四旋翼飛行器反演滑模控制器的設(shè)計與仿真

洪向共, 易忠達(dá), 張心馳

(南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，南昌 330031)

四旋翼飛行器作為多旋翼飛行器中的主要類型之一，其結(jié)構(gòu)完整，機(jī)動性高，價格低廉，能完成垂直起降和自由懸停等固定翼飛行器無法做到的動作，所以可在多領(lǐng)域代替人工作[1]，比如航拍圖像獲取、大型工程的監(jiān)察和測繪、復(fù)雜情況下的巡檢等。四旋翼飛行器作為復(fù)雜的欠驅(qū)動非線性系統(tǒng)，控制器設(shè)計變量繁多，姿態(tài)環(huán)與位置環(huán)之間存在強(qiáng)耦合[2]，整個系統(tǒng)輸入量是四個旋翼位置電機(jī)高速運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生的方向向上的拉力，輸出量是位置與姿態(tài)。

目前中外相關(guān)專家學(xué)者提出了很多控制方法[3]，比例積分微分(proportion integration differentiation, PID)控制[4]是非常經(jīng)典的控制方法，也是當(dāng)前的主流應(yīng)用控制方法，通過建立模型，設(shè)定PID參數(shù)，得到對飛行器的控制。這種方法簡單易實現(xiàn)，但是穩(wěn)定性太差，當(dāng)周圍環(huán)境改變，需要調(diào)整PID增益。之后分別有人提出了優(yōu)化的PID控制方法[5-6]，第一種優(yōu)化方法利用模糊控制，第二種優(yōu)化方法利用反步法，都使控制系統(tǒng)的性能得到了一定的提升。針對傳統(tǒng)PID控制方法存在的問題，有人提出線性二次型調(diào)節(jié)器控制方法[7]，利用內(nèi)環(huán)線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator, LQR)和外環(huán)PID的雙回路閉環(huán)控制系統(tǒng)，達(dá)到提高飛行器穩(wěn)定性、控制系統(tǒng)魯棒性和精度的目的。然而，控制的強(qiáng)耦合還是存在，之后有人應(yīng)用反饋線性化控制[8]，在控制輸入前放置兩個積分器，實現(xiàn)了控制的解耦。對于傳統(tǒng)控制策略來說，一般先線性化四旋翼模型，之后將處理過后的模型做進(jìn)一步的計算從而設(shè)計出控制器，此種方法對于飛行精度的控制并不好。非線性控制是目前的研究熱點(diǎn)，所以，控制算法如果采用現(xiàn)代非線性控制來設(shè)計的話，不但能得到更優(yōu)更有效的控制，而且精度也能得到提高，比如反演控制方法[9]、自適應(yīng)控制方法[10-11]、非線性控制方法[12]等。

基于當(dāng)前四旋翼無人機(jī)控制方法存在的問題，提出結(jié)合反演控制和滑模控制的非線性系統(tǒng)控制方法。利用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計姿態(tài)環(huán)控制器，趨近運(yùn)動的動態(tài)品質(zhì)通過在滑模控制中運(yùn)用指數(shù)趨近律來優(yōu)化[13]。利用反演控制方法對控制非線性系統(tǒng)的優(yōu)越性設(shè)計了位置環(huán)控制器，通過增加非線性阻尼控制非線性項。從而得到適合四旋翼飛行器的飛行控制系統(tǒng)。

1 動力學(xué)原理

四旋翼飛行器的簡化模型如圖1所示。建立機(jī)體坐標(biāo)系xbybzb和地面坐標(biāo)系xgygzg，φ代表橫滾角，θ代表俯仰角，ψ代表偏航角。

圖1 模型Fig.1 Model

假設(shè)：①使用的模型作為剛體是對稱的；②飛行器質(zhì)心、幾何中心、機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)三點(diǎn)重合；③飛行器的推力正比于槳葉轉(zhuǎn)速的平方。

機(jī)體坐標(biāo)系分別繞Ogxg、Ogyg、Ogzg軸旋轉(zhuǎn)可以得到地面坐標(biāo)系，其旋轉(zhuǎn)矩陣為[14]

(1)

式(1)中:S代表sin，C代表cos，所以有機(jī)體坐標(biāo)系xbybzb到地面坐標(biāo)系xgygzg的轉(zhuǎn)換：

(xgygzg)T=Rt(xbybzb)T

(2)

如圖1所示，機(jī)體坐標(biāo)系xbybzb的角速度分別定義為p、q、r，由歐拉角和四旋翼角速度之間的關(guān)系有

(3)

(4)

式(4)中：Fi(i=1，2，3，4)為各個旋翼所受的拉力；d為力矩系數(shù)；l為機(jī)體坐標(biāo)原點(diǎn)與旋翼中心的直線長度。定義U1、U2、U3、U4為四旋翼的4個控制輸入量，則

(5)

式(5)中：ωi(i=1，2，3，4)為旋翼轉(zhuǎn)速；kt為空氣阻力系數(shù)；kd為旋轉(zhuǎn)力矩系數(shù)。

由動力學(xué)普遍定理可得

(6)

利用動力學(xué)方程以及歐拉方程對飛行器進(jìn)行受力計算，得出四旋翼的動力學(xué)方程為

(7)

式(7)中：l與式(4)中l(wèi)含義相同；g為重力系數(shù)，N/kg。

(8)

(9)

(10)

式(10)中：

(11)

2 控制器設(shè)計

2.1 姿態(tài)控制部分

作為一個完整四旋翼飛行器的飛行控制系統(tǒng)，其中最核心的部分要數(shù)姿態(tài)控制，而姿態(tài)控制設(shè)計的優(yōu)劣會直接決定整個飛行器的飛行品質(zhì)，這里選取橫滾的狀態(tài)方程來說明姿態(tài)控制部分的設(shè)計流程。

(12)

(13)

則有：

(14)

取滑模控制器：

a2x4Ωr+ε1sgns1+k1s1)

(15)

式(15)中：ε1>0，k1>0，將式(15)代入式(13)可得

(16)

滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件。

同理得到其他兩個控制量為

a4x2Ωr+ε2sgns2+k2s2)

(17)

ε3sgns3+k3s3)

(18)

2.2 位置控制部分

根據(jù)飛行器動力學(xué)原理得知，3個位置變量x、y、z僅由輸入量U4控制,位置環(huán)、姿態(tài)環(huán)之間存在強(qiáng)耦合的問題，因此采用在反演設(shè)計中加入滑模控制來解耦合，在非線性系統(tǒng)中加入反演設(shè)計方法，提高系統(tǒng)性能，使得更易處理控制器中的未知參數(shù)[14]。下面以水平位置x子系統(tǒng)為例設(shè)計控制器，狀態(tài)方程如下：

(19)

給定期望值x7d，定義z7=x7d-x7為期望值與實際值的誤差,對其求導(dǎo)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

因為橫滾角、俯仰角、偏航角與水平位置有耦合，定義虛擬控制量：

v2=(Cx1Sx3Cx5+Sx1Sx5)U4

(25)

v2=(Cx1Sx3Cx5+Sx1Sx5)U4=

(26)

代入式(23)中有

(27)

滿足Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)。所以將式(22)帶入式(25)中,得

(28)

同理可得位置環(huán)的其他兩個虛擬控制量

(29)

(30)

式中：

(31)

式(31)中：ρ3>0，ρ5>0。

根據(jù)式(24)，得到U4與式(29)、式(30)控制變量的關(guān)系式

v4=(Cx1Sx3Sx5-Sx1Cx5)U4

(32)

v6=(Cx1Cx3)U4

(33)

在給出偏航角ψ期望值x5r的情況下，姿態(tài)環(huán)控制的期望信號選用俯仰角和橫滾角的期望值x1d和x3d[15]，聯(lián)立式(26)、式(30)、式(31)可以得到：

(34)

最終得到完整四旋翼控制系統(tǒng)的4個控制量

(35)

3 實驗及結(jié)果分析

從仿真和實際實驗兩個方面去說明控制方法的性能。

為進(jìn)一步驗證所設(shè)計控制器的可行性，采用Matlab/Simulink工具箱進(jìn)行仿真驗證。模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)Table 1 Model parameters

假設(shè)四旋翼飛行器初始狀態(tài)保持靜止，并且位置和角度都為0，設(shè)計期望信號xr、yr、zr、ψr分別為sin0.5t、cos0.5t、0.2t、sin0.5t。四旋翼飛行器姿態(tài)控制器參數(shù)在經(jīng)過大量調(diào)試后選取ε1=5，ε2=5，ε3=10，c1=15，c2=15，c3=20，k1=10，k2=10，k3=13，飛行器位置環(huán)控制器參數(shù)為ρ1=ρ2=ρ3=ρ4=ρ5=ρ6=5。并分別于t=2 s、t=5 s、t=8 s依次向x、y、z方向加入幅值為0.2 m、持續(xù)時間為5 s的矩形波干擾，于t=11 s向偏航角加入幅值為10°、持續(xù)時間為5 s的矩形波干擾，結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 x跟蹤軌跡與誤差Fig.2 x position response curve and error

圖3 y跟蹤軌跡與誤差Fig.3 y position response curve and error

仿真結(jié)果中，方法1和方法2分別表示本文所提出的控制方法和常規(guī)的反演控制方法。圖2中兩種控制方法都于初始時刻不久達(dá)到最大誤差，其中方法1的最大誤差為0.1 m，方法2的最大誤差接近0.12 m，之后兩者都能迅速地收斂于期望信號，在加入干擾項后，方法2的誤差明顯大方法1，超過0.07 m。干擾項結(jié)束后兩條曲線都能貼合于期望曲線。

圖3中，由于飛行器初始狀態(tài)y軸方向為0，所以期望曲線cos0.5t使得在初始時刻y軸方向有個從初始位置0到期望位置1的跳變，之后迅速收斂，在加入干擾項后，方法2相比于方法1有更大的誤差，達(dá)到0.08 m，干擾項結(jié)束后兩條曲線都能貼合于期望曲線。

圖4、圖5分別為z軸方向以及偏航角的響應(yīng)曲線，可以看出，在系統(tǒng)趨于穩(wěn)定后，隨著干擾項的加入，方法1控制下的誤差都要小于方法2控制下的誤差，更為貼近期望的控制曲線。

為了驗證提出的控制方法實際飛行時的可靠性，將兩種控制方法依次部署到四旋翼無人機(jī)，并分別在室外同一環(huán)境下飛行5 min，取出飛行數(shù)據(jù)，以實際飛行軌跡數(shù)據(jù)為例比較兩種控制方法下的性能。如圖6所示，可知在實際飛行過程中，本文提出的控制方法相比于方法2來說，飛行誤差更小，更接近參考軌跡。

綜合以上可知，本文提出的控制方法在保持現(xiàn)代非線性控制方法的精度高、控制優(yōu)的優(yōu)勢外，相比傳統(tǒng)PID控制方法，具有控制解耦合、穩(wěn)定性高、魯棒性好等特點(diǎn)。

圖4 z跟蹤軌跡與誤差Fig.4 z position response curve and error

圖5 偏航角控制響應(yīng)曲線及誤差Fig.5 Yaw angle control response curve and error

圖6 三維運(yùn)動軌跡對比圖Fig.6 Comparison of three-dimensional motion trajectories

4 結(jié)論

以四旋翼飛行器作為研究對象，建立了四旋翼飛行狀態(tài)模型，在對姿態(tài)環(huán)的控制中，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制在非線性系統(tǒng)控制中的優(yōu)越性，采用了基于指數(shù)趨近律的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，并針對位置環(huán)的強(qiáng)耦合性質(zhì)設(shè)計了一種反演控制器，通過計算機(jī)仿真和實際飛行試驗，與常規(guī)反演控制器進(jìn)行對比，結(jié)果說明了所設(shè)計的算法在精確度、穩(wěn)定性等方面都能達(dá)到預(yù)期的控制效果，且具備較強(qiáng)的抗干擾性。