離心勢能教學應用3例

楊振東

(廣西師范大學物理科學與技術學院 廣西 桂林 541004)

不細究過程而能對系統某時刻的狀態下結論，這使得機械能守恒定律在處理某些慣性系力學問題時體現出巨大的優越性.而非慣性系中處理同類問題時，機械能守恒定律不再適用，無疑減少了解決問題的途徑.考慮到慣性力具有保守力的性質[1，2]，可引入慣性力勢能，將其計入系統總勢能中，使機械能守恒法在非慣性系中繼續沿用，同時亦能將涉及勢能的特殊方法遷移到非慣性系.目前國內部分普通物理教材中為慣性離心力引入“離心勢能”這一概念，但未提到其具體用途與用法.本文舉出其教學應用3例，通過3個經典力學問題突出離心勢能的教學價值.

1 離心勢能

力的作用線始終通過某一定點，這樣的力稱為有心力.一般情況下，有心力均為保守力，即滿足×F=0.慣性離心力符合有心力的特點，在特定的參考系下具有保守力的性質，因此可類比其他真實的保守力，引入勢能的概念，一般稱為離心勢能.

圖1 勻速旋轉平面上一質點自A點轉動至B點

如圖1所示，在一以恒定角速度ω旋轉的平面上，質點自A點移至B點.取圓盤作為參考平面，中點為坐標原點O，用r表示該質點的位置矢量.質點運動過程中，受到的慣性力為科氏力與慣性離心力，其中科氏力與速度方向垂直而不做功.

在極坐標系下，將某一變力F分解為徑向分量Fri與橫向分量Fθj，元位移dr分解為徑向分位移dri與橫向分位移(rdθ)j，則該力做功為

對于慣性離心力而言，其方向恒沿位置矢量，因而Fθ=0.又因慣性離心力為r的函數，則慣性離心力做功可記為

上式表明，慣性離心力在勻速轉動參照系中表現出保守力性質，因此可以定義其勢能.取r=0處為勢能零點，則質點在勻速轉動參照系中某位置的離心勢能表達式為

式中r為該位置到勢能零點的距離.

2 非慣性系機械能守恒問題

引入離心勢能后，機械能守恒定律的形式在非慣性系便可繼續沿用.對于勻速旋轉的非慣性系，若質點所受外力均為保守力，則該質點在系統中的機械能守恒，表述為

【例1】如圖2所示，一光滑細桿繞豎直軸以勻角速度ω轉動，桿與豎直軸夾角為θ保持不變.一初始狀態相對細桿靜止的小環自離地面高h處沿細桿下滑，求小環滑到細桿下端的速度.

圖2 光滑細桿繞豎直軸勻速轉動

方法一：取轉動的細桿作為參考系，在小環下滑的過程中，利用動能定理可得，重力做功WG與慣性離心力做功W離之和等于動能的增量ΔEk，即

WG+W離=ΔEk

其中

r0=htanθ

解得

由于細桿下端相對地面靜止，因而該速度亦是小環相對于地面的速度.

解得

對比以上兩種解法，盡管最終呈現的形式一致，但表達的物理思想卻不相同.機械能守恒定律是力學中一條重要規律，也是更普遍的能量守恒定律在力學中的特殊體現，在非慣性系中引入機械能守恒處理問題，捋清物理方法的邏輯脈絡，容易使學生在學習中形成良好的知識結構，有助于引導學生從科學方法層面理解傳統的機械能守恒定律.

3 非慣性系諧振問題

【例2】如圖3所示，圓盤繞通過中心O點的豎直軸在水平面內以角速度ω勻速轉動，質量為m的小球被約束在圓盤上的光滑導軌AB內運動.小球與一勁度系數為k的彈簧相連(k>mω2)，彈簧另一端固定在圓盤A點.彈簧原長時小球位于P點，OP=r0，且OP⊥AB.將小球沿導軌拉開一段距離后釋放.試證明小球做簡諧振動，并求圓頻率[3].

圖3 勻速旋轉系統中的機械振動

方法一：在圓盤參考系中建立如圖3所示空間直角坐標系，取圓盤中心點作為原點，垂直于導軌方向為x軸，x-O-y平面為圓盤面，z軸垂直于盤面.設小球相對于圓盤的運動速度為v，以i,j,k表示x,y,z方向的單位矢量.小球受重力-mgk、導軌作用力N1i+N2k(N1為側向水平力，N2為支持力)、彈簧彈力-kyj、慣性離心力mω2(r0i+yj)、科氏力-2m(ω×v)=-2mωv(k×j)=2mωvi.根據小球受力情況，列出其動力學方程

-mgk+N1i+N2k-kyj+

(1)

分成3個分量式，有

-mg+N2=0

將第3個分量式整理得，小球在軌道中的動力學微分方程為

(2)

形式與簡諧振動動力學微分方程一致，因此判定該運動為簡諧振動，圓頻率為

(3)

方法二：取旋轉圓盤為參考系，圓盤中心為坐標原點，設小球相對圓盤的速度為v，系統總機械能記為E，小球位置矢量記為r，r0則為r在x軸方向的分量，彈簧形變可用y表示.將離心勢能計入系統總能量，則小球運動過程中系統機械能守恒.取圓盤中心為離心勢能零點，則物體在任意位置處，均有

(4)

由圖3可知

(5)

式(5)代入式(4)得

則

(6)

兩邊對時間微分，注意常量r0微分為零，則

兩邊除以2v得

(7)

因

式(7)整理得

(8)

可見式(8)與第一種方法得出的式(2)完全相同，小球的運動為簡諧振動，圓頻率為

(9)

對比兩種方法易見，引入離心勢能并對系統總機械能進行微分，所得的圓頻率結果與方法一完全一致.雖計算過程更為繁瑣，但思路簡潔，避免了過多的分析受力過程，且科學地將物理方法進行遷移，為非慣性系的諧振問題重新賦予了機械能守恒的意義，具有一定的教學價值.

4 非慣性系平衡位置討論

【例3】如圖4所示，Ox和Oy分別是支架的水平臂與鉛錘臂，Ox臂繞鉛錘臂以恒定角速度ω轉動.一均勻細桿的兩端A與B被分別約束在兩臂上運動，假定約束是理想的，細桿質量為m，長為2L.圖中θ表示OC與Oy之間的夾角，C為細桿質心.求細桿的平衡位置.

圖4 勻速旋轉系統中的平衡性討論

討論平衡類問題，從勢能角度出發更為簡潔[4].涉及勻速旋轉的平衡穩定性問題，可將離心勢能計入系統總勢能中，通過對總勢能求一階導數來求得平衡位置.

設細桿線密度為λ,規定O點為重力勢能零點，Oy軸為離心勢能零點.由題意易得，細桿重力勢能為

Ep,G=-mgLcosθ

距離轉軸為r處的質元dm，其離心勢能為

整個細桿在任意位置的離心勢能為

將系統總勢能記為

勢能曲線取極值處即平衡位置，則上式對θ求一階導數并令其結果為零，得

解得平衡位置為

單個物體在保守力場中運動，勢能曲線極值點對應的位置即為平衡位置.將這一結論推廣到勻速旋轉的非慣性系中，通過引入離心勢能來沿用這一結論，對處理非慣性系中的平衡問題提供了便利.

5 小結

現行力學教材中的物理規律大多建立在慣性系中，將這些規律移置在非慣性系下進行討論，滲透物理思想，重現物理規律方法建立的過程，使知識的建立觸及學生思維層面，才算避免機械灌輸，達到有意義學習.在勻速旋轉的參考系中引入離心勢能，從教學上說，既是力學框架下內容的補充，又是梳理“機械能守恒”邏輯脈絡的機會.將慣性系中涉及勢能的規律推廣到非慣性系中，并借以解決非慣性系力學問題，是學生深化理解知識，進行科學遷移的重要過程.因此，離心勢能的教學就應注重歸納科學方法，而不能讓學生止步于對公式本身的記憶.