同心鼓運動模型的相關研究

王鑫 張樂民 王寧宇 柳慶新*

（1.河海大學計算機與信息學院 江蘇省南京市 211100 2.河海大學理學院 江蘇省南京市 211100）

拓展項目“同心協力”需要參與者充分發揮團隊協作能力。所用道具是一面雙面鼓，鼓身固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點沿圓周均勻分布，每根繩子長度相同。團隊成員每人牽拉一根繩子，盡量使鼓面保持水平。項目開始時，球從鼓面中心正上方豎直落下，隊員協力拉動鼓將球顛起。

項目所用排球的質量為270g。鼓面直徑40cm，鼓身高度為22cm，鼓的質量為3.6kg。隊員人數不能少于8 人，且之間的最小距離不得小于60cm。項目開始時，球從鼓面中心上方40cm 處豎直落下，球被顛起的高度應離開鼓面40cm 以上。項目的目標是使得連續顛球的次數盡可能多。活動過程中隊員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。

根據題目所給條件，我們進行以下假設：每個隊員的位置經安排后不再改變，在顛球過程中不會發生移動。球運動過程中按照理論規律運動，不存在其他外界因素(如風、空氣阻力)的影響。鼓與球的材質均勻，可按一種材質計算，同時鼓內看作空心。第四問中“兩位隊員”指的是相鄰的兩位隊員。鼓的轉動過程與剛體轉動過程類似。

1 問題一：理想狀態下團隊最佳協作的顛球高度

1.1 策略目標分析

影響人顛球次數直接影響因素為繩的拉力大小。設團隊有n 個人，相鄰兩位隊員之間的夾角為θ，繩上的拉力為Fh。

因為每個人都可以精確控制用力方向、時機和力度，則不妨設球與鼓運動狀態穩定后，作用在鼓上的合力F1為大小恒定的力。在球與鼓兩次相撞的中間時段，F1作用的時長為t'。為使鼓和球一起運動的系統耗能最小，顛球的高度Н 應盡量低。所以，Н=40cm。對于鼓球系統，所以，穩定后的鼓球系統，每一次球都應當在同樣的位置發生撞擊（假設發生撞擊后立即相互脫離，兩次撞擊的時間間隔為一個周期時長T）。

1.2 球和鼓撞擊狀態分析

球由撞擊點到最高點的距離與最高點到下一次撞擊點的距離大小相等，均為Н，期間球只受重力作用。可求得T=0.5714s，撞擊前排球的速度撞擊后排球的速度（以豎直向下為正方向）。由動量守恒和非完全彈性碰撞規律，撞擊前后狀態可列（設鼓面材料為PVC）：

1.3 鼓的運動狀態分析

撞擊后立即撤銷F1，在之后的某時間段t'，以撞擊瞬間為時間起點。在兩次撞擊過程中，鼓運動位移為0，同時滿足動量守恒，可建立如下方程：

圖1：F2 的分析圖

圖2：鼓面轉動示意圖

1.4 豎直方向合力F1與繩拉力Fh關系確定

假設已知人數n，則豎直方向合力F1在某一條繩上的分量為某一時刻繩與水平面的傾角φ，則為Fh在豎直方向分量大小，具體關系如下表示：

1.5 判斷人數

設兩人之間的距離固定為x，相鄰兩人之間夾角θ。由幾何關系可確定人到鼓的水平距離為R。繩較初始位置下降距離h。由幾何關系建立如下方程組：

化簡得n 與Fh之間的關系式：

最佳策略為一個團隊8 個人，控制豎直方向合力大小41.013N，發力時機為撞擊點后0.043s，發力時長為0.5214s。

2 問題二：球員失誤操作的結果分析

2.1 某些球員用力過大

由于題目未給出隊員的具體站位，我們默認八位隊員相鄰夾角相等，容易給出夾角該情況下每一位隊員正對面均有另一位隊員。

由于隊員的手可以在一定范圍內自由移動，可以假設繩子末端在隊員所站位置上方。鼓的材質均勻且空心，可以由表面積比例關系給出鼓面的質量m1=1.7147kg，鼓身的質量m2=1.8853kg。

需要考慮多位隊員在一個時間段內同時發力時，情況較為復雜，需要給出不同情況的受力分析。分析文下表1 數據可以得出結論，即同一時刻內只有三種發力的人數情況：1 人、2 人或8 人。下面根據同時間段內發力的人數分三種情況討論。

2.1.1 情況1

在只有1 人發力時給出一個隊員施加作用力F2的分析圖1，由于這里鼓面發生轉動的同時必定帶動繩子移動（如圖2），力的大小和方向都將隨之改變，若要精確求解，需要給出兩者的函數關系再進行積分，而兩者的函數關系較復雜。實際上，由于轉動的角度很小且力作用時間很短，可以認為在這段作用時間內繩子的位置不變，即可將力向量當作定值計算。

該力距豎直方向有一定的傾斜角為φ，根據剛體轉動定理，F2在垂直此時鼓面(此時鼓面水平)的分量影響了鼓面的轉動，而水平分量對轉動不造成影響。鼓面發生一定的角度轉動后，需要重新分解合力F2，產生新的影響轉動的分量，但由于過于復雜且影響較小，這里同樣不加入計算。

根據轉動定理及角速度關系，可以給出0.1 秒后鼓面傾角β 的計算方程組。

2.1.2 情況2

在2 人同時發力時，可以再細分為兩種情況討論。即2.1 情況：兩人夾角為180°，即剛好面對面站位，此時受力分析圖如圖3 所示。

根據上文單個力的作用假設，兩個拉力向量在水平方向上的分解力不會影響轉動，現在考慮其在豎直方向上的分力，假設其中一個分力為Fy1，另一個為Fy2，兩者僅有兩種可能關系：情況2.1.1：Fy1=Fy2；情況2.1.2：Fy1≠Fy2。兩者相等時，其和力矩方向向上，使鼓發生豎直平動，此時不發生轉動；兩者不等時，力較大的那一方將使鼓轉動，轉動過程的解析類似情況一，不同的是，公式中的Fy需替換為Fy1-Fy2，即：

圖3：兩人夾角為180°時鼓的受力分析

圖4：兩人夾角小于180°的情況

圖5：第八組的pos 值合成

2.2 情況：兩人夾角小于180°（如圖4）,此時較難確定鼓面的轉軸，但是分析表1 數據可以看到，這種情況發生時，兩個力的大小均相等，按照剛體轉動規律，相等的兩個力的力臂d 應當等長且平行，于是可以用直線l1連接兩人并過質心做的平行線，即可得到該情況下的轉軸。

2.1.3 情況3

八個人同時間段內發力時，由于兩兩對稱，可以依據不同具體情況分解為情況一或情況二進行計算。

2.2 具體求解

考慮到9 組數據中每組數據在持續時間及發力大小上有許多不同，我們將其分為三種類型進行求解：1.每個隊員發力時機均相同，但有個別隊員用力大小不同(1、2、3 組)；2.每個隊員用力大小相同，但有個別隊員發力時機不同(4、5、6 組)；3.有個別隊員或用力大小不同或發力時機不同(7、8、9 組)。這里約定：在同一時間段內站位剛好相對且用力大小相等的兩位隊員可根據模型二中的情況2.1.1 處理，即不將其加入對轉動的影響因素中，下面的求解不再贅述此步驟。

2.2.1 類型一(1、2、3 組)的求解

表1：發力時機（單位：s）和用力大小（單位：N）取值

表 2：隊員的評價數值

在這個類型中，隊員發力的持續時間均只持續了0.1s 且在同一時間段內，只需合理應用模型二分析。第一組按情況2.1.1 談論即可，囿于篇幅這里僅給出第二組的具體解法，第三組解法類似第二組。

第二組中僅需考慮四位隊員：編號1、2、5、6，其中1 和5 相對，2 和6 相對，將相對的兩位隊員運用情況二Fy1≠Fy2時的結論，可將需要考慮的力減少到2 個即編號1、2 隊員方向的力，再運用情況二的第二種細分情況即可。

2.2.2 類型二(4、5、6 組)的求解

分兩段時間考慮，第一段0.1s 內作用力將使得鼓產生一定的角加速度，在第二段0.1s 內由于用力大小均相同，鼓不再具有角加速度，即做勻速轉動。第4 組在第一段時間中運用情況2.1.2 算出角加速度α 后可以給出第一段0.1s 末的角速度計算式：

從而鼓面的總傾角：

第五、第六組解法與其類似，不同的地方在于第一段0.1s 中需運用兩次情況2.1.2 再運用情況2.2 才能得到角加速度α。

2.2.3 類型三(7、8、9 組)的求解

與類型二相比，類型三兩段時間均有角加速度，且這兩段時間內的角加速度方向大小均不相同。還是同樣的方法給出第一段時間及第二段時間內的角加速度α1、α2，這時鼓面在兩端時間內有不同的轉軸，因此將運動分解為兩個方向，分別用兩個角加速度算出合空間角，以鼓質心為坐標原點建立空間坐標系，假定第一段時間內鼓面轉軸為y 軸，則可以由幾何關系給出第二段時間內轉軸方向，從而給出具體角度值。第8 組繞第一轉軸轉動的角度為β1，繞第二轉軸轉動角度為β2，求得法向量加和在空間坐標系中幾何求解可得鼓面傾角。

用上述方法求得所有實驗組數據如表1 所示。

3 球員失誤影響分析即最佳策略的調整

3.1 數據處理

先約定名詞定義，把每一組實驗中發力時機為-0.1s 的數據稱作一型失誤；用力大小為90 的數據稱作二型失誤；從“1、2 人分解”模型中得到啟發，在多人不同時不同力度發力時，最終決定鼓面傾角的僅與失誤直接相關而與其他正常數據幾乎無關，從而提出描述失誤數據站位的影響程度。

將問題二中的數據看作9 組相互獨立的實驗，與現實情況相同，其失誤發生的概率均滿足隨機性。

可以看出其中的自變量：一型失誤影響程度Tf、二型失誤影響程度Fn和失誤數據站位的影響程度pos 都與鼓面傾角的數值β 有不同程度的相關性，即可以表示為若想給出具體的相關程度，需要給出每組實驗中三個影響因素對應的唯一數值。

考慮一型失誤影響程度Tf。每位隊員的發力時機tf只存在提前發力或正常時機發力兩種情況，用0、1 表示，即：

一組實驗內的發力時機程度值Wf可通過各個隊員的wf值累加求和得到，即：

考慮二型失誤的影響程度Fn，Fn取該組實驗中不正常力度出現的個數。

考慮失誤數據站位的影響程度pos。這里的“失誤”需要綜合考慮一型失誤和二型失誤，雖然現在我們還不能拿到數值來準確描述這兩類型失誤的影響程度，但可以明確的是：同一位隊員在一次實驗中發生失誤的次數越多影響肯定更大。

即，可以將在一次實驗中某一位置的隊員發生失誤的次數取做該站位的pos 的數值，而pos 的方向與沿方位的繩向外。整體的pos 值由各個站位的pos 值向量合成得出。

圖6：樣本點繪制預測圖

圖7：回歸系數的直方圖

圖8：P 值最小時的站位情況

以第八組實驗為例，如圖5 所示。

接下來用上述體系求出9 組實驗的Tf、Fn、pos 值與鼓面傾角值β 擬合函數。由于三中因素量綱不同，先對這三種數據用zscore函數進行無量綱標準化。

Matlab 中輸入偏最小而成回歸命令plsregress 擬合處理后的數據，得到標準化指標變量之間的回歸方程：

為考察擬合效果，我們以觀測數據和預測數據對所有的樣本點繪制預測圖如圖6 所示，可以看出函數擬合較好。

分析回歸系數的直方圖7，一型失誤影響程度較大，二型失誤的影響程度和失誤數據站位的影響程度相當，其中二型失誤與鼓面傾角為負相關關系。

在9 組實驗中，參與的隊員相同且他們的站位始終不變，即某一方位的數據全是來自于同一隊員的，據此我們可以通過這9 組數據確定各個隊員的能力評價數值，該過程我們使用了Topsis，即優劣解距離法。

現在有8 個要評價的對象，2 個評價指標(發力時機失誤及用力大小失誤)的標準化矩陣：

定義最大值Z+

定義最小值Z-

定義第i(i=1,2,...,8)個評價對象與最大值的距離

定義第i(i=1,2,...,8)個評價對象與最小值的距離

那么，我們可以計算得出第i(i=1,2,...,8)個評價對象未歸一化的得分：很明顯且Si越大 越小，即接近最大值。算得各隊員的評價數值pi見表2。

在本例中，某名隊員的評價數值代表了其操作過程中的不穩定性，數值越高越不穩定越容易出現失誤。

3.2 站位策略調整

每個隊員的操作穩定性是其自身屬性，不能再做出更改，在給定一組特定的隊員后若想使得失誤發生時的鼓面傾角盡可能小，唯一能調整的是該組隊員的站位，通過站位的調整降低失誤帶來的影響。

仿照計算pos 時的方法，將一種站位策略形成的總操作穩定性P 定義為各個隊員評價數值的矢量累加，即目標函數為min(P)，即在所有可能的站位策略中求出總操作穩定性最強的策略。以表1 的9 組實驗數據為例，用C++循環求解8 位隊員的中站位可能，得到P 最小值為0.1619，該策略的站位安排如下圖所示，其中3、6、7 號位由于穩定性相等可以互換位置，對結果不影響。可以認為該策略最大程度上使得隊員操作的穩定性最強如圖8。