廣義矩陣代數(shù)上的一類局部非線性三重可導(dǎo)映射

費(fèi)秀海，戴磊，朱國衛(wèi)

（1.滇西科技師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，云南 臨滄677099； 2.渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 渭南714099）

1 預(yù)備知識

設(shè)Α 是含有單位元的交換環(huán)R 上的一個(gè)代數(shù),P 為Α 中 的 一 固 定 元,是Α上的一個(gè)可加(或無可加性假設(shè))的映射。若對任意的X ∈Α 且2X =0, 有X =0, 則稱Α 是2-無撓的。若對任意的X,Y ∈Α 且XY =P, 有

則稱δ 是一個(gè)P 點(diǎn)可導(dǎo)映射(或P 點(diǎn)非線性可導(dǎo)映射)；若對任意的X,Y ∈Α 且XY =P, 有

則稱δ 是一個(gè)P 點(diǎn)Lie 可導(dǎo)映射(或P 點(diǎn)非線性Lie可導(dǎo)映射)；若對任意的X,Y,Z ∈G 且XYZ ∈Ω, 有

則稱δ 是一個(gè)局部三重可導(dǎo)(或局部非線性三重可導(dǎo))映射。

近年來,算子代數(shù)上各種類型的映射吸引了研究者的興趣,并成為了算子代數(shù)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。文獻(xiàn)[1-3]分別研究了套代數(shù)、三角代數(shù)、廣義矩陣代數(shù)上的全可導(dǎo)點(diǎn)、Jordan 高階全可導(dǎo)點(diǎn)及交換零點(diǎn)Jordan 可導(dǎo)映射；文獻(xiàn)[4-5]刻畫了素環(huán)和B(Χ)上的非線性Lie 可導(dǎo)映射；文獻(xiàn)[6-10]主要研究了三角代數(shù)上的Lie 導(dǎo)子、非線性Lie (高階Lie)可導(dǎo)映射、非線性廣義Lie 可導(dǎo)映射；文獻(xiàn)[11-12]將非線性和局部非線性結(jié)合起來研究了上三角矩陣代數(shù)和全矩陣代數(shù)上的非線性零點(diǎn)可導(dǎo)映射。特別地, 孟利花等[13]研究了三角代數(shù)上的局部非線性三重可導(dǎo)映射。本文主要研究廣義矩陣代數(shù)上的局部非線性三重可導(dǎo)映射。

下文中將用到的關(guān)于廣義矩陣代數(shù)的基本概念及性質(zhì)介紹如下：

設(shè)Α 和Β 是含有單位元的交換環(huán)R 上的代數(shù),Μ 是 忠 實(shí)(Α,Β)-雙 邊 模, Ν 是 忠 實(shí)(Β,Α)-雙 邊模, 則

是雙邊模同態(tài),且滿足交換圖:

和

則按矩陣通常的加法和乘法運(yùn)算構(gòu)成結(jié)合代數(shù)，稱G 是一個(gè)廣義矩陣代數(shù)。當(dāng)Ν=0 時(shí),稱G 是一個(gè)三角代數(shù)。

設(shè)1Α和1Β分別為代數(shù)Α 和Β 中的單位元, 1 是廣義矩陣代數(shù)G 中的單位元。

由 于 G11=P1GP1, G12=P1GP2，G21=P2GP1，G22=P2GP2是G 的子代數(shù)且分別同構(gòu)于Α, Μ,Ν和Β, 從而廣義矩陣代數(shù)G 在雙模同構(gòu)意義下可被分解為

進(jìn)而對任意的矩陣X ∈G, 可將X 分解成

其中，Xij∈Gij, 1≤i,j ≤2 。

2 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè)G 是一個(gè)2-無撓的廣義矩陣代數(shù),Ω={T ∈G:T2=0}，且φ 是G 上 的 一 個(gè) 映 射(無 可加性假設(shè)), 若對任意的X,Y,Z ∈G 且XYZ ∈Ω, 有

則φ 是一個(gè)可加的導(dǎo)子。

為證定理1, 需要以下引理。

引理1對任意的1≤i ≠j ≤2,有

證 明在 式(1) 中, 令X =Y =Z=0, 有φ(0)=0。在 式(1)中,令X =Y =Pi，Z=Pj(1≤i ≠j ≤2), 則有

進(jìn)而可得

在式(1)中，令X =Y =Pi，Z=Xij∈Gij，則有

可得從而由Gij（1≤i ≠j ≤2）的忠實(shí)性,有

證畢。

注1令X0=P1φ(P1)P2-P2φ(P1)P1，對任意的X ∈G，定義映射δ:G ?G 為

則δ 也是一個(gè)局部非線性三重可導(dǎo)映射，即對任意的X,Y,Z ∈G 且XYZ ∈Ω, 有

且由引理1 容易驗(yàn)證δ(P1)=δ(P2)=0。

引 理2對 任 意 的Xij∈Gij（1≤i,j ≤2）,有δ(Xij)∈Gij。

證明對任意的Xii∈Gii，一方面在式(2)中，令X =Xii， Y =Z=Pj（1≤i ≠j ≤2） ， 由 于δ(Pj)=0，從而有δ(Xii)Pj=0，進(jìn)而有

另一方面在式(2)中，令X =Pj,Y =Xii,Z=Pi（1≤i ≠j ≤2），可得Pjδ(Xii)Pi=0,從而δ(Xii)∈Gii。

對任意的Xij∈Gij（1≤i ≠j ≤2），在式(2)中，令X =Pi,Y =Xij，Z=Pj，可得

從而δ(Xij)∈Gij。

證畢。

引 理3對 任 意 的Xii∈Gii,Xjj∈Gjj,Xij∈Gij（1≤i ≠j ≤2）,有

證 明（i）對 任 意 的Xii∈Gii, Xij∈Gij（1≤i ≠j ≤2）,在 式(2)中，令X =Xii,Y =Xij,Z=Pj，由引理2，有

類似地，可以證明（ii）亦成立。

證畢。

引 理4對 任 意 的Xii∈Gii,Xij∈Gij,Xji∈Gji（1≤i ≠j ≤2）,有

證明（i）對任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij,Xji∈Gji（1≤i ≠j ≤2）,在式(2)中，令

由引理2，有

從而由引理3(i)，可得

進(jìn)而由Gij（1≤i ≠j ≤2）的忠實(shí)性，有

在 式(2)中，令X =Pi，Y =Xii+Xij，Z=Pj（1≤i ≠j ≤2），有

在式(2)中，令X =Xii+Xij，Y =Z=Pj（1≤i ≠j ≤2），有

從而由引理2，有

類似地，可以證明Pjδ(Xii+Xij)Pi=0。所以有

類似地，可以證明（ii）亦成立。

證畢。

引理5對任意的Xii,Yii∈Gii,Xij,Yij∈Gij（1≤i ≠j ≤2）,有

證明(i)對任意的Xij,Yij∈Gij（1≤i ≠j ≤2）,在式(2)中，令X =Pi+Xij,Y =Pj+Yij,Z=Pj,由引理2 和引理4，有

（ii）對 任 意 的 Xii,Yii∈Gii和 Cij∈Gij（1≤i ≠j ≤2）,在 式(2)中，令X =Xii+Yii,Y =Cij,Z=Pj,有

又由引理3(i)和引理5(i)，有

比較式(3)和式(4)，得

進(jìn)而由Gij（1≤i ≠j ≤2）的忠實(shí)性及引理2，有

證畢。

引理6對任意的Xij∈Gij（1≤i,j ≤2）,有

證明對任意的Xij∈Gij(1≤i,j ≤2）,在式（2）中 ， 令 Y =X11+X12+X21+X22, X =P1,Z=P2,有

在式（2）中，令Y =X11+X12+X21+X22,X =P2,Z=P1,有

對任意的C12∈G12,在式（2）中，令Y =X11+X12+X21+X22,X =P1,Z=C12,由引理2，有

另一方面，由引理3，有

比較式（7）和式（8），得到

進(jìn)而由G12的忠實(shí)性及引理2，有

類似地，可以得到

從而由式(5)、(6)、(9)、(10)，有

證畢。

引 理 7對 任 意 的 Xii,Yii∈Gii, Xij∈Gij,Xji∈Gji（1≤i ≠j ≤2）,有

證 明(i)對 任 意 的Xii,Yii∈Gii,Cij∈Gij（1≤i ≠j ≤2）,由引理3，一方面有

另一方面，有

比較式(11)和式(12)，得

進(jìn)而由Gij（1≤i ≠j ≤2）的忠實(shí)性及引理2，有

（ii）對 任 意 的Xij∈Gij,Xji∈Gji（i ≠j）,由 于(Xij-XijYji)(Yji+Pi)Pi=0，在 式(2)中,令X =Xij-XijYji,Y =Yji+Pi,Z=Pi，從而由引理2 和引理6，有

從而有

證畢。

定理1 的證明對任意的X,Y,Z ∈G，設(shè)

其中，Xij,Yij∈Gij，1≤i,j ≤2，由引理5 和引理6，有

即δ 是G 上的一個(gè)可加映射, 從而由δ 的定義知，φ是G 上的一個(gè)可加映射。又由引理2、引理3 和引理7, 有

即δ 是一個(gè)導(dǎo)子, 所以φ 是廣義矩陣代數(shù)G 上的一個(gè)導(dǎo)子。

證畢。

作為定理的應(yīng)用, 有以下推論。

設(shè)Α 和Β 是含有單位元的交換環(huán)R 上的代數(shù),若Μ 是忠實(shí)(Α,Β)-雙邊模，即Μ 既是忠實(shí)左Α 模又是忠實(shí)右Β 模, 則稱R-代數(shù)

在矩陣通常的加法與乘法運(yùn)算中是一個(gè)三角代數(shù)。

推論1設(shè)U 是一個(gè)2-無撓素三角代數(shù)，Ω={T ∈U:T2=0}，且φ 是U 上的一個(gè)映射(無可加性假設(shè)), 若對任意的X,Y,Z ∈U 且XYZ ∈Ω,有

φ(XYZ )=φ(X )YZ+Xφ(Y )Z+XYφ(Z )，則φ 是一個(gè)導(dǎo)子。

推論2設(shè)R 是一個(gè)有單位元I 且存在非平凡冪等元P 的2-無撓素環(huán)，Ω={r ∈R:r2=0}且φ 是R 上的一個(gè)映射(無可加性假設(shè)), 若對任意的x,y,z ∈R 且xyz ∈Ω, 有

則φ 是一個(gè)導(dǎo)子。

證明設(shè)Q=I-P，則由于R 是素的，從而PRQ 是忠實(shí)的(PRP,PRQ)-雙邊模，所以R 同構(gòu)于廣義矩陣代數(shù)環(huán)：

因此，由定理1 知，φ 是一個(gè)導(dǎo)子。

設(shè)Χ 是數(shù)域C 上的Banach 空間,B(Χ)是Χ 上的全體有界線性算子,A(Χ)是B(Χ) 的一個(gè)子代數(shù),F(Χ)是B(Χ)中包含全體有限秩算子的一個(gè)理想。若F(Χ)?A(X ),則稱A(Χ)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)。

設(shè)Η 是數(shù)域C 上的Hilbert 空間,B(Η)是Η 上的全體有界線性算子,V 是作用在Η 上的一個(gè)von Neumann 代數(shù)，I 是B(Η)里面的單位算子,Ζ 是V的中心，V′={T ∈B(Η):TB=BT,?B ∈V}是V 的一次換位。若Z=V′∩V=CI, 則稱V 是一個(gè)因子von Neumann 代數(shù)。

由于標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)和因子von Neumann 代數(shù)都是存在非平凡冪等元的素代數(shù)，因此，由推論2 ，有

推論3設(shè)Χ 是數(shù)域C 上的Banach 空間, A(Χ)是Χ 上有單位元的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù),Ω={T ∈A(Χ):T2=0}，且φ 是A(Χ)上的一個(gè)映射(無可加性假設(shè)), 若 對 任 意 的 算 子 A,B,C ∈A(Χ) 且ABC ∈Ω, 有

則φ 是一個(gè)導(dǎo)子。

推 論4設(shè)Η 是 數(shù) 域C 上 的Hilbert 空 間, V 是作用在Η 上的一個(gè)因子von Neumann 代數(shù)，Ω={T ∈V:T2=0}，且φ 是V 上的一個(gè)映射(無可加性假設(shè)), 若對任意的算子A,B,C ∈V 且ABC ∈Ω, 有

φ(ABC)=φ(A)BC+Aφ(B)C+ABφ(C),則φ 是一個(gè)導(dǎo)子。