“數學寫作之初見建?！苯虒W設計及思考

倉萬林 李 紅 (江蘇省江陰市要塞中學 214432)

2019年3月5日至6日，第三屆“數學寫作”論壇暨2019年“數學寫作”教學研討會在江蘇省江陰市要塞中學進行,來自全國10多個省份的高校、中小學、出版社、雜志社等60多家單位的150余名數學教育工作者參加了活動．論壇由“數學寫作”學校聯盟和江蘇省普通高中數學課程基地聯盟主辦，主題是：課程與寫作．在教學研討環節，“數學寫作”學校聯盟副秘書長、江陰市要塞中學李紅老師講授了“數學寫作之初見建模”展示課，受到了聽課教師與專家的一致好評.下面呈現本節課的教學設計及對于本節課的思考，懇請各位同行和專家批評指正．

1 教學設計

1.1 起：閱讀走起

首先教師和學生一起欣賞“數學寫作”學校聯盟舉辦的“第二屆中學生數學寫作競賽”一等獎作品——夏欣雨同學的數學詩：《冥想》[1]，請學生朗讀并談感受．

除了數學詩歌和解題研究型數學寫作外，數學建模也是常見的數學寫作素材．數學建模是指對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題．在平時學習中，應用問題就是簡化版數學建模的最常見表現．

設計意圖數學寫作離不開數學閱讀，閱讀是起點．詩歌營造了數學閱讀和欣賞的氛圍．同時，該數學詩歌的內容和意境對后續內容有鋪墊作用．

1.2 承：精打細算

例1數學家王元院士買瓜的故事

據說王元先生家樓下有個西瓜攤，大瓜三元一個，小瓜一元一個．王元先生讓太太買大的，王太太買了兩個大瓜，又有些猶豫：“大的比小的貴兩倍呢……”王元先生笑著說：“大的比小的合算！”王太太點頭又搖搖頭：“恐怕還是大的吃虧．”

結合故事，試分析王元先生主張買大西瓜的數學道理．

設計意圖挑選西瓜有學問，這是一個數學建模問題，從“西瓜瓤與整個西瓜的容積比”角度分析買大瓜還是小瓜合算．會用數學的眼光看問題，在實際生活中發現模型，是數學建模的基礎．對該模型的解讀有多個不同的角度，在后面的教學思考中我們有單獨的說明．

例2“雙十一”期間，小明同學在商場看中一件T恤，標價398元；一條牛仔褲，標價598元.若商家不實施優惠，那么他購買兩件物品需付款996元．常見的優惠活動：第一種,每滿100元送50元抵用券，抵用券不參與送券折算；第二種，單件物品滿100元立減50元；第三種，所有物品 5.5折．分析這幾種方式的優惠比例差距有多大．

補充問題：商家的精明還不止這些，無論是電商還是傳統商家，都會在活動以前很“善解人意”地將價格上調幾元．比如，活動前牛仔褲601元，T恤401元．

然后給出幾個以實際生活為背景的數學寫作參考選題：(1)打車方案或者拼車方案；(2)各種常見的利率問題；(3)常見網絡紅包的分布問題；(4)花唄消費是否合算的問題；(5)房貸或者車貸問題；(6)常見彩票的中獎概率問題．

設計意圖通過生活化的例子，從抽象到具體，從模型的比較中體會精打細算背后的數學道理．同時給出對建模題材數學寫作的一般建議．建議學生先學習幾篇學長學姐們發表的作品，看看其他同學是怎樣寫的，選好材料后應找準問題背后的數學模型本質，用簡潔而有說服力的圖表或數據說明問題．

1.3 轉：考場傳真

圖1

例3(2009·海南卷理)如圖1，為了測量兩山頂M,N間的距離，飛機沿水平方向在A,B兩點進行測量.A,B,M,N在同一個鉛垂平面內，飛機能夠測量的數據有俯角和A,B間的距離.請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M,N間距離的步驟．

分析問題的課本來源(如蘇教版高中數學必修5第21頁“探究·拓展”第9題[2])并給出表1．

表1 2009年寧夏高考數學(理科) 機閱卷題目的得分比率

設計意圖本題的設計方法較多，思維局限性小、容易上手，不同基礎的學生都可以做，但方案設計的優劣體現了較強的選拔性功能．本題滿分12分，作為解答題第一題，從統計表可以看出學生的得分情況和我們的預期有較大差別.不會數學建模，后果很嚴重！同時，得分不理想的重要原因是學生不會表達.這種綜合能力的培養是簡單的機械訓練很難做到的，也從反面說明了數學寫作的重要性．

1.4 換：腦洞大開

例4有一次數學測驗(滿分100分)的成績不理想，現在要把成績處理一下，讓50分變成60分.你有什么好主意？請給出設計方案．

按小組預習準備，課堂上展示發言．用軟件GGB檢驗其中一種情況，指出可以借助現代教育技術手段優化方案，剔除不滿足實際問題背景的建模方案．

設計意圖當數學建模的方向不定時，應在分析函數性質的基礎上嘗試構造．還可以借用技術手段，比如用軟件GGB，通過擬合命令，擬合不同的函數．從圖象中可以看出，建模方案差異很大，可能出現許多不確定的情況，課后可以繼續優化設計方案．

1.5 課堂小結

本節課我們進一步了解了數學建模的一般步驟，并欣賞和初步討論了幾則以數學建模為中心的應用問題．建模題材數學寫作的核心在于找出實際問題中的數學模型，用數學的思維審視問題，通過計算、推理等說明問題．數學建模類型的數學寫作更能全面體現“數學寫作”文理兼通的課程特征，將學以致用落到了實處．

1.6 課后作業

1.選擇今天課上的一則問題，設計解決方案，完成整個討論過程和方案的作業報告．

2.自選方案，完成一篇以數學建模為中心的數學小論文，選用函數模型不限．

圖2

3.(南通市2018屆高三數學第二次調研測試題)將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(圖2)，并沿虛線l1和l2裁剪成A,B,C三個矩形(B與C全等)，用來制作一個柱體．現有兩種方案：

方案①：以l1為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B,C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面；

方案②：以l1為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B,C中各裁剪出一個正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個底面．

(1)設B,C都是正方形，且其內切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

(2)設l1的長為xdm，則當x為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

2 教學思考

2.1 關于背景

本節課可以視為數學寫作進課堂的系列之一．2017年5月，“數學寫作”學校聯盟啟動儀式上，李紅老師執教了“數學寫作指導1”一課．其教學設計參見文[3]．2018年9月，“數學寫作”學校聯盟2018年教學研討會在江蘇常州溧陽市埭頭中學進行．李紅老師執教了“解題研究型數學寫作欣賞與指導”一課，其教學設計參見文[4]．

2.2 關于選題

數學建模因其有廣泛應用的特征，也是我們在數學寫作活動中關注和重點研究的內容之一．數學學科核心素養中的數學建模、數據分析等直接和數學應用問題密切相關．在數學教學活動中，加強建模能力的培養，“有利于學生養成用數學的眼光觀察現實世界的習慣，有利于學生發展用數學的思維分析實際問題的能力，有利于學生形成用數學的語言表達實際問題的能力．”[5]王尚志先生對數學模型進行了這樣的概括：實物情景—實際問題—數學問題—數學模型—數學結果—判斷是否合乎實際，如果得到的結果不合乎實際，可能在某個環節出現問題，再進行修正．

本節課的主題為初見建模，側重于數學建模的前面幾個環節，同時兼顧實際教學情況，試圖在數學寫作指導和實際教學情況兩者之間達到平衡；例3的應用問題就是高考真題，作業中也有模擬題出現．整節課從結構而言，數學欣賞和數學寫作作為一明一暗兩條線索交替出現．

2.3 關于細節

數學建模問題中素材或者例題的選擇是非常重要的．正如網紅電視系列片《舌尖上的中國》中反復強調的:美食的關鍵是什么？食材！食材！！還是食材！！！以例題1(數學家王元院士買瓜的故事)為例，從當初的選擇材料到最終版本，一共經歷了以下幾個版本：

當初我們看到這個故事后感覺非常好，不但延續了前面數學欣賞的風格，而且有故事情節，也有建模的背景．

(2)王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅，他賣西瓜不稱重，大瓜三元一個，小瓜一元一個．由于大瓜小瓜差別不大，很多人都拼命地往小瓜那邊擠．王元先生讓太太買大的，王太太買了兩個大瓜，又有些猶豫：“大的貴兩倍呢……”王元先生笑著說：“大的比小的合算！西瓜吃的是容積，不是面積．小瓜的半徑不到大瓜的三分之二，小瓜的容積不到大瓜的30%，當然買大的．”王太太點頭又搖頭：“大西瓜皮厚、小西瓜皮薄，算容積，恐怕還是大的吃虧．”

當初的欣喜馬上就結束了，原版的故事風格不太適合教學中例題的規范，數學課上可能少了數學味道．

(3)王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅，大瓜三元一個，小瓜一元一個．王元讓太太買大的，王太太買了兩個大瓜，又有些猶豫：“大的貴兩倍呢……”王元先生笑著說：“大的比小的合算！小瓜的半徑不到大瓜的三分之二.”王太太點頭又搖頭：“恐怕還是大的吃虧．”結合故事，試分析日常買西瓜的數學道理．

前面的案例，在篇幅上已經有很大的壓縮，但顯然有很多容易引起誤解的要素在里面，容易分散思考的方向．

(4)王元先生家樓下有位賣西瓜的魏師傅，大瓜三元一個，小瓜一元一個．王元讓太太買大的，王太太買了兩個大瓜，又有些猶豫：“大的貴兩倍呢……”王元笑著說：“大的比小的合算！”王太太點頭又搖頭：“恐怕還是大的吃虧．”結合故事，試分析買西瓜中的數學道理．

和前一個版本相比，這次又刪除了大小西瓜的半徑之比，貼近后面的建模方向，瓤的體積和瓜的體積之比．

這四個版本的素材打磨很典型，我們前后花了3個多月時間．考慮到實際情況，最終的版本仍然有很多的遺憾．選西瓜問題，實際要考慮的因素有多個不同的視角，比如西瓜皮的厚度、瓜皮和瓜瓤的密度差異等，是一個有較高開放度的問題，完全可以作為單獨的建模問題來分析．

2.4 關于不足

數學建模問題中，如何從實際問題中析取模型是關鍵也是難點，在本課上并沒有講清講透，或許可以適當減少例題，將難點講透．課堂的建模分析和數學寫作活動之間如何統籌兼顧等其他問題，有進一步討論的空間．

堅持進入課堂的數學寫作探索方向不動搖，我們將一直努力．