對橢圓周長精細化的探究

左茂雄

摘要：本文借助切筒法給出橢圓周線的展開線分布函數，用二次曲線高精度近似模擬橢圓周長線，給出一系列較高精度的橢圓周長公式，給出了N等分橢圓面積的方法，開辟了橢圓積分的最新方法。

關鍵詞：切筒法橢圓周展開線;高精度橢圓周長公式;N等分橢圓面積;橢圓積分新方法

0 引言

1827年挪威最為著名的天才數學家阿貝爾發表了橢圓函數，以此為出發點相繼展開了對橢圓周長、三類橢圓積分的研究工工作，后經過雅可比、歐拉、勒讓德和高斯等著名數學家的艱苦卓絕的努力得以發展。

橢圓周長公式L=4a∫0π/2（1-e2sin2θ）0.5dθ，（e=c/a，a2=b2+c2）。

1 切筒法求橢圓函數

1.1橢圓方程

設一個圓柱，底部的圓半徑為b，正向傾斜切圓柱，切口高低點間距為2a，切口將形成長軸為2a，短軸為2b的橢圓。

設切口面與圓筒底面的夾角為α，則cosα=b/a，取長軸在底面的豎直投影為x軸，進一步在圓筒底面建立y軸。由圓方程有x2+y2=b2①。

然后取切口低高點為x'軸，筒底圓面正上方建立y'軸，由空間幾何關系得

x'=x/（cosα）=x/（b/a）=ax/b，而y'=y，均代入①得（bx'/a）2+y'2 =b2②。

②變形得（x'/a）2+（y'/b）2=1③，切口為標準橢圓。

1.2橢圓函數

以圓筒最低切口點為起點，把圓筒切口帶圓筒對應的側面沿著逆時針方向展開一周。本文以過圓筒切口的-y'軸為X軸，切口的展開線沿著圓柱側面豎直向上的方向為Y軸。

在過圓筒切口最低點的圓底面的坐標系oxy系中，取一象限輻角θ，則底圓周一象限的動點坐標為（bcosθ，bsinθ），進一步向上平移c（而a2=b2+c2）建立豎直向上的z軸，圓柱切口面在坐標系oxyz系中，對應的法向矢量n為（0，-c，b），取圓筒切口上頂點坐標（0，b，c），有圓筒切口面的平面方程為0（x-0）-c（y-b）+b（z-c）=0④，即

z=cy/b⑤

在圓周上動點y=bsinθ⑥

在圓筒切口沿側面的展開面上，在坐標系OXY系中，動點坐標X=bθ⑦，Y=z=cy/b⑧。由⑥⑦⑧得Y=c sin（X/b）⑨。

橢圓函數為Y=c sin（X/b），且X∈[-πb/2，3πb/2）⑩。

2 橢圓周長

由對稱性得出橢圓的周長L=4∫0π/2（1+Y'2）0.5dX，而X=bθ，Y'=（c/b）cos（X/b）。

綜上得L=4∫0πb/2[1+（c/b）2cos2（X/b）]0.5dX與阿貝爾公式等效，驗證略。

3 圓錐曲線變分法處理第二類橢圓積分

近200年以來全球沒有任何一個著名數學家成功解決橢圓周長問題，因為它沒有初等原函數，所得出的橢圓周長公式要么繁瑣，要么不夠精準。該問題屬于三類橢圓積分的第二類。

在理論上科學家已經證實對頂圓錐的切口線可以是拋物線、雙曲線、橢圓和圓四種類型。

對橢圓函數Y=c sin（X/b），且X∈[-πb/2，3πb/2），本文取x∈[0，πb）。本文用開口向下的拋物線來模擬橢圓函數線。令y=Ax2+Bx+C，而曲線過原點O，則C=0。有y=Ax（x+B/A）。

令y=0，有x=0或x=-B/A=πb，得B=-Aπb。

令x=X=πb/2，y=Y=c=A（πb/2）（πb/2+B/A）。

綜上解得A=-4c/（πb）2，B=4c/（πb）。

模擬拋物線方程y=-[4c/（πb）2]x2+[4c/（πb）]x，則y'=-[8c/ （πb）2]x+4c/（πb）

橢圓周長L=4∫0πb/2（1+y'2）0.5dx，換元法令X=y'=-[8c/（πb）2]x+ 4c/（πb）

解上式得x=πb/2-（πb）2X/（8c），dx=-[（πb）2/（8c）]dX。

容易得出積分限是：x為0→πb/2;X為4c/（πb）→0。則有

L=4∫0πb/2（1+y'2）0.5dx=L=4∫4c/（πb）0（1+X2）0.5[-（πb）2/（8c）]dX

=（πb）2/（2c）∫04c/（πb）（1+X2）0.5dX

=[（πb）2/（2c）]×（1/2）{X（1+X2）0.5+ln[X+（1+X2）0.5]}04c/（πb）

=[（πb）2/（4c）]×{[4c/（πb）][1+16c2/（πb）2]0.5+ln[4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

=πb[1+16c2/（πb）2]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

∴L=πb[1+16c2/（πb）2]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/ （πb）2]0.5}

4 特例

∵c2=a2-b2

∴L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/ （πb）2]0.5}

4.1接近于正圓

令b→a，則c→0。則

L=πb+（πb）（πb/4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

令x=πb/（4c）→∞，1/x→0，則有L=πb+（πb）xln[（1/x）+ （1+1/x2）0.5]

=πb+（πb）xln{（1/x）+[1+1/（2x2）}

=πb+（πb）ln（1+1/x）x

=πb+（πb）lne

=2πb=2πa

4.2狹長橢圓（a>b）

相當于b→0，則c→a。令x=πb/（4c）→0，1/x→∞，則

L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）xln[（1/x）+（1+1/x2）0.5]

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）xln[（1/x）+（1/x）]

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（2πb）ln（2/x）（x/2）

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（2πb）ln（8c/πb）πb/8c

而（8c/πb）πb/8c=1+（πb/8c）ln（8c/πb）后項（2πb）ln（8c/πb）πb/8c →0。

L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5

4.3補充說明

（1）∫（1+X2）0.5dX=（1/2）{X（1+X2）0.5+ln[X+（1+X2）0.5]}，該積分使用換元法和分部積分法計算，過程略。

（2）limn→∞（n）（1/n）=1+（lnn）/n。（8c/πb）πb/8c=1+（πb/8c）ln（8c/πb）

[1+（lnn）/n]n=[1+（lnn）/n]（n/lnn）lnn={[1+（lnn）/n]（n/lnn）}lnn=elnn=n，

故limn→∞（n）（1/n）=1+（lnn）/n。

（3）從作圖法可以確定用部分拋物線代替部分正弦線會導致曲線段弧長略微增加，所以真實的橢圓周長略微小于L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}。

5 N等分橢圓面積

本文給出一個通用方法：由切筒法推知，只要筒底圓形面積被從圓心處N等分，即扇形對應圓心角為2π/N，由豎直投影法逆向斷定，逆向豎直投影在筒橢圓切口面上的每一部分仍然滿足面積相等，即是說每一部分沿著短軸方向的微元段長度不變，沿著長軸方向每個對應的微元段長度拉升為底圓對應豎直投影微元段長度的a/b倍，因此N等分橢圓面積成功。作圖要點是橢圓上的N等分點與半徑為b的底圓圓周上N等分點的沿著短軸方向的y坐標值相同。

6 結語

本文通過使用全新的數學方法終結了困擾世界科學界近200年的古老頂級數學難題，為促進橢圓積分的發展與科學進步做出了重大貢獻。