探究桿連接體繞軸運動動能的計算方法

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

質點組的重力勢能等于全部質量集中于質心的勢能，但質點組的動能不一定等于全部質量集中于質心的動能.在各質點相對靜止的條件下，若質點組只發生平動，則質點組的動能等于全部質量集中于質心的動能；如果質點組發生轉動，那么質點組的動能與全部質量集中于質心的動能有何關系呢？柯尼希定理反映了二者的關系，即質點組的動能等于全部質量集中于系統質心的動能與各質點相對于質心的動能之和.

若求出一個物體相對于另一個物體的相對速度v′，則相對運動的動能為

m1v′1=m2v′2v′=v′1+v′2

因此， 兩個物體相對于系統質心運動的動能之和為

由此可見，一個物體相對于另一個物體運動的動能等于兩個物體相對于系統質心運動的動能之和，即一個物體相對于另一個物體的動能等于兩個物體相對于系統質心的動能之和.

對于兩個質點構成的桿連接體，在對系統應用機械能守恒定律列方程時，關鍵是計算動能，可有4種方法，下面進行舉例分析.

【例1】如圖1所示，質量均為m的兩個小球A和B，分別固定在一長為l的輕桿中點和一端.整個裝置從水平位置開始繞固定軸O自由轉動，求桿運動到豎直位置時兩球的速度各為多大？

圖1 例1題圖

所以

辨析：對于質點組的轉動過程，全部質量集中于系統質心的動能不等于各質點的動能之和.

解法1：利用質點運動的動能公式

系統勢能減少量等于系統動能增加量，即

由于二者做圓周運動的瞬時角速度相同，則有vB=2vA，而mA=mB，代入方程可得

解法2：利用剛體轉動的動能公式

對系統由機械能守恒定律得

連接體的轉動慣量為

聯立方程可得瞬時角速度為

所以線速度大小分別為

解法3：利用兩個物體相對于系統質心的動能和柯尼希定理

對系統由機械能守恒定律可知系統轉到豎直位置時對地面的動能Ek等于它在水平位置時的重力勢能EpC,又據柯尼西定理得

Ek=EpC=EkC+E′kC

即

化簡得

由此得

所以

解法4：利用一個物體相對于另一個物體的動能和柯尼希定理

由于在質心參考系中質點系的總動量為零，即系統的總動量保持不變，因此可認為其中一個小球固定不動，則另一個小球的折合質量為

聯立各式得

由此得

所以

【例2】質量不計的直角形支架兩端分別連接質量為2m和3m的小球A和B，不考慮小球的形狀，支架的兩直角邊長度分別為2l和l，支架可繞固定軸O在豎直平面內無摩擦轉動，如圖2所示，開始時OA邊處于水平位置，由靜止釋放，求小球A在下落過程中的最大速度.

圖2 例2題圖

解法1：利用質點運動的動能公式

設支架轉過的角度為θ，根據系統勢能減少量等于系統動能增加量有

2mg·2lsinθ-3mgl(1-cosθ)=

即

令y=4sinθ+3cosθ-3，取導數得

解法2：利用剛體轉動的動能公式

對于球桿轉動系統，當各質點對轉動軸的力矩為零時，各質點的動能分別同時達到最大.設支架轉過的角度為θ，根據杠桿平衡條件有

2mg·2lcosθ=3mglsinθ

對系統由機械能守恒定律有

連接體的轉動慣量為

I=2m·4l2+3ml2=11ml2

解法3:利用兩個質點相對于質心運動的動能公式和柯尼希定理

如圖3所示，以O點為坐標原點，沿兩桿方向建立直角坐標系，且y軸正方向向下，則兩球的位置坐標為A(2l,0)，B(0,l)，根據質心公式可知系統開始時的質心位置坐標為

圖3 小球和系統質心在直角坐標系中的位置

圖4 速度矢量三角形

因此兩球相對于質心運動的動能為

將兩球視為一個質量為5m的球放在C點，當桿轉過θ=53°時系統的質心下降到O點正下方，系統的勢能最小，則兩球運動的速度最大.由機械能守恒定律有

解法4:利用兩個質點相對運動的動能公式和柯尼希定理

在質心參考系中，折合質量為

可知二者相對運動的動能為

即為兩個物體相對于系統質心運動的動能之和.

所以小球A的最大速度為

總之，對于桿連接體繞軸轉動問題，在應用系統機械能守恒定律求速度時，關鍵是求質點組的動能，可有4種方法.在解題時應用的物理規律主要有系統機械能守恒定律、柯尼希定理、相對動能的兩種等價形式以及轉動慣量、折合質量、杠桿平衡條件、質心的性質和相關的數學知識.多種方法所得結果相同，殊途同歸，從而驗證了有關規律的正確性.