互逆變化法在求特征值與特征向量中的應用

覃姜色 趙新暖

摘? 要：矩陣特征值與特征向量的計算是線性代數的重要知識點。文章針對實對稱矩陣的特征值與特征向量問題，介紹利用互逆變換法如何求解此類問題。

關鍵詞：實對稱矩陣;特征值;特征向量;互逆變換

中圖分類號：O151.21? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）11-0179-02

Abstract： The calculation of matrix eigenvalues and eigenvectors is an important knowledge point of linear algebra. In this paper， aiming at the eigenvalue and eigenvector problems of real symmetric matrices， how to solve such problems by using the reciprocal transformation method is introduced.

Keywords： real symmetric matrix; eigenvalues; eigenvectors; reciprocal transformation

1 概述

矩陣計算是科學和工程計算的核心，特征值與特征向量計算是矩陣計算的基本問題之一。在教材[1]特征值與特征向量章節中，先構造特征方程，通過計算化簡行列式求出特征值，由于行列式中含有特征值這一未知數，對于行列式的計算就不是那么簡便。而特征值所以對應的特征向量則需要將特征值回代至特征方程，通過求解齊次線性方程組得到。在文獻[2]中總結了Jacobi方法、QR方法和分治法求特征值。但這些方法并不是那么簡便。這也是學生在學習計算特征值中遇到的常見問題。為此，本文介紹利用互逆變換法求解實對稱矩陣的特征值與特征向量。

2 常見例題與解法

例1[3]：求實對稱矩陣A=1 2 22 1 22 2 1的特征值和特征方程。

解：由矩陣A的特征方程，求特征值

得所求矩陣特征值為？姿1=5，？姿2=？姿3=-1。

（1）當？姿1=5時，得齊次線性方程組（A-5E）x=0，對其系數矩陣進行行初等變換化為行最簡形矩陣。

得到導出組x1-x3=0x2-x3=0，解得基礎結解系為p1=（1，1，1）T。因此k1p1（k1≠0） 是矩陣A對應于特征值？姿1=5的全部特征向量。

（2）同理，當？姿2=？姿3=-1時，得齊次線性方程組（A+E）x=0，對其系數矩陣進行行初等變換化為行最簡形矩陣。

得到導出組x1+x2+x3=0，解得基礎結解系為p2=（-1，1，0）T和p2=（-1，0，1）T。因此k2p2+k3p3（k2k3≠0）是矩陣A對應于特征值？姿2=？姿3=-1的全部特征向量。

分析：此例題是利用教材中常用的通過計算特征方程求解特征值，再通過將齊次線性方程的系數矩陣化簡為行最簡形矩陣求解出特征向量。計算步驟較多，對于三階行列式中包含未知量的化簡，這本身就不便利。對實對稱矩陣為四階或更高階矩陣，則需要計算化簡的行列式便更為復雜。為此將介紹互逆變換法求解實對稱矩陣的特征值與特征向量。

3 相關定義與理論證明

定義：把矩陣的下列三種變換稱之為行列互逆變換。

（1）互換i，j兩行，同時互換i，j兩列;

（2）第i行乘非零數k，同時第i列乘;

（3）第i行k倍加到第j行，同時第j列-k倍加到第i列。

定理：設A為n階對角化矩陣，且

？茁i=（bi1，…，bin）（i=1，2，…，n），則？姿1，？姿2，…，？姿n為A的全部特征值，？琢i屬于？姿i的特征向量。

證：由矩陣行（列）初等變換等價于左（右）乘相應初等矩陣，及行列互逆變換的定義，知PT為若干初等矩陣的乘積，從而可逆，且PTAT（PT）-1=D，即P-1AP=DT=D，AP=PD，

則

因此該方法求出的？姿i為A的特征值，？琢i為A的對應特征值？姿i的特征向量。為了運算方便，約定：

（1）ri+krj表示矩陣第j行k倍加到第i行;

（2）ci-kcj表示矩陣第j列-k倍加到第i列。

4 應用例題

例2：求如下實對稱矩陣的特征值與特征向量。

解：

故特征值為？姿1=？姿2=？姿3=1，？姿4=3。屬于特征值？姿1=？姿2=？姿3=1的線性無關特征向量分別為：

屬于特征值？姿4=-3的線性無關特征向量

5 結束語

本文介紹了通過互逆變換法求解實對稱矩陣特征值與特征向量具體求解方法。不僅可以求解教材練習中常見的三階實對稱矩陣的特征值與特征向量，對高階（四階及以上）實對稱矩陣的特征值與特征向量求解同樣適用。步驟較為簡便，能同時求出實對稱矩陣的特征值與特征向量。為今后計算此類問題提供了一新的簡便方法。

參考文獻：

[1]莫京蘭，黃秋和，寧桂英.線性代數[M].北京：機械出版社，2019.

[2]丁瑤.實對稱矩陣特征值的若干求法[J].重慶電子工程職業學院學報，2009（02）：124-127.

[3]馮國勇.淺談實對稱矩陣特征值的求法經驗技巧[J].科技信息（科學教研），2007（11）：410.