“平方根”教學設計與反思*

葉新和 (江蘇省泰州市高港區教師發展中心 225300)

1 基本情況

1.1 授課對象

使用蘇科版數學教材的八年級學生，學生的數學基礎比較好．

1.2 教材分析

1.3 教學目標

(1)了解算術平方根、平方根的概念，會用根號表示非負數的算術平方根和平方根;

(2)了解乘方和開方互為逆運算，會用平方運算求一些非負數的算術平方根和平方根;

(3)能用算術平方根解決一些簡單的實際問題，形成問題意識，發展理性精神．

說明關于知識目標的確定，以《義務教育數學課程標準(2011版)》(以下簡稱《課程標準》)中相應要求為依據．能力目標方面，培養學生發現問題、提出問題的能力以及發展學生的理性精神應該是貫穿數學學習過程始終的，具體到每課時的學習則要把握好分寸．

教學重點 算術平方根的概念．

教學難點 算術平方根符號表示的必要．

1.4 教學策略

(1)調整教材中內容的呈現順序，先學習算術平方根知識，再學習平方根知識;

(2)創設情境，讓學生發現問題、提出問題;

(3)對于猜測的結論，能夠說理時盡可能說理，不能說理時設法進行驗證．

2 教學過程

(第1課時)

2.1 預備性活動

2.2 探索活動1

問題1有的計算器顯示為“Error”．

“Error”表示什么意思？選擇的數字具備什么共同點？你有何猜想？換幾個數字試試，驗證你的猜想．

問題2觀察選擇的數字以及顯示的結果，你有何想法或者會提出什么問題？

想法較多時由簡到繁適當梳理，再就結果為整數或者一位小數的情形進行觀察、分析，并思考問題3．注意盡可能采用學生提出的問題展開后續教學．

為便于發現數量關系，可引導學生填寫下表：

aa0=01=14 =425 =250.36 =0.36……

2.3 學習新知

·算術平方根概念與表示

·體會概念含義

問題4對于算術平方根及其符號表示，你能提出什么問題來考考同學嗎？

如果沒有能夠提出一些問題，可以考慮選用下面的練習題：

第3題 對于上述問題，你有什么想法或者疑惑嗎？

2.4 探索活動2

·感受符號表示的必要

說明該問題屬于計算器顯示結果位數比較多的情形，是問題3的繼續．該問題也是學生最容易感到疑惑的．

·感受研究的必要

例1假設圖1中小方格邊長為1，試寫出線段AB,A′B′的長．

圖1

應用練習：

第4題 寫出上圖中線段CA′,CB′的長；

第5題 求下列各數的算術平方根：

·說理

問題6試解釋負數為何不能求算術平方根．

2.5 鞏固新知 (略)

(第2課時)

2.6 復習鞏固

圍繞簡單實際應用以及學生學習中常見錯誤設計，練習略．

2.6 探索活動3

問題7還有具備上述特征的非負數a嗎？

問題8任選一個正數，連續求算術平方根，你有何發現？

操作發現：在計算器上輸入一個正數,如果這個數大于1，不斷地求這個數的算術平方根，運算結果越來越小，越來越接近1，最后都等于1．在計算器上輸入一個正數，如果這個數小于1，不斷地求這個數的算術平方根，運算結果越來越大，越來越接近1，最后都等于1．

問題9滿足上述特征的非負數是否只有0和1？能說明你的判斷是正確的嗎？

2.9 轉化得平方根

問題11先借助計算器完成下列填空，然后思考：對于計算結果，有何猜測？

2.9 學習新知

例2下列各數有平方根嗎？如果有，請寫出來;如果沒有，請說明理由．

(答案及規范解答略)

平方根性質：一個正數有______個平方根，它們互為______；0的平方根是______；負數______(填“有”或者“沒有”)平方根．

2.10 鞏固新知(略)

3 回顧與反思

3.1 根據學生已有經驗因勢利導

對教材內容順序的調整某種程度上是被“逼”出來的(注：創造性使用教材是教師實踐性智慧的重要表現，其前提是認真研究教材、準確理解編寫意圖、深刻把握教材精髓，對此應持審慎態度)．學生學習中的錯誤多次糾正后效果總不是很好，筆者感覺可能由于兩個原因：一是對平方根內容的學習有困難．由于一個正數的平方根涉及到正負兩個數，這兩個數是方程x2=a的根，這與學生的經驗相差太遠，于是出現了學習“平方根”概念的困難[3].二是蘇科版數學教材利用求網格中線段長作為情境引入平方根定義[1]，可能人為增加了學生學習難度．在學生經驗中線段長只能是正數，結果只有一個，而正數的平方根有一正一負兩個數，學生會心存疑慮．當學生調節已有認知結構，對平方根知識有所接受后，接著學習算術平方根，又回歸到結果是一個的情況，需要再次調整認知結構．給人感覺兩次在牽著學生鼻子走．如果此時再回頭看情境，難免會認為“平方根”內容的學習是多此一舉．

識轉化為算術平方根來處理，因勢利導以有效化解難點．

需要指出的是，計算器上沒有平方根按鍵，只有算術平方根按鍵，這從另一個角度驗證了將算術平方根作為重點并先學習的合理性與必要性．

3.2 努力培養學生的問題意識

《課程標準》在“總目標”中提出：“增強發現和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力.”[4]跟課標實驗稿相比，“增強發現和提出問題的能力”是新增加的要求，對此教師理應給予足夠重視.然而實踐中發現，該要求對于教師的能力要求很高，素材不好找、培養方法不易總結，一直是教學的薄弱環節．筆者試圖通過自己的探索與研究能夠給人以啟迪．

3.3 在計算器使用中“生長”數學

關于計算器的使用，《課程標準》在“使用現代信息技術與教學手段多樣化的關系”中多處給出建議：有條件的地區，教學中要盡可能使用計算器；應當根據課程內容的要求，允許學生使用計算器，還應當鼓勵學生用計算器進行探索規律等活動．[4]遺憾的是，有些地區中考不允許學生使用計算器，因此這些地區計算器使用的教學往往也是流于形式．本文課例在挖掘計算器在知識發現與結論驗證的方面進行了一些嘗試．

算術平方根有兩個本質特征：正數的算術平方根是一個正數，正數算術平方根的平方等于它本身．[2]這兩個本質特征都是學生在利用計算器進行操作中自行“生長”出來的，而不是提出概念后感受的．再有，在不斷地對一個正數取算術平方根的操作中，學生不斷感受其算術平方根逼近數值1的趨勢，在這樣充分的經歷中，“算術平方根等于自身的正數只有1”差不多是脫口而出的事情．