用智能手機App Video Physics研究豎直平面內的圓周運動

李云天 程敏熙

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006 )

Video Physics是一款具有視頻分析功能的智能手機App(目前只有ios版本)，此款App具有軌跡追蹤、視頻分析的功能，結合手機App Vernier Graphical Analysis 4可以對導出數據進行定量分析[1].

本實驗用手機App Video Physics和Vernier Graphical Analysis 4研究了小球在豎直平面內做圓周運動的情況，并分析了小球的速度和運動軌跡之間的關系.

1 實驗原理

1.1 計算小球在圓形軌道上運動時對應的向心力以及角速度

由向心力計算公式、角速度與線速度的關系式

(1)

(2)

可以計算出小球在圓形軌道上運動時對應的向心力和角速度.

1.2 不同質量的小球從同一高度靜止釋放到達最低點的速度關系

由動能定理得

(3)

可知，由同一高度h靜止釋放，如果不同小球所受的空氣阻力以及軌道摩擦力f近似相等，則到達圓形軌道最低點時的速度相等.

1.3 小球從不同高度靜止釋放 運動軌跡不同

如圖1所示，我們對在做圓周運動的小球進行受力分析，受到軌道彈力N，切向摩擦力f和小球自身的重力mg，正交分解并結合牛頓第二定律可知，在徑向方向上有

圖1 在豎直平面內做圓周運動的小球受力分析

當小球恰能運動到最高點則滿足θ=0，N=0，此時可得臨界速度為

若小球不能做完整的圓周運動，則在脫離時刻N=0，有臨界速度為

并且可得

當v90°時，小球不會脫離軌道，將沿著軌道返回.

1.4 由與圓形軌道等高的位置靜止釋放時小球的脫離點速度

設脫離點速度為v，靜止釋放高度為h，當h=2r時，由動能定理得

(4)

且有

(5)

聯立式(4)、(5)可得，小球的脫離點速度為

(6)

2 實驗儀器及步驟

2.1 實驗儀器

本實驗的主要儀器有iPad、手機支架、小米9智能手機、兩個質量不等的小球(m1=42.2g,m2=33.2 g)、自制過山車軌道模型(第一個圓的直徑為14.82 cm)、刻度尺(20.00 cm)、圓柱體重物，其中刻度尺起定標作用，圓柱體重物用于穩定裝置.

2.2 實驗步驟

2.2.1 視頻導入及分析

打開iPad上的Video Physics軟件，點擊左上方的“+”，即可當場拍攝需要分析的視頻或上傳已經拍攝好的視頻片段，其中需要說明的是iPad拍攝所得視頻的幀率、清晰度較低，對實驗結果的誤差影響較大，本實驗改用具有60幀4K高清錄像功能的小米9手機進行錄像，再將視頻導入iPad中進行處理，視頻導入后便會進入如圖2所示的界面，點擊上方的“Origin & Scale”，即可進行坐標軸以及標尺的設定.點擊兩個標尺定位圓選擇畫面中刻度尺的兩端，然后點擊并拖動原點定位圓設定坐標原點，并且可以通過旋轉來設定坐標軸的方位.

圖2 Video Physics定標界面

設定完畢后，點擊“Points”進入圖3所示的界面，選擇下方的逐幀播放按鈕直到想要進行視頻分析的畫面，然后點擊并拖動目標定位圓，使其中心與需要追蹤的小球中心重合，點擊“Track”便可以自動追蹤小球的運動情況，由于小球的運動速度過快，需要逐次輕點目標定位圓逐幀地記錄下小球的位置.

圖3 Video Physics定點界面

2.2.2 數據輸出與數據分析

上述操作結束后，點擊圖3右上方的“數據輸出”按鈕，將數據文件以.ambl格式輸出并導入與Vedio Physics軟件配對的數據分析軟件Vernier Graphical Analysis 4中，點擊右上角的視圖選項可以切換成多圖界面，表格界面、圖表并存界面，點擊x軸坐標選項或者y軸坐標選項可以更改坐標軸從而得到不同的圖像.點擊視圖選項切換至表格界面，點擊最右一列的“…”選項，添加合速度的新計算欄，名稱為“v”，單位為“m/s”，精度保留4位小數，插入相應表達式之后點擊應用，則可以得到合速度的數據,如圖4所示.

點擊視圖選項切換至表格界面，切換y軸坐標，即可描繪出“v-t”圖像，如圖5所示，可以直觀顯示出小球的合速度變化情況，拖動十字交叉點擊曲線上的點，即可讀取對應時刻的合速度大小.

圖4 表格界面

圖5 合速度與時間的關系

3 實驗驗證

3.1 計算小球在圓形軌道上運動時的向心力與角速度

利用軟件的數據讀取功能，讀取最低點和最高點對應的速度分別為vmax=1.657 5 m/s,vmin=0.929 7 m/s,代入式(1)、(2)，其中小球質量為42.2 g，r=0.074 1 m，可得表1.

表1 小球達到最高點、最低點時的向心力和角速度

計算得出恰能通過最高點的臨界速度為

而實驗得到的最高點速度為

vmin=0.929 7 m/s>0.851 6 m/s

能通過最高點.實際與理論相符.

3.2 驗證不同質量的小球從同一高度靜止釋放到達最低點的速度相等

將兩個質量不同的小球從最高點靜止釋放，按前面所述視頻分析步驟進行分析，得出兩個小球的“v-t”圖，分別讀取兩個小球的最大速度，即最低點速度,v1=1.657 5 m/s;同理可得,v2=1.664 8 m/s,相對誤差為0.4%，大致可得v1=v2.因此，可得質量不等的兩個小球從同一高度靜止釋放，運動到最低點的速度大致相等，跟小球質量無關.

3.3 從不同高度靜止釋放小球會有不同的運動軌跡

選取4個不同的高度靜止釋放小球，得到了圖6所示的4種不同的運動軌跡，當高度較高，進入圓形軌道的初速度較大時，軌跡為完整的圓，如圖6(a)所示；當高度逐漸降低，初速度減小時，小球只能做部分的圓周運動，到達某一高度后會脫離軌道斜拋出去，且初速度越小，拋出點越低，如圖6(b)、(c)所示;當高度降低至某一程度，小球不能到達半徑為R的高度，沿著軌道返回,如圖6(d)所示.

(a) h=0.290 0 m

(b) h=0.240 0 m

(c) h=0.190 0 m

(d) h=0.110 0 m

表2 不同高度靜止釋放時小球脫離時刻對應的物理量

3.4 計算與圓形軌道等高位置靜止釋放時小球的脫離點速度

將小球從與圓形軌道等高的位置靜止釋放，根據前面所述的實驗步驟，同理可得小球的脫離點速度為vc=0.704 5 m/s，并與通過式(6)計算的理論值0.694 9 m/s作比較，相對誤差為1.4%，大致相等.

4 小結

Video Physics是一款具有追蹤目標物體，可以實時顯示目標物體位置，記錄物體的速度，描繪物體運動圖像等功能的智能手機App.本實驗用該App研究了在豎直平面內的圓周運動，定量地分析了不同質量小球在同一高度靜止釋放到達圓形軌道最低點的速度關系和小球從不同高度靜止釋放過程中的速度與運動軌跡的關系，并計算出小球在圓形軌道上運動時的向心力、角速度，以及小球從與圓形軌道等高位置靜止釋放時小球的脫離點速度.

運用Video Physics App可以使小球在豎直平面內的運動情況更加直觀地呈現給學生，為課堂教學帶來了便利，加上智能手機便于攜帶、使用率高的優勢，如果將該App靈活運用到課堂教學中，有利于培養學生的科學思維和科學探究能力，激發學生的學習熱情和興趣，從而助力于培養學生的物理學科核心素養.