立體幾何體積的三種常規解題方法分析

楊 徽

(重慶市酉陽第一中學校 重慶酉陽 409800)

引言

筆者從歷年的高考數學卷題目分布研究中發現，立體幾何在整張數學卷子中所占比例很大。立體幾何的題目一般會在選擇、填空題的最后幾題和大題的第二、三題的位置中分布，主要考查學生對立體幾何基本知識點的了解程度，以及對立體幾何與向量、平面幾何等知識點相結合的理解能力。[1]

一、適當分割，多個求和

一般的數學考題中，關于體積的計算，不會是一個簡簡單單的長方體、正方體或是三棱錐，而是幾個長方體、正方體的結合形成的多面體，求它們相結合形成的體積。[2]在此類型中，最常見的解題方法就是分割法，把多面體分割成幾個我們常見的立體幾何。然后，分別求出每個分割體的體積。最后，將所有的分割體體積相加，就能得出總體積了。例如，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，EF=1.5，EF與平面AC的距離為2。那么，該多面體的體積是多少？在本題中，由于多面體ABCDEF是一個不規則的立體幾何圖形，我們無法用常見的立體幾何的體積算法，去計算該多面體ABCDEF的體積。此時，我們便可以運用分割法的知識，將多面體ABCDEF分割成常見的立體幾何，再進行計算。我們先連接BE、CE構成一個新的平面BCE，這個平面將多面體ABCDEF分割成了四棱錐E-ABCD和三棱錐E-BCF。此時，多面體ABCDEF的體積就等于四棱錐E-ABCD的體積加上三棱錐E-BCF的體積。教師可以引導學生得出V多面體ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF，在進行求解。

二、先補后減，整體計算

第二種關于立體幾何體積的常見算法，是與分割法相對的補形法。我們把題中所給的多面體用常見的立體幾何加以拼湊，把它拼成常見的立體幾何。然后，在求出這個大的立體幾何的體積后，再把補上去的，小的立體幾何的體積算出來，兩者相減就能得出多面體的總體積了。例如，已知斜三棱柱的側面A1ACC1與平面ABC垂直，∠ABC是直角，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C，求點C到側面A1ABB1的距離。

對于斜三棱柱ABC-A1B1C1。因為，是斜三棱柱的緣故。所以，在計算點C到平面A1ABB1D距離時，兩者是線面關系，線面關系會很難計算。此時，我們便可以運用第二種計算立體幾何的體積算法—補形法。將斜三棱柱ABC-A1B1C1補成一個平行六面體ABCM-A1B1C1M1。然后，我們再設點C到平面A1ABB1D的距離為d，而在平行六面體ABCM-A1B1C1M1中，d也是平面A1ABB1與平面C1CMM1之間的距離，作A1D⊥AC于點D，作A1E⊥AB于點F。因為，AA1=A1C，AC=，AA1⊥A1C。所以，A1D=。又因為∠ABC是直角，BC=2。所以，AB=。因為，側面AA1CC1與底面ABC垂直，A1D⊥AC于點D。所以，A1D⊥AB，又A1E⊥AB于點F，已知AB⊥面A1ED。因而，AB⊥ED，又∠ABC是直角。所以，DE∥BC，D為AC中點，且，

三、等底等高，相互轉化

“等底等高，相互轉化”，即是我們常說的等面積法。把原本不容易得出的底面面積或高，通過代替的方式轉化為比較容易得出的底面面積或高。當我們在求四面體P-ABC的體積時，由于頂點P到底面ABC的距離h1不容易得出，我們可以換一個點作為頂點，將四面體P-ABC換成四面體A-PBC。此時，我們會發現，頂點A到面PBC的距離h2就可以很容易得出，從而我們可以計算出四面體A-PBC的體積，而這種簡單的轉化法就是我們常說的等體積法。例如，在棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，若PD=AD=l，請求出棱錐D-PBC的高。

∵底面ABCD是平行四邊形，且AB=2AD=2

∴AB=CD=2，AD=BC=1

又∵∠DAB=60°

∴由余弦定理可以算出BD=

∴BC⊥BD

又∵PD⊥底面ABCD

∴BC⊥PD

∴BC⊥平面PBD，BC⊥PB

在Rt▲PDB中

∵PB=2，V棱錐D-PBC=V棱錐D-PBC

即菱錐D-PBC的高為。

四、總結

總之，想要學好立體幾何，教師就要讓學生把立體幾何當中的知識點理清楚。然后，在一般的基礎上理解體積計算的各種方法，明白每一種方法之間的變通，讓學生在實踐過程中能運用這些巧妙的方法，更好地掌握該知識點。