基于“大背景”的章單元建構框架及實施建議
——以“三角函數”一章內容為例

2020-04-22 09:39:48石志群江蘇省泰州市教研室225300

中學數學月刊 2020年1期

石志群 (江蘇省泰州市教研室 225300)

2014年，教育部出臺的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》首次提出了“核心素養體系”這個概念，并且將核心素養定義為“適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”．2016年，教育部正式發布《中國學生發展核心素養》，2017版普通高中各學科的課程標準又相繼提出了學科核心素養的框架，提升學生核心素養成為教學改革新的目標要求．在教育部組織的幾次關于教材編寫的培訓會上，相關專家提出了基于核心素養的教材編寫的基本要求，其中非常重要的一條是“大背景”，即用真實的背景性材料，讓學生經歷完整的提出問題、解決問題的過程，在研究問題的過程中建構學科知識體系．他們認為，只有這樣，才能真正地發展學生的核心素養．下面是關于蘇教版普通高中課程標準教科書(數學)在這方面的探索和思考，一家之言，意在拋磚引玉．

1 “大背景”釋義

每一章的“大背景”是蘊含了本章核心思想、數學本質或思維起點的，具有較強生成性的現實材料、數學材料(如“復數”一章)或其他學科的科學材料(如“平面向量”一章)，通過對這些材料的研究，可以揭示或提煉出本章的主問題或核心問題(大問題)．這個或這些主問題對本章內容起統領作用：或是本章研究的邏輯起點，由主問題進行學科的邏輯發展，就生成了全章的知識結構；或是本章研究的本質問題，通過對主問題的不同層面的研究(并列型)或從簡單到復雜，依據數學研究的一般邏輯順序和方法(遞進型)建構本章知識體系．簡單地說，所謂“大背景”，就是一章內容的“根”和“源”，章內容的展開就是“大背景”的問題解決的過程．

一章中各節均有節首語，節首語是根據章首語和章首語中提出的本章主問題，以及本章已經研究過的內容，自然地生成的背景材料，并由此背景材料自然地提出本節所要研究的主問題(中問題)．節的主問題是服務于章的主問題的，因此也就蘊含于“大背景”之中，其研究內容是圍繞“大背景”的某個方面(側面)而進行的．各小節的中問題就組成了本章問題解決的問題鏈．

無論是章問題還是節問題，都確保既體現本原性原則：在邏輯起點處提出本章節最本質的問題，揭示本章節內容的核心觀念、核心思想；又遵循適宜性原則：起點低、入口淺，但寓意深，讓學生能理解、能操作、能探究．

有時一節的主問題就是一節課的初始問題，有時在一節的問題解決過程中又會形成一些新的小問題，也就是解決節的主題的問題鏈，從而形成了每一堂課的主問題．這些問題鏈有的是顯性的，教材中就展現了，有的需要根據數學的邏輯關系和學生的認知規律進行挖掘，這就是教師教學設計的空間和學生數學探究的空間，這對培養學生的數學能力、發展學生的數學素養是必要的．

在節習題、章復習題和閱讀、問題與探究等欄目中還設計了一些超過課程標準要求，但與本章內容或章“大背景”相關的進階性問題、課題或欣賞性材料，目的是為學生打開通向高等數學的一扇窗，在激發對數學學科的持續的興趣的同時，讓學生感受到數學的美，增強對初等數學內容價值、本質的理解．比如，“三角函數”一章的復習題第20題運用泰勒公式展開的級數說明計算器計算函數值(如sinx, cosx)的原理，對有興趣的學生來說，此題讓他們在了解弧度制的優勢性的同時，能夠感受到極限的思想、逼近的觀念、函數有理化思想等．

從上文可以看出，基于“大背景”的章單元建構框架其實是一種問題解決的建構型教學范式，是在解決由“大背景”產生的大問題的過程中展開數學的研究過程，數學建構的過程也就是數學學習的過程．

綜上所述，基于“大背景”的數學教學結構如圖1所示．

圖1

2 “三角函數”一章的“大背景”

三角函數是刻畫周期現象的數學模型，而周期現象是由周期運動引起的，因此，應該選擇某種周期運動作為研究的原型．當然，這種原型應該是簡單的、基礎的，既便于研究，又可以作為刻畫復雜的周期運動的基礎．

為此，有兩種選擇，一種是單位圓上運動著的點，另一種是半徑為r的圓上運動著的點．前者是后者的特例．考慮到“三角恒等變換”中的基本公式“加法公式”的推導也應該放到這個“大背景”之下進行，而“復合”運動時幾個圓的半徑可能不同(參見蘇教版普通高中課程標準教科書(數學)必修二第10章“三角恒等變換”)，我們決定以“半徑為r的圓上運動的點”作為本章的“大背景”．

于是，“三角函數”一章的章首語就從周期現象緣自周期運動出發，一個簡單的例子是“圓周上一點的運動”，對半徑為r的圓，其上一點P可以用(r,α), (r,l)或(x,y)表示(圖2)，由此提出本章的主問題(大問題)：r,α,l,x,y有著怎樣的關系？

圖2

3 建立本章及相關章節的研究框架

有了上面的“大背景”和“大問題”，只要按照數學研究的基本程序，本章節的內容(中問題)就自然地確定了：

為了使圓上的點進行周而復始的運動，需要對角的概念進行推廣；

研究r,l與α之間具有怎樣的關系，從而引入弧度制；

研究α,r,x,y之間的關系，得到任意角的三角函數(正弦函數、余弦函數、正切函數的概念)；

三角函數都是同一個角α的函數，它們之間一定有關系：研究同角三角函數的關系；

三角函數刻畫了圓周上點的運動，圓的幾何性質在三角函數的代數形式中一定有所體現：研究三角函數的誘導公式；

有了刻畫周期現象的數學模型，就應該用其對周期現象的規律進行研究：探討三角函數的圖象和性質；

有了三角函數的理論體系，就可以研究三角函數是如何刻畫周期現象這個初始問題：三角函數的應用．

以上是本章的內容框架．對“三角恒等變換”一章，我們亦以本章的“大背景”為起點，運用兩個圓的復合運動，形成這一章的大背景及大問題．

這樣的學習過程就是數學研究的完整過程，是數學建構的真實過程，數學的知識是具有聯系性、體系性、整體性和結構性的，不是孤立的知識點的組合．這樣的學習過程讓學生可以充分地認識數學的本質，學會數學的研究方法，從系統上理解數學、掌握數學．這樣的過程無疑會對學生的數學核心素養的發展起到比較充分的促進作用．

4 基于大背景設計每節課的教學過程

根據編寫的理念和方法，使用蘇教版教材時，要充分地理解編寫意圖，特別是要透徹地理解各章的大背景、大問題，基于大背景、大問題進行章節的整體設計．要理解本章大問題與各小節的中問題之間的邏輯聯系，打通“問題鏈”的邏輯關聯，設計本章的教學整體框架．

在把握一章整體的同時，還要理解每小節內容的編寫意圖，特別是節首語中的中問題——這是本節的主問題、是章問題的重要支點，教學設計與實施都要圍繞這個支點充分地展開．否則，缺少了每一節的支點的支撐，章的設計意圖、教學目標就無法達成．

下面以“弧度制”一節的教學為例加以說明，以下是教學設計的主體部分(某些內容簡略表述)．

·問題情境

師：從章首語可知，大千世界存在大量的周期現象，而周期現象是由周期運動決定的.為了建構刻畫周期現象的數學模型，我們選擇了周期運動中最簡單的原型——圓周上一點的運動．為此我們分別用(r,α), (r,l)(α,l,r分別為圓心角的大小、弧長、半徑)及(x,y)來刻畫圓周上點的位置(見章首語中圖)，并提出本章初始問題：

α,l,r,x,y之間具有怎樣的關系？

師：今天我們先來考察r,l與α之間具有怎樣的關系.(教師邊敘述邊板書，如圖3)

圖3

·數學建構

(1)關系分析

師：這個式子反映了r，l與α之間的何種關系？

生：弧長l由半徑r和圓心角α確定．確定的r,α變化時的弧長l(幾何畫板演示)；確定的α,r變化時的弧長l(幾何畫板演示)．

師：上面的式子還可以作怎樣的變形？由此又可以得到r,l與α之間的何種關系？

(2)建構新知

生：系數中的“360”是由角度制的單位的選定所決定的．

師：這個單位的選定不僅使關系式復雜，而且其中弧長、半徑都是實數，是十進制的，而圓心角α的大小是60進制的.將來我們可以發現，這種不同的進位制會給三角函數的進一步的應用帶來很多麻煩，而“統一”的觀念在數學中是非常重要的．那么，如何建立一種新的角的度量制度，使得r,l與α之間的關系顯得簡潔優美，而且三個量的進位制又得到統一呢？

師：如果這樣定義，這個角的度量制度的單位是什么？

由學生獨立思考，完成建構．

師：關系肯定簡單了，進位制統一了嗎？

圖4

通過圖4，引導學生認識到：角的概念推廣以后，在弧度制下，角的集合與弧度數的集合之間建立起了一一對應關系，即角的集合與實數集R之間建立起了一一對應關系：每一個角都對應唯一的一個實數；反過來，每一個實數也都對應唯一的一個角．

(3)建構并鞏固

1)板書定義.

2)練習：①半徑為2 的圓，弧長為4時的角的大小是多少？長度為3時的角的大小是多少？長度為π時的角的大小是多少？②半徑為1的圓(單位圓)，弧長為3時角的大小是多少？

3)互化．

師：現在我們有了兩種度量角的制度：角度制和弧度制.這兩個度量制之間的關系如何呢？比如，30°是多少弧度呢？(學生獨立完成)

·回顧反思

研究思路(研究過程的回顧)，數學結論(所得到的數學結果的總結)，數學觀念(運用的數學的價值觀念、思想方法的提煉)．

·數學應用

弧度制下的弧長公式、扇形面積公式．對扇形面積公式進行兩種度量制的比較，并將扇形面積公式與三角面積公式進行類比，讓學生感受弧度制的優勢．

·布置作業(略)

本節的主問題是“r,l與α之間具有怎樣的關系？”，因此，就要圍繞這個主問題展開探究性思維活動．本設計對所得到的關系式進行變形，從不同的結構形式發現不同的關系(代數式幾何意義的解釋)，為即將進行的數學建構建立邏輯依據和審美基礎．

從關系式的審美要求及不同量的進位制的差異，運用數學的理性精神、審美追求，提出建立新的角的度量制，以簡化關系式、統一進位制的要求；讓學生大膽假設，自主建構，使得提出建立新的角的度量制的想法成為邏輯的必然，也為確定這個度量制的“單位”提供思維的支點．也就是說，知識生成的思維過程是基于邏輯的、自然的，不是教師或教材強加給學生的，教學流程順其自然、水到渠成．

建立了弧度制后，就有必要反過來思考：新的度量制是否達到了我們事前提出的要求？通過單位圓讓學生直觀地認識弧度制的實質，不僅是必要的，而且對學生思維的嚴密性、嚴謹性和數學研究的良好思維習慣——反思——都有非常積極的意義．

有了弧度制后，就有了兩種度量角的“制度”了，一個自然的問題：它們之間具有怎樣的關系？這就成為本節課的問題鏈中第二個重要環節．

最后，通過扇形的面積公式的推導讓學生感受到弧度制的優勢：兩種角度度量制下的公式的比較，讓學生更真切地體會到了弧度制的先進性．事實上，在后續的學習中，這種優勢、先進性還會得到更加充分的體現(章復習題中已有體現)．

5 基于“大背景”的教材使用和數學教學的建議

綜上所述，對蘇教版高中數學教科書的使用及基于“大背景”的章單元建構下的數學教學提出建議：

一是結合教材，特別是章首語，理解一章內容的數學本質、核心思想，了解其現實背景、理論淵源及其數學發展的真實過程，理解數學家們對該內容研究的思維起點、數學思想，做到在數學上理解到位，關鍵之處把握準確．如三角函數是刻畫周期現象的數學模型，現實世界中存在大量周期現象，歐拉就是通過圓周上點的運動的研究建立三角函數概念的．這里的三角函數與他以前的三角學中的內容是完全不同的，因此，無論從數學的邏輯還是從認知的邏輯的角度看，我們都不可能從推廣的視角引進任意角的三角函數．本章教學要抓住一個關鍵：通過對章問題的不同層面的研究，建構刻畫周期現象的數學模型，并研究該模型的性質和應用．

二是通過教材，理清本章內容的邏輯順序、內在關聯，形成全章的教學主線，清晰明了地呈現相關教學內容，讓學生準確把握全章知識結構．如“三角函數”一章的各小節內容都是從章問題自然派生出來的，是環環相扣的一個整體，它始終貫穿一條主線——圓上一點運動的規律的刻畫．從這個角度看，由于章問題的核心意義已經確定，沿著正常的思路，研究的流程、內容、方法也就基本確定了，學生完全可能根據所要研究的章問題，按數學研究的一般方法、程序和基本套路，確定接下來要研究的子問題．即使剛開始時學生的能力還達不到這樣的要求，但在長期的、常態化的、每個章節都在進行的固化的學習進程中，這種能力是一定能得到提升的．