渦流檢測多層平板導體參數的頻率選擇方法

徐 晉

(北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

隨著材料加工工藝的發展，在航空航天、電力、核工業等領域，表面涂層技術作為材料制備的新技術有了廣泛的應用[1]。涂層和基體構成多層導體結構，在生產和在役過程中需要對導體各層厚度、電導率參數進行無損檢測，以保證設備正常工作[2]。常規無損檢測方式包括超聲、射線、磁粉、滲透、渦流等，其中渦流檢測技術，以其穩定性和可靠性，適用于金屬腐蝕、裂紋及參數檢測。

在基于正弦渦流法的多層平板導體厚度和電導率檢測問題中，通常將檢測線圈放置在待測多層導體上方，通過測量不同頻率下的線圈阻抗可以反算出各層厚度和電導率。20世紀60年代末，Dodd等[3]從理論上完整闡述了分層平板導體上空心圓柱線圈阻抗的積分求解方法，奠定了理論基礎。本世紀初，Theodoulidis等[4-5]提出了截斷區域本征函數展開法，得到了線圈阻抗的級數解，使計算實現變得簡單，擴展了解析方法的應用領域。在以上研究的基礎上，研究者通過在線圈阻抗理論值與實驗值之間建立最小二乘問題，應用最優化算法即可檢測多層平板導體各層厚度和電導率[6-8]。

在進行參數檢測時，激勵頻率的選擇是關鍵。文獻[9]針對多層導體模型，利用透入深度公式估算激勵頻率，得到了激勵頻率范圍；文獻[10]以碳纖維復合材料涂層為測量對象，利用有限元軟件仿真的方法選擇激勵頻率；文獻[11]針對熱障涂層模型，利用實驗的方法，選擇標準試件上線圈阻抗的理論值與實驗值相對誤差較小的頻率點作為激勵頻率。以上頻率選擇方法較為簡單，隨著檢測參數的增多，參數間相互影響增多，使得頻率選擇變得復雜，需針對被測導體各參數特點進行頻率選擇。

針對正弦渦流法檢測多層導體厚度與電導率的問題，以空心圓柱線圈為探頭、散射場電感為測量量，提出了一種通過求解靈敏度函數選擇激勵頻率的一般方法，進行了三層導體厚度與電導率檢測實驗，驗證選頻方法的有效性。

1 理論模型

1.1 正問題

空心圓柱矩形截面線圈在n層平板導體上方的模型如圖1所示。以線圈軸線為z軸，軸線與平板平面垂直，交點為坐標原點，建立圓柱坐標系。將整個空間沿z軸方向劃分成Ⅰ，Ⅰ-Ⅱ，Ⅱ，1，2,…,n，n+1區域，利用截斷區域本征函數展開法[5]研究Ⅰ-Ⅱ區域線圈阻抗。

圖1 理論模型Fig.1 Theoretical model

設線圈在空氣中的電感為L0，在導體上方時的電感為L，線圈散射場電感即為ΔL=L-L0，其級數表達式為[5]

(1)

(2)

T(p)=

(3)

1.2 反問題

利用測量量得到多層平板導體參數的過程稱作反問題，本質上是求解不定的非線性方程組，一般要將其化為非線性最小二乘問題[13]。設圖1中線圈提離為z1，1，2,…,n區域導體厚度分別為h1，h2,…,hn，電導率為σ1，σ2,…,σn。取待測參數向量：

X=(z1,h1,h2,…,hn,σ1,σ2,…,σn)

(4)

目標函數為

(5)

約束條件為

(6)

2 頻率選擇

式(5)中，m個反演頻率點需要人為選擇，選擇方式對參數反演的準確性有直接影響。不同激勵頻率對應的線圈散射場電感測量結果對多層導體各未知參數的檢測靈敏度不同，應選擇檢測靈敏度高的點作為反演頻率。頻率的選擇既與被測導體參數有關，又與檢測線圈尺寸參數有關，在線圈參數與被測導體參數確定的情況下才有頻率選擇問題。為了便于研究，采用的線圈參數如表1所示。

表1 線圈參數Table 1 Coil parameters

式(1)中，若線圈尺寸已知，散射場電感ΔL是關于各層厚度、電導率、線圈提離以及激勵頻率的函數。定義靈敏度函數為

(7)

式(7)中:L0表示空氣中線圈電感值;x表示待測參數向量X中的某一參數。靈敏度函數對各參數與散射場電感進行了歸一化處理，在某一頻率處，它表示當參數相對于自身變化相同的百分比時，散射場電感相對于空氣中線圈電感變化的百分比。在各個參數真實值可估計的情況下，利用式(7)可以繪制出各參數對應的靈敏度函數隨頻率變化的曲線。將線圈參數和待測三層導體參數值代入式(7)，得到各參數靈敏度函數隨頻率變化情況，如圖2所示。

圖2 參數靈敏度函數隨頻率變化Fig.2 The sensitivity function of parameters varying with frequency

觀察圖2(a)，在相同頻率處比較各參數靈敏度函數值，函數值大表示該參數在該頻率處靈敏度高，函數值小表示靈敏度低。觀察每個待測參數的靈敏度函數隨頻率變化的曲線，發現每條曲線都有一個最大值點，在此附近的頻率對于該參數的靈敏度高。觀察圖2(b)，隨著頻率增高，提離參數的靈敏度函數值逐漸增大，表層金屬電導率靈敏度函數值略有下降，其他參數靈敏度函數值急劇下降并趨于零。各參數靈敏度函數最大值及對應頻率如表2所示，提離z1的靈敏度函數值隨頻率增高而增大，且顯著大于其他參數的靈敏度，并未在表2中列出。在100～500 000 Hz頻率范圍內，根據靈敏度最大值的大小可預測各參數反演準確度由高到低依次為z1>σ2>σ3>h1>σ1>h3>h2。

由此可以得到多層平板導體模型激勵頻率選擇的一般步驟：首先應已知檢測線圈尺寸參數真實值和多層導體參數估計值；然后將各參數值代入式(7)中，得到靈敏度函數隨頻率變化曲線；最后在各參數靈敏度函數最大值所對應的頻率附近選取3～4個頻率點，完成m個反演頻率點的選擇。

表2 各參數靈敏度函數最大值及頻率Table 2 Maximum and frequency of sensitivity function of each parameter

需要指出的是以散射場電感為檢測量求解靈敏度函數，實際應用中檢測量可以是電阻、阻抗角或磁場強度等渦流信號，只需根據具體情況，將其理論表達式代入式(7)中求解相應的靈敏度函數，同樣可以完成激勵頻率選擇。

3 實驗

為了研究靈敏度函數選頻的實際效果，進行實驗驗證。圖3所示為三層平板導體上線圈電感測量實驗圖。線圈參數如表1所示，平板導體參數如表4第2列所示。利用WK6500B阻抗分析儀掃頻測量得到激勵頻率100 Hz～1 MHz線圈在導體上方時的電感以及遠離導體時的電感，二者相減得到散射場電感實驗值。

圖3 三層平板導體上線圈電感測量Fig.3 Inductance measurement of coil above three-layered plane conductor

利用靈敏度函數選頻法，針對7個待測參數最大靈敏度所對應的頻率附近分別選取3～4個頻率點，最后在680～30 000 Hz共選擇26個頻率點。作為對照，在相同的頻率區間，將散射場電感的變化值平均分為25段，選擇每一段的端點，同樣得到26個頻率點。兩種選頻方式頻率點的分布如圖4所示，分段統計兩種方法在各頻率段的頻率點數，結果如表3所示。將兩種方法選出的兩組實驗頻率點分別代入式(5)中，得到參數反演結果如表4所示。

圖4 兩種選頻方式頻率點的分布Fig.4 Distribution of frequency points of two frequency selection modes

表3 頻率點分布統計Table 3 Frequency points distribution statistics

對比表4中兩種選頻方法的結果，利用靈敏度函數選頻時，除底層電導率參數外，其他6個參數反演結果的相對誤差均小于利用平均選頻的誤差。其中，平均選頻反演得到的中間層厚度和電導率誤差較大，分別為23.91%和8.91%。究其原因，表2中中間層厚度和電導率兩個參數的靈敏度函數曲線最大值對應的頻率分別為1 043 Hz和1 685 Hz，而在680～2 000 Hz頻率段，使用平均選頻選擇的頻率點數共計10個，少于靈敏度函數選頻方法的16個，如表3所示。這說明平均選頻法在參數敏感度高的頻率附近選擇的點數不足，造成了中間層厚度和電導率反演誤差較大，利用靈敏度函數選頻增加了該頻段的反演頻率點數在總點數中所占的比例，從而提高了中間層厚度和電導率的檢測靈敏度。

表4中靈敏度函數選頻法各參數反演準確度從高到低依次為z1>σ1>σ2>h1>h3>σ3>h2，將這一結果與實驗前理論計算結果比較發現，最大值z1和最小值h2兩個參數位置相同。實驗中頂層電導率σ1反演精度較高，這是由于在較高頻率段金屬層中其他各參數靈敏度函數衰減較快，趨近于零，僅有頂層電導率σ1保持較高的靈敏度，反演中少了其他參數的干擾。由于實驗中存在誤差，并且理論分析中反演準確度排序在中間的幾個參數靈敏度函數最大值差別較小，因此造成了各參數實際反演的準確度與理論分析的順序不完全一致。

4 結論

針對正弦渦流法多層平板導體參數檢測問題，提出一種通過求解靈敏度函數選擇激勵頻率的方法，實驗表明該方法可有效應用于三層導體平板各層厚度和電導率的檢測。

表4 三層平板導體參數反演結果Table 4 The inversion results of three-layered plane conductor parameters