數學直覺與數學實在性探析

武亞軍

【摘要】認識本身包含人的主觀性因素，不管通過什么途徑去認識世界，都是有可能出錯的。因此需要正視數學直覺的作用，并對數學直覺的價值和意義進行分析。但在數學發展過程中，就數學直覺可否作為知識的基礎和來源存在諸多爭議。文章從數學直覺的爭論開始探析直覺與邏輯間的關系以及數學的實在性問題。

【關鍵詞】認識世界;可靠性;完全性;數學直覺;邏輯;實在性

直覺在數學和科學中是重要的知識，不同的數學家或哲學家對直覺有不同的看法和觀點，對于直覺的可靠性問題難以下定論。柏拉圖是第一個從直覺的認識角度去尋找理性知識確定性根源的哲學家。亞里士多德認為從經驗中可以獲悉原始的前提，而了解原始前提的是直覺。近代笛卡爾強調理性直覺和演繹，在確定無疑的基礎上通過推理的方法得出結論。康德認為直覺是理性直覺，強調絕對時空觀。他們都強調直覺可以作為數學或科學知識的基礎，是科學發現必不可少的方法。然而數學中的眾多悖論，尤其是集合論中的羅素悖論和相容性問題又使數學家們陷入了新的困境，因此作為數學知識基礎的直覺的可靠性問題研究就有了必要性。

一、直覺作為數學基礎的爭論

大多數學家和哲學家都強調直覺的重要性，但也有一些哲學家會意識到直覺的局限性。一部分人認為直覺是數學知識最可靠的基礎，所有的知識體系是由前提、推理和結論組成的，即公理化演繹方法。從古希臘至今，哲學問題在逐步地精確化，直覺在其中到底起什么樣的作用？從柏拉圖開始就已經有了知識，如果沒有數學，很多問題將得不到解答。古希臘時期對世界的認識主要是天文學，天文學是依托數學而發展起來的，數學本身是個知識體系，它能夠將天文學知識抽象化、符號化而成為幾何學模型。亞里士多德創立的是形式邏輯，他是從經驗直覺的角度來考察的，所以他的命題是窮盡的。同時，亞里士多德形式邏輯中的全稱量詞和特稱并沒有發揮其實質性作用，存在多重廣延性表述困境。之后歐幾里得在亞里士多德的影響下創立了實質公理學——歐氏幾何。歐氏幾何中的很多公設和公理是在經驗直覺的基礎上形成的。《幾何原本》的出現，形成了一套幾何學公理系統，并為其他科學體系建立了一套經驗歸納和邏輯演繹的科學方法，在當時《幾何原本》被認為是絕對的真理，是非常嚴密的知識體系，是不可反駁的[1]254。

近代笛卡爾強調理性直覺和演繹，他認為直覺和邏輯的共同作用可以達到知識的確定性。雖然在笛卡爾時期，通過實驗的方法可以達到一定的確定性，但是難以保證實驗結果的可靠性，只有通過數學的方法可以達到確定性的標準。通過直覺認識到不證自明的公理，再從自明的公理和明確的概念出發進行演繹推理，得出真理[2]85。到萊布尼茨時期，他強調理性直覺的重要性。他有個設想就是將人們對世界的所有認識都符號化，并通過數學化的方式進行計算。他提出，在這樣的演算中，一切推理的正確性將化歸于計算，除了事實的錯誤，所有的錯誤將只由于計算失誤而來。他的形式化設想與數學直覺是密不可分的。哥德爾也是強調理性直覺可以直達第一基本公理。哥德爾在證明完全性定理中使用了超窮思維，而這種超窮思維是無法通過經驗直觀的方式獲取的，只能通過理性直覺的方式。他們都強調直覺可以作為數學知識的基礎。

在對數學基礎爭論的過程中出現了三大學派，其中以布勞維爾為代表的直覺主義認為被直覺所能把握的才是確定的，只有直覺才能確定命題的真假，但是他們否定排中律的作用，認為并不是每個數學命題都能判定其真假，存在大量命題既未證明其真也未證明其假[3]98。而排中律是邏輯演繹系統中所使用的邏輯規則，是不會出錯的。因此直覺主義所推崇的直覺并不是可靠的。

不論是經驗中的直覺還是理性中的直覺，都具有一定的主觀性，它們難以把握客觀的真實，數學直覺需要建立在有效的框架或規則下才能保證其可靠性。

二、數學直覺與邏輯的制約關系

直覺一直以來被認為是非邏輯性的，同時其準確性也備受爭議。但數學中的直覺是數學發展中重要的部分。直覺是嚴謹邏輯的對立面，如果我們承認直覺的概念，這或許表達了人類思想的一種基本的、一致的傾向——對確定性的追求，這實質上是一種笛卡爾的態度。在他看來，它們并不是對立的，因為上帝無限的心智保證了它們之間的聯系。人們之所以認為直覺和邏輯是對立的，是因為人類的思維能力非常有限。而從笛卡爾的觀點來看，它們是互相補充的。

邏輯在所有學科中都是普遍的，邏輯結構雖然能保證數學的可靠性，但并不是所有的數學都能轉化為邏輯的形式。哥德爾在邏輯方面做了兩項比較重要的工作，一個是證明了一階謂詞邏輯是完全的、可靠的。哥德爾的另一項工作是在形式數論系統和形式實數系統過程中證明了不完全性定理。有一個“真”超出了系統或認識，我們知道該命題為真，但是用系統的語言無法證明。邏輯上的真與可證明性是不一樣的[4]180。我們對“無窮”的認識是通過直覺的方式，而非經驗上的直觀，比如對自然數的認識，通過直覺的方式來把握它，沒有對世界的認識就沒有直覺。為了認識世界和改造世界，我們的思維必須把握無限，根本的手段就是要通過科學抽象[3]337。而抽象的方式之一也就是直覺。我們用元數學研究形式系統時，它本身是有意義、有內容的，所以形式化的東西也脫離不了內容與直覺。這就說明數學不光是邏輯和符號，不光是語言，還有對世界的認識。因此，只要有對世界的認識，直覺就會發揮作用。

為了使數學變得更可靠，我們試圖將數學放在邏輯的框架體系之中，因為邏輯是可靠的，同時推理規則也是不變的。但很多數學形式不能轉變為邏輯，所以就很難保證數學的可靠性。在數學發展過程中，我們發現邏輯所使用的語言是有缺陷的，因此推理過程的嚴格性也難以保障。那如何才能保證數學的可靠性？克萊因曾提出數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直覺上[5]99。直覺是會出錯的，但是我們可以將直覺置于正確的框架或邏輯公理化之中，通過邏輯公理化的方式來尋求答案。康托爾在思考如何將集合論修飾為精美的理論的過程中，才開始對集合論進行公理化。將直覺的內容置于邏輯的框架中并公理化，這是解決可靠性的一個辦法。

三、數學中的實在性問題

我們能夠經體驗到的事物是存在的，體驗不到的只能用抽象的方式來獲取。數學中的直覺我們難以把握，但不代表它是不存在的，它可能無時無刻不在發揮著作用。數學中的數字或概念能否反映客觀的真實存在呢？這其實就涉及數學的本體論問題，這也是從古希臘時期數學家們一直爭論的話題。柏拉圖認為“理念世界”是永遠不變且真實存在的;亞里士多德認為只有具體之物才是存在的，數學概念只是抽象思維的產物，并不是客觀存在的。在這之后，數系的擴充和四元數的應用都超出了經驗的直觀，但都為數學的發展發揮了極大的作用。除了數系超出經驗，還有一些非標準模型也超出人的直觀，比如非歐幾何的出現徹底顛覆人們對于數學嚴密性的認識。但非歐幾何又是符合理性且可靠的，其是否代表一種真實的存在呢？在我們的直覺認識中“整體永遠大于部分”，這個命題是無需反駁的，但是直到康托爾對無窮集合的進一步研究得出實無限是無法排除的，并提出“整體與部分是一一對應關系”之后，舊的傳統觀念才被打破。我們習慣于接受經驗上、直觀上易于接受的事物或概念，而往往容易忽略直觀無法認識的。無限的出現更是為數學的發展帶來了新的挑戰，直接影響到數學可靠性的問題。

現代西方數學哲學中的實在論是這樣一種觀點：它認為，數學的研究對象是一種獨立于人類認識的客觀存在[6]218。針對實在論的問題，不同的數學家持不同的觀點。“柏拉圖主義”認為數學是完全獨立于人的認識而存在的，存在于“理念世界”中。從“認識論”的角度看，數學知識是先驗的。對數學的認識建立在“數學直覺”之上。而這種“直覺”并不是我們認識中的直覺，而是由真理所構成的先驗數學世界，等待著我們去發掘。數學直覺雖然與感覺經驗相距甚遠，但是其表示客觀實在的一個方面。雖然他有唯心主義的傾向，但是其客觀立場是值得思考的，“數學直覺”的作用也是不容忽視的。還有一位實在論者普特南，他承認數學對象量化對于物理發展的重要性，我們接受了數學量化也就接受了數學對象的存在[7]347。數學從本質上說，它的出現并不是要和經驗世界有所關聯，而是要發展其數學思維的自由性。對于數學對象客觀性與實在性的問題，筆者認為應給予更多的包容性，因為很多未知的東西需要我們進一步地探索，實在性與否并不是問題所在，關鍵在于給予數學思想自由發揮的空間來發現和解決更多的問題。

【參考文獻】

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[6]夏基松，鄭毓信.西方數學哲[M].北京：人民出版社，1986.

[7]Hilary Putnam.Philosophy of Logic（essays In Philosophy）[M].Harpercollins Publishers，1972.