影響初中學(xué)生代數(shù)應(yīng)用能力的原因初探

石 峰 陶增元 (江西省九江市第十一中學(xué) 332000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011版)》明確提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)發(fā)展學(xué)生的模型思想．為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識．[1]在教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實，但在面對與實際生活相關(guān)的應(yīng)用題時往往會手足無措，不能正確地從實際生活中抽象出數(shù)學(xué)問題．到底是什么原因造成他們的應(yīng)用能力不強呢？如果我們不去分析學(xué)生在應(yīng)用能力上存在什么樣的問題，不去找到問題的癥結(jié)，盲目地加大訓(xùn)練量，大搞題海戰(zhàn)術(shù)，就會造成學(xué)生浪費大量的時間，讓學(xué)生疲于應(yīng)付，進而影響學(xué)生的身心健康．我們對本校學(xué)生進行了認真仔細的分析，探尋學(xué)生在代數(shù)應(yīng)用能力方面偏弱的主要原因.

1 讀懂才能審好題 審題常見缺、跳、蒙

影響一個學(xué)生解答應(yīng)用題正確率的有三個層面的因素：一是他的知識儲備，二是他對題目每一個量的理解和分析，三是對題目中量與量之間關(guān)系的理解與分析.每一個因素的不足都會導(dǎo)致解題的失敗.第二個層面與第三個層面的因素其實就是常說的審題，審題是解題的第一步，通過審題發(fā)現(xiàn)思路，制訂解題方案，建立模型．審題中的分析題意是建立方程模型或函數(shù)模型的一個重要環(huán)節(jié)，它存在的主要意義首先是用來尋找數(shù)量關(guān)系，其次是借助于表格或線段圖用代數(shù)式表示各個已知量或未知量，最后是用等號或不等號把這些量連接起來，從而形成方程或不等式．但由于它不直接反映在試卷上，因此沒有引起學(xué)生、家長甚至部分教師的重視，導(dǎo)致某些學(xué)生在有意無意之間忽視了這一環(huán)節(jié).做常見題型時，方程模型一目了然，不需要借助其他的手段就可以得出，但面對新的背景、新的題型時，由于平時沒有相應(yīng)的訓(xùn)練，不能借助其他的思維工具，從而在審題時經(jīng)常出現(xiàn)缺、跳、蒙等現(xiàn)象．所謂“缺”，是指缺少題中所敘述的相應(yīng)的生活常識或生活經(jīng)驗；“跳”，指的是跳躍式閱讀試題或用跳躍式思維建模；“蒙”，指的是當(dāng)學(xué)生在讀不懂題時，靠蒙或猜來進行建模．具體分析如下.

1.1 缺少必要的生活經(jīng)驗

現(xiàn)在的學(xué)生的生活其實非常單調(diào)，基本上是兩點一線：學(xué)校—家庭.大部分學(xué)生被學(xué)校和家長保護著，與外界接觸很少，他們不能或不愿去觀察外部世界，從而變成一個個“生活小白”．某次統(tǒng)考初一數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)了下面一道填空題：

例1盤秤是一種常見的稱量工具，指針轉(zhuǎn)過的角度與被稱物體的重量有一定的關(guān)系，如下表所示：

重量/kg022.53…指針轉(zhuǎn)過的角度0°36°45°54°…

某顧客在一家水果店購買水果，用這種盤秤稱量兩次，第二次的數(shù)量是第一次數(shù)量的兩倍少3 kg，且指針第二次轉(zhuǎn)過的角度比第一次大108°，則該顧客一共購買了kg的水果．

這是一道以實際生活為背景將一元一次方程與角的度數(shù)結(jié)合起來的綜合試題，它要求學(xué)生首先要建立重量與指針轉(zhuǎn)過的角度之間的數(shù)量關(guān)系，然后用方程的思想進行建模，主要考查學(xué)生的建模能力．在實際解答中，很多學(xué)生由于不做家務(wù)、與外界接觸少，并且這種臺秤在市面上已不多見等多方面的原因，所以在解答此題時理解不了指針是怎樣轉(zhuǎn)動、指針的轉(zhuǎn)動與重量為什么有這種關(guān)系，甚至有個別學(xué)生認為指針的度數(shù)超過了180°時指針會按逆時針方向轉(zhuǎn)動，從而使很多學(xué)生在這道題上嚴重失分．

再者，由于時代的飛速發(fā)展，某些題目的背景已經(jīng)在生活中很少見到，導(dǎo)致學(xué)生無法理解題意或曲解題意．

例2小明全家外出旅游5天，家里的日歷沒有撕．結(jié)束旅游后回家，小明連撕5張日歷，這5張日歷日期的數(shù)字之和是105．那么他們是幾號回到家的？

由于時代變遷，這種在上個世紀掛在每家每戶的墻上且每天要撕下一張的日歷已經(jīng)成為歷史，現(xiàn)在使用的也只是根本不用撕的掛歷或者臺歷，更多的學(xué)生看日期是通過手機等媒介．他們的解題過程是：設(shè)這五天的最中間一天的日期是x，根據(jù)題意可得5x= 105，解得x= 21，x+ 2 = 23，所以他們是23號回家的．這種解題思路沒有錯，但由于對這種日歷不熟悉，所以誤將撕下的日歷的最后一天當(dāng)作是回家這一天的日期．造成學(xué)生丟分是由于對生活常識的不熟悉，而不是對數(shù)學(xué)的理解欠缺．這類題與當(dāng)前學(xué)生的生活相距太遠，不能起到考查或提高學(xué)生應(yīng)用能力的作用，應(yīng)當(dāng)被摒棄．

1.2 閱讀理解能力欠缺

某些學(xué)生乃至于他們的家長對待學(xué)習(xí)的功利性太強，不重視語文的學(xué)習(xí)，他們認為優(yōu)生與中等生的語文成績相差不大，在語文上所花時間與所取得的效益相比，性價比相對較低．而相比之下，數(shù)學(xué)的優(yōu)生與差生的分數(shù)差距非常明顯，在數(shù)學(xué)上花的時間與所能取得的效益相比，性價比更高，因此，他們更愿意在數(shù)學(xué)上花更多的時間，去加大做題量，而減少語文科目的學(xué)習(xí).這些做法看似可以利益最大化，但卻制約了學(xué)生的數(shù)學(xué)進步空間．

例3某養(yǎng)雞專業(yè)戶要搭建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成，若籬笆長為11 m，垂直于墻的一邊長xm，則養(yǎng)雞場的面積為m2．

很多學(xué)生在解答時給出的答案是11x.仔細思索之余可知，他們是將籬笆長當(dāng)成了由籬笆圍成的長方形的長.盡管在字面上都含有“籬笆”，都有“長”，但兩者表示的并不是同一個意思，是學(xué)生在閱讀時將這兩者混為一談而導(dǎo)致的錯誤.學(xué)生在試題的理解中暴露出閱讀理解能力不足，從而影響了他們的解題效果．

1.3 跳躍性閱讀

漫畫、游戲中的快節(jié)奏，使某些學(xué)生已經(jīng)養(yǎng)成了一種跳躍式的思維方式，無論是審題還是思考都是采用快進的方式進行，他們不能靜下心來逐字逐句地閱讀題目、理解題意.經(jīng)常有學(xué)生來問題目時，只要要求他再一次讀題，他在教師面前乖乖地、逐字逐句地讀完題目后，就會恍然大悟，原來他有一個條件沒有看到．

圖1

例4小明家新買了一套商品房，其結(jié)構(gòu)如圖1所示(單位：m)，小明的爸爸打算除臥室外，其余部分都鋪上地磚．試問：

(1)至少需要多少平方米的地磚？

(2)如果所鋪地磚的價格為80元/m2，那么小明家至少要花多少元錢？

不少學(xué)生在解答第(1)問時，將原圖補成一個長方形，這個長方形的面積為4a·4b=16ab，減去空白部分的面積ab，應(yīng)鋪地磚的面積為15ab．第(1)問出錯，自然就導(dǎo)致第(2)問也出錯．分析學(xué)生錯誤的原因時，竟然是沒有看到“除臥室外”這四個字，因為這部分學(xué)生為求快速做完試題，他們不是逐字逐句地讀題，而是在跳躍地看題.又是一個不認真審題造成的丟分，不禁讓老師扼腕嘆息．這種不良的審題習(xí)慣造成的丟分勢必會影響到學(xué)生的心情，進而會影響到學(xué)好數(shù)學(xué)的信心．

2 形象抽象兩翅膀 解題卻作兩邊飛

在代數(shù)應(yīng)用題的解答過程中，經(jīng)常涉及到數(shù)學(xué)模型的建立與求解，建立和求解模型的過程包括：從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．[1]7而在這個過程中，就不可避免地要運用形象思維與抽象思維，這兩種思維在數(shù)學(xué)上的應(yīng)用就是根據(jù)試題所描述的場景，學(xué)生在頭腦中形成一幅畫面，然后把這幅畫面抽象成線段圖，再用代數(shù)式表示每條線段的長度，最后根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)方程．

例5(北師大教材·數(shù)學(xué)七上)一個自行車隊進行訓(xùn)練，訓(xùn)練時所有隊員都以35 km/h的速度前進，突然，1號隊員以45 km/h的速度獨自行進，行進10 km后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45 km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合．1號隊員從離隊開始到與隊員重新會合，經(jīng)過了多長時間？

圖2

在實際解題中，有以下幾種思維上的誤區(qū)：

(1)不能將頭腦中的畫面抽象成線段圖，在他們的頭腦中形象思維與抽象思維是兩個孤立的個體，不能把它們有機地結(jié)合起來．

發(fā)生這些錯誤的根本原因是不能將具體的情景抽象成線段圖，或?qū)€段圖中存在哪幾個量以及這些量之間的關(guān)系理解不到位．

3 規(guī)律結(jié)論會歸納 應(yīng)用能力卻低下

數(shù)學(xué)應(yīng)用能力不僅表現(xiàn)在代數(shù)應(yīng)用題的建模上，同樣也體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)新定義、新公式、新結(jié)論的應(yīng)用，即知識的遷移能力上．所謂知識遷移就是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響，而知識遷移能力是指我們運用已熟悉的舊知識來解決一些新問題時所表示出來的能力與素質(zhì)．有的學(xué)生在長期的題海戰(zhàn)術(shù)下積累了豐富的解題經(jīng)驗，已經(jīng)具有了一定的分析、歸納、總結(jié)的能力，但在對總結(jié)出來的新概念、新知識的應(yīng)用上存在嚴重的短板.這主要源于平時基本是由教師針對某一類題型進行示范講解，之后再大量地進行鞏固訓(xùn)練，學(xué)生只是在被動機械地練習(xí)，失去了主動學(xué)習(xí)、主動探索的精神，沒有將學(xué)習(xí)到的知識內(nèi)化成自己的東西，自然就無法遷移到其他的問題當(dāng)中去．

例6觀察下列各式：

(1 +x)(1 -x) = 1 -x2，

(1 +x)(1 -x+x2) = 1 +x3，

(1 +x)(1 -x+x2-x3) = 1 -x4，

(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) =

1 +x5，…

(1)用含x與n的代數(shù)式表示上述規(guī)律；

運用上述規(guī)律解決下列問題：

(2)計算：(1 - 2 + 22- 23+ … - 219) ÷

(1 - 2 + 22- 23+ … -29)；

(3)若1 -x+x2-x3+x4= 0，求代數(shù)式x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019的值．

此題的正確解答是：

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，(1 +x)(1 -x+x2- … -xn) = 1 -xn + 1，當(dāng)n為偶數(shù)時，(1 +x)(1 -x+x2- … +xn) = 1 +xn + 1．

(3)因為1 -x+x2-x3+x4= 0，所以(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) = 0，而(1 +x)(1 -x+x2-x3+x4) = 1 +x5，故1 +x5= 0，x5=-1．將x=-1代入1 -x+x2-x3+x4= 5 ≠ 0，故x≠ -1．

x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019=

-(1 -x+x2-x3+ … +x2 018-x2 019) + 1=

在能將第(1)問寫出正確答案的學(xué)生解答中可以看出，很多學(xué)生無法將得出的規(guī)律運用到新的問題中去；在第(2)問的解答中有以下幾種不同的錯誤：

(1)將被除式與除式都直接算出來，為 -1 048 575 ÷ (-1 023) = 1 025，盡管答案正確，但卻沒有應(yīng)用自己所歸納出來的規(guī)律；

(2)在化簡的第一步，被除式與除式都沒有乘(1 + 2)，缺少規(guī)律中的(1 +x)，從而無法應(yīng)用規(guī)律；

在第(3)問的解答中，出現(xiàn)了以下幾種不同的解法：

(1)x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019=1 - 1 +x-x2+x3-x4+ … -x2 018+x2 019= 1 - (1 -x+x2-x3+x4) +x5(1 -x+x2-x3+x4) - … +x2 015(1 -x+x2-x3+x4) = 1 - 0 + 0 - … + 0 = 1．

這種解法結(jié)果是正確的，但同樣沒有按題目的要求運用所歸納出來的規(guī)律；

(2)已經(jīng)運用歸納出來的規(guī)律計算到x5= -1，但他認為x=-1，故代入到代數(shù)式x-x2+x3-x4+… -x2 018+x2 019中去，得到結(jié)果為-2 019.這是沒有去回顧原題，如果x=-1，那么1 -x+x2-x3+x4的值能否為0？

從學(xué)生的解答可以看出，他們不善于將自己探索到的規(guī)律或知識運用到后續(xù)的解題當(dāng)中，只是按照自己的理解或經(jīng)驗進行解答，從而導(dǎo)致了很多不符合要求的解答過程，加強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)迫在眉睫．

當(dāng)然，學(xué)生在解答試題時，還存在著意志力不堅強的原因．畏苦畏難，解題過程中一旦遇到困難立刻放棄，不愿也不敢去嘗試用其他方法解決自己遇到的困難，還稱其為“識時務(wù)”、“果斷放棄”、“不浪費時間”．這充分說明了這部分學(xué)生在面對困難時缺乏一種不服輸?shù)膭蓬^，缺乏一種頑強拼搏的精神和堅強的意志，缺乏那種“不到長城非好漢”的豪邁氣概．

由前文的分析可知，學(xué)生在解答代數(shù)應(yīng)用題時既有審題的原因也有生活經(jīng)驗不足等非數(shù)學(xué)原因?qū)е碌氖д`，還有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)能力欠缺造成的錯誤.這就要求我們在分析錯誤原因時，不能一概而論，不能簡單地斥之為不認真、不努力造成的，而是要耐心地找到錯誤原因，然后對癥下藥，找到幫助學(xué)生進步的最佳途徑．