因式分解的妙用

李星

【摘 要】 因式分解是代數變形的重要工具。運用因式分解的思想解題有時能取得意想不到的效果。因式分解在方程（組）的求解、代數式符號的判定、規律的探尋等方面有著廣泛的應用。

【關鍵詞】 簡化計算;判斷符號;比較大小;規律探尋

一、用于簡便計算

例1 計算：。

解：原式=

。

點評：直接計算，計算量相當大，也沒有什么規律可言。不難發現，每一個小括號內均能進行因式分解，我們可以先因式分解，再尋找規律。

二、用于求代數式的值

例2 若，求的值。

解：，

化簡得：，

，即m+n=1，。

點評：一般的，一個方程中含有兩個未知數，難以求出兩個未知數的具體數值，我們可以利用“整體思想”進行分組，通過因式分解求出整體數值，使得問題得以解決。

三、用于分式的運算

例3 約分：。

解： 。

點評：約分需要找到公因式，通分需要找到最簡公分母。分式的分子、分母是多項式時，需將其因式分解。

四、用于尋找除數

例4 已知248-1可被60～70之間的兩個整數整除，這兩個整數是多少？

解：，

，∴這兩個整數是65，63。

點評：能被某個數整除，則這個數一定是其因式，可以將248-1套用平方差公式因式分解。證明某個多項式能被某個數整除也屬此類問題。

五、用于判定代數式的符號

例5 已知a，b，c是一個三角形的三邊，利用因式分解判斷的符號。

解：=（b+a-

c）（b-a+c）。

根據三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊可得：（b+a-c）（b-a+c）>0，。

點評：判斷一個多項式的符號是代數中的常見問題。一種方法是：將多項式因式分解，寫成多個因式乘積的形式，再數一數負因數的個數，若負因數的個數是奇數個，則積為負，若負因數的個數是偶數個，則積為正。另外一種方法是利用配方法把多項式寫成一個式子的平方再加一個常數的形式，如判斷多項式的符號，利用配方法可將化簡為，即可得出答案。

通過因式分解的訓練和應用，能使我們的觀察能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高。因式分解除了上述妙用外，在其他方面（如生活、軍事等）也有很廣泛的應用。

【參考文獻】

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