曲面上不倒翁的力學穩定性分析

（杭州外國語學校，浙江杭州 310000）

1.背景介紹

1.1 研究背景與意義

不倒翁是生活中常見的傳統玩具，最早關于不倒翁的歷史文獻記載出現于唐代。當時的不倒翁具有人的形態，通過把器物底端做的比其頂端更重，從而使該器物在受力以后僅在一定范圍內搖動，而不會摔倒，故而取名為“不倒翁”。據考究，在距今6000～7000年前的半坡遺址，人們就已經發現了類似于不倒翁的提水工具。當該提水工具裝水時，由于自重改變會發生一定的傾斜，然而當其裝滿水后，人們發現該提水工具又會慢慢直立起來，與現代的不倒翁別無二致。

由于不倒翁違背了生活中物體在受到水平推力后容易傾倒的直觀經驗，因而這類“反常”的玩具深受人們喜歡，在不倒翁“推不倒”的背后隱藏著非常豐富的力學原理。得益于現代完備的物理力學分析體系，我們能對不倒翁的力學原理做出完滿的解釋。如今，不倒翁的力學原理已不局限于玩具，在建筑領域，應用不倒翁的原理可使建筑物更加穩定。在生活用品方面，不倒翁原理的應用也使易碎的物品不易摔倒，更加持久耐用。

本文借助力矩這一物理學工具，對不倒翁背后的力學原理進行了簡要分析。同時，本文將不倒翁應用于曲面環境，探究了其穩定極限。通過本文分析，將不倒翁在平面上平衡條件結論推廣到了曲面，從而為研究曲面上物體的平衡提供了相應的理論指導。

1.2 國內外研究現狀

對力學系統的穩定性分析相關介紹已有多篇文獻述及，黃開志對不倒翁在圓形曲面上的動力學方程進行了分析[1]，對不倒翁在無滑動滾動條件下的“恢復”條件進行了研究，在此基礎上得出了對應的動力學參數方程，并在計算機上進行了數值驗證，結果顯示不倒翁在曲面上的擺動周期與其初始擺角近似成線性關系。張曉華對高維非線性力學系統的穩定性、分叉以及混沌問題進行了研究[2]，

通過數值模擬與解析求解兩條途徑分析了非線性系統的穩定性，結果很好地解釋了非線性動力學系統的行為。許勝才對加固邊坡的力學穩定性進行了詳細探究[3]，通過理論分析、數值仿真以及實驗的方法對邊坡的抗滑等力學性能進行了檢驗，具備一定的工程實用價值。姚展環對結構力學中的復雜問題進行了近似求解[4]，通過引用分配系數這一概念，極大簡化了所研究力學系統的方程個數，從而使問題在一定精度范圍內得到近似求解。宋建欽利用力矩平衡這一工具[5]，提出了日常生活中對車輛重心以及偏重進行理論測量的方法，從而使上述測量簡單易行，具備一定的實用價值。

2.力矩平衡與不倒翁的基本原理

2.1 力矩與力矩平衡

本文在研究不倒翁的穩定性過程中，將不倒翁視為一個理想的剛體。所謂剛體即在運動和力的作用下，其形狀不發生改變，并且其內部各點相對位置不發生變化的物體。在現實生活中，絕對剛體是不存在的。考慮到一般不倒翁在受力時其形變程度與其自身的幾何尺寸相比十分微小，可忽略不計，因而本文在研究不倒翁的穩定性時將不倒翁視為理想剛體處理。

剛體轉動時的運動狀態由施加在剛體上的和外力矩決定。力矩是描述力對物體轉動作用的物理量，其基本公式可從杠桿原理引出。由杠桿原理可知，對于分別位于杠桿兩端的重物，其自身重力與杠桿轉軸到重力作用線距離(力臂)的乘積相等。可見，力與其對應力臂的乘積描述了該力對杠桿這一剛體的轉動效果，稱之為力矩，表達式如下：

式(1)中：F表示剛體所受的力，d為該力對轉軸的力臂，即轉軸到力F作用線垂線段的長度，M表示力F對應的力矩。

力矩平衡即合外力矩為零的情況。以杠桿平衡為例，杠桿兩端的重物自身重力與杠桿轉軸到重力作用線距離的乘積相等，即兩力矩的大小相等。但兩力矩的作用效果不同，剛好相反，因此兩力矩相互抵消，合外力矩為零，我們說杠桿處于力矩平衡狀態。本文所研究的不倒翁穩定性的臨界狀態即為不倒翁所受的和外力矩為零，即力矩平衡的情況。

2.2 不倒翁的基本原理

上文對剛體以及力矩的基本概念進行了介紹，由于不倒翁受力不會產生明顯的形變，因此可將不倒翁當作剛體處理。如圖1所示，給出了一個不倒翁的簡化示意圖。圖中左邊的不倒翁處于平衡狀態，其重心位于點o，此時不倒翁僅受到重力mg和水平面給他的壓力FN，二力大小相等，方向相反，并且位于同一作用線上。因此左邊不倒翁所受的合外力為零，合外力矩也為零，處于平衡狀態。

圖1 不倒翁基本原理示意圖

當不倒翁受到一定的擾動，如圖中右邊不倒翁所示，不倒翁所受重力mg與壓力FN不再位于同一作用線上，其所受合外力不再為0。若以不倒翁與水平面的接觸點o'為轉軸，由于水平面對不倒翁的支持力的作用線通過轉軸o'，力臂為0，因而其所產生的力矩也為0。此時不倒翁所受合外力矩僅由不倒翁自身重力產生，大小等于不倒翁自身重力與接觸點o'到重力作用線距離的乘積，在該“扶正”力矩的作用下，不倒翁有向平衡位置轉動的趨勢。

在理想條件下，不倒翁可以以固定周期不斷左右擺動下去，但在實際生活中，因為空氣阻力以及不倒翁與水平面摩擦等因素的影響，不倒翁最終會停在如左邊不倒翁所示的平衡位置，由此達到不倒的效果。

圖1所示的不倒翁重心位于簡易模型圓心的下方，從而在不倒翁偏離平衡位置時產生一個“扶正”力矩，使不倒翁具有回到原平衡位置的趨勢。若不倒翁重心位于簡易模型圓心的上方，不倒翁偏離平衡位置時重力產生的力矩效果將使不倒翁更加偏離其原平衡位置，從而加速不倒翁的傾倒過程。故不倒翁要想實現“不倒”效果的必要條件是其自身重力在不倒翁偏離平衡位置時產生相應的“扶正”力矩，對應于不倒翁的具體結構來說，要求不倒翁的重心要低。

3.曲面上不倒翁的穩定條件

上文對不倒翁在平面上的穩定性進行了詳盡分析，解釋了不倒翁能夠自動回復到平衡位置的機理。日常生活中，不倒翁的放置環境可能并不平坦，當將不倒翁放置在具有一定曲率的曲面上時，由生活經驗可知，不倒翁將存在一個最大穩定偏角。當不倒翁的軸線偏離豎直方向的角度超過該最大穩定偏角時，不倒翁將產生傾覆。如圖2所示。

圖2 曲面上不倒翁臨界示意圖

假設不倒翁的下部為一半徑等于r的圓的不倒翁，位于半徑等于R的曲面上，不倒翁重心點o位于半徑的1/2處。初始時不倒翁處于A狀態，合外力等于零，所受合外力矩也等于零，不倒翁處于平衡狀態。當不倒翁受到擾動而偏離平衡位置后，由于不倒翁所受曲面的支持力始終通過不倒翁與曲面的接觸點，因而以接觸點o'為轉軸，不倒翁所受曲面支持力的力臂始終為零，其產生的力矩也恒為0，不倒翁將在重力作用下繞接觸點o'轉動。

當不倒翁軸線偏離豎直方向的夾角不大時，不倒翁自身重力所產生的力矩仍為“扶正”性質，因而不倒翁將在該力矩的作用下回復到原平衡位置。然而，當不倒翁軸線偏離豎直方向的夾角較大時，不倒翁自身重力產生的力矩將加速不倒翁的傾倒，從而使不倒翁在該曲面上失去穩定。上圖給出了不倒翁在臨界狀態時的位置(狀態B)，即所受重力的作用線過其與曲面接觸點o'且不倒翁不處于初始狀態，此時重力mg與壓力FN的力臂都等于零，即合外力矩等于零，不倒翁處于臨界狀態，此時定義重力作用線與軸線的夾角即為不倒翁在該曲面上的最大穩定偏角β。由于不倒翁與曲面不打滑，因而不倒翁滾過的弧長與曲面上通過的弧長相等，即圖中角α與偏角β之間滿足下述關系：

圖中曲面對不倒翁的支持力過不倒翁的圓心，對以不倒翁圓心、重心以及不倒翁與曲面的接觸點構成的三角形應用正弦定理可得：

將式(1)代入式(2)中，可得下式：

取特例，當R/r=2時，可得如下超越方程，觀察可知該超越方程存在一個解為β=90°，即不倒翁的軸線可最大偏移至水平位置而不發生傾倒。

由式(3)可知，當曲面越平坦時，即R越大時，不倒翁與豎直面的最大偏角也就越大，從而不倒翁的穩定性就越好。當不倒翁的重心o'點越低時，可獲得更大的臨界偏角，在該偏角以內，不倒翁均能恢復原先的平衡狀態(A狀態)，不倒翁的穩定性越好。同理，當不倒翁底面等效圓的半徑r越小時，不倒翁越不容易傾倒，穩定性越好。

4.結論

本文對不倒翁這一傳統玩具進行了力學分析，借助力矩這一物理工具，對不倒翁在平面上“不倒”的原理進行了理論解釋，指出重力產生的“扶正”力矩是不倒翁能夠做到恢復原平衡狀態的關鍵，且為使重力對不倒翁的力矩為“扶正”性質，不倒翁的重心應當足夠低。在此基礎上，本文對曲面上不倒翁的穩定性條件進行了探究，找到了不倒翁在曲面上保持穩定的臨界條件，并在該臨界條件下求取了不倒翁的最大穩定偏角。研究結果表明，不倒翁在曲面上存在某一最大穩定角度，當不倒翁軸線偏移超過該角度時，不倒翁的穩定性將遭到破壞。進一步分析可知，不倒翁在曲面上的臨界穩定角度與其重心位置、放置不倒翁的曲面曲率半徑以及不倒翁地面等效圓的半徑均有關。本文對平面上不倒翁的平衡條件進行了合理外推，從而為分析曲面上物體的平衡提供了相應理論指導。