圓與橢圓等比點的類比性質及其應用

蔡祖才 (江蘇省常熟市中學 215500)

所謂等比點，是指直線上四個點組成的某三條線段長依次成等比數列的點的關系，也就是若在線段OA上存在兩點B，C，滿足OA·OC=OB2，我們稱A，B，C是關于點O的等比點，它類似于直線上的調和點列．圓與橢圓是具有相似性的兩個對象，本文從圓的一個等比點性質出發，通過類比得到橢圓相關的性質，并證明和應用．

圖1

性質1如圖1，已知點F是圓O內異于圓心的一定點，射線OF與圓O交于M，在射線OF上存在一點H，使得OF·OH=OM2，過點F的動直線與圓O交于點A，B，求證：∠AHF=∠BHF．

證明當AB與OM有部分重合時，顯然成立．

因為OA=OB，所以△AOB為等腰三角形，故∠OAB=∠OBA，從而∠AHO=∠BHO，即∠AHF=∠BHF．

評注這是圓的一個最基本的等比性質，由于OF·OH=OM2，所以OF，OM，OH成等比數列，由此容易得到一對相似三角形，再通過等腰三角形可以得到角度相等的性質．

在圓中簡單的性質通過類比橢圓得到不簡單的結論．

圖2

證明當直線l′垂直于y軸，結論顯然成立．

而 Rt△AA1H∽ Rt△BB1H， 故∠AHA1=

∠BHB1．

因為∠AHF=90°-∠AHA1，∠BHB1=90°-∠BHB1，所以∠AHF=∠BHF．

評注通過類比，將圓變成橢圓，若定點分別變為焦點和準線與坐標軸的交點，就可以用橢圓的第二定義及相似三角形，從而得到類似的結論．

證明當直線l垂直于y軸時，結論顯然成立．

圖3

評注若將圓變成橢圓，兩定點的橫坐標之積仍保持為a2，則相似結論同樣成立.我們利用了解析法加以證明，充分體現了用代數方法解決幾何問題的解析法思想．

圖4

當AA1≤BB1或P在直線HA1的其他位置時，同樣能證明結論成立．證畢．

評注將圓問題中的一個定點改變到動直線上的任意一點，得到類似的結論，利用相似三角形的證法也沒有改變．

圖5

評注將圓變成橢圓，定點定直線分別變為焦點與相應的準線，這樣的結論可用極坐標思想的方式加以證明．

圖6

評注類比橢圓中等比點的一般結論，我們可用解析法加以證明，可見解析法是一種基本的方法之一．

(1)求橢圓C的方程．

(2)設點P(4，2)，點M在x軸上，過點M的直線交橢圓C交于A，B兩點．

②設直線PA，PB，PF的斜率分別為k1，k2，k3，是否存在定點M，使得k1+k2=k3恒成立？若存在，求出M點坐標；若不存在，請說明理由．

評注本試題(2)②是結論4特例的逆命題．

應用2(蘇州市2018-2019學年第二學期學業質量陽光指標調研卷高二文科數學19題)在

(1)求橢圓C的方程.

(2)若點P的坐標為(4，3)，求弦AB的長度.

(3)設直線PA，PB，PF的斜率分別為k1，k2，k3，問：是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

評注本試題(3)是結論4特例的逆命題．

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB．

評注本試題(2)是結論3的特例．

類比思想是中學數學中一種較為常見的數學思想，類比教學成為中學數學教學常常使用的一種教學手段．正如波利亞解題表對如何解題提出了大量問句或建議，這是解題者的自我詰問、自我類比和自我反思．本文以圓和橢圓等比點的類比研究為例，利用類比思想對數學問題的研究，從圓到橢圓，從特例到一般，得到類比結論和方法，這是研究數學問題的最基本方式，值得讀者一試．