體會教材中蘊含的科學思維方法,并將之顯性化。科學思維不是一朝一夕就可以培養的,只要教師在教學中不斷滲透,學生自有浸潤、感悟、理解,為物理學習打下堅實的基礎。