研析教材立意 筑建多維課堂

劉燕

在高中數學的公式教學中，教師應以教材為本，立足學生知識結構的最近發展區，著力提高學生在推導公式過程中的學力，培養學生對整個數學概念體系的把握，提升數學思維能力，進一步完善和發展數學認知結構。那么，如何合理有效地利用教材，使課堂的含金量更高呢？本文將從以下幾個方面進行探討。

一、以生為本，確立認知結構

皮亞杰認為數學認知結構有三個特性：整體性、轉換性、自身調整性。學生學習新知的過程離不開其原有的認知結構，在學“兩角和與差的余弦公式”前，學生已經熟練掌握了三角函數的各項性質，周期性便是其中之一，從周期運動合成的角度提出變換的課題，不僅可以賦予三角變換以實際的意義，而且可以使三角函數變換的教學與“三角函數”“平面向量”的教學融于一體。

事實上，很多老師在教學的時候，認為它的落腳點太高，思維跳躍過大，學生可能很難理解，便摒棄了這個引入，直接讓學生求cos（60°-30°）及cos60°，cos30°，sin60°，sin30°的值，引導學生發現數值之間的聯系，再通過幾個特例驗證，得到公式。這樣的引入看似非常自然和諧，課堂上你問我答，其樂融融，好不歡快，但實際的效果卻有待商榷。

從三角函數的周期運動提出周期運動的疊加，本身就是對知識的一個延續研究，符合新課標對知識呈螺旋上升的編排規律，也可以培養學生用運動發展的觀點來看待數學知識的呈現序列、完善學生的數學認知結構，提升其數學思維素養，把握數學學科的本質。教師的教學不能以導入容易與否作為唯一標準，要以能否提高學生的綜合能力為目標。再由向量的數量積運算法則，可知（1，1），另一方面，cosθ，其中，θ為向量與向量（1，1）的夾角，于是cosx+sinx=。這個式子既表明了周期運動的疊加仍是簡諧運動，又告訴我們可以用x的三角函數和的三角函數來表示，那么又可以進一步啟發我們聯想到：cos（α-β）能否用α的三角函數與β的三角函數來表示？這是一個從特殊到一般的思想，可以培養學生的推理與化歸能力，也符合我們對問題的一般研究策略。這樣的學習可以使新舊知識結構不斷交替融合，知識體系不斷豐富、擴張，逐步形成一套新的更加完善的數學認知結構，這種基于“量力性原則”基礎上的對于學生的數學學習乃至終身能力發展的培養都是具有深刻意義的。

二、以書為基，豐富課堂導入

教科書為學生的發現活動提供了廣闊的空間，教材里呈現的每一處數學知識都有它的“固著點”，從而為學生數學知識的整體化做準備。我們應該在此基礎上創設多維的課堂導入，滲透基于數學核心素養的數學文化，不妨選取以下案例：

案例1：20世紀90年代末，美國《數學雜志》開辟沒有文字證明的證明專欄，以數學史為背景的導入一下子受到了廣大數學愛好者的關注，右圖就是其中刊登的一個典型案例！思考：由圖，你能得到什么公式？

學生不難得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ（0<α<，0<β<）。進一步思考：若α，你能推導出什么公式來？

設計意圖：平面幾何是三角函數的“母體”，三角公式源自幾何命題，用平面幾何圖形的方法來研究三角運算及運動學自古而有之。初中研究的三角函數就是放在直角三角形中研究的，到了高中，我們要研究更復雜的三角問題，依然可以回到“最初的起點”，依托知識本身一脈相承的體系去尋找答案，這種能力的培養對學生至關重要，也是教材引入的意義和精髓所在。文獻[1]和文獻[2]的案例恰恰也佐證了這一點，特別是北京市第十中學的張麗娟老師的分蛋糕問題的構造是十分有新意的。

不僅如此，此案例跟數學史有關，對學生的吸引力更大，在解決問題的同時，又滲透了對學生數學文化素養的培養。與此相關的一個證明便是托勒密定理：已知圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC。在利用三角形相似證出結論的基礎上，若設，便可以得出兩角差的余弦公式。

這部分內容可以讓學生課后自己查閱資料進行研究，并可進一步引發思考：若∠ABC=α，∠CBD=β，則可以得出什么公式？

通過一系列的研究，學生積極地思考、探索，定能較好地構建邏輯框架結構圖。

案例2：在高中階段研究三角函數，馬上應想到其對應的幾何意義——三角函數線，隨即聯想到可以放到單位圓中進行研究，構造出圖形，如右圖所示，在平面直角坐標系中，以x軸正半軸為始邊分別作角α，α-β，，終邊分別與單位圓交于P，Q兩點，即∠POx=α，∠POQ=β，∠QOx=α-β，思考：cosα，cosβ，sinα，sinβ分別表示哪條線段？再聯系圖形中的幾何關系OF=OE+EF=OE+GO，即可得：。

設計意圖：數學中的數與形是緊密相連的，三角函數也有與之對應的“形”，借助單位圓這一有效載體，數形結合，充分發揮圖形的作用，讓學生在更加直觀的情境下研究，培養學生科學地發現、理性地思考，提高分析、解決問題的能力。

三、以做為證，檢驗研究結果

愛因斯坦說過：“西方科學的發展是以兩個偉大成就為基礎，那就是希臘哲學家發明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何中）以及通過系統的實驗發現有可能找出因果關系（在文藝復興時期）。”史寧中教授也表示：“我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經歷。”智慧并不完全依賴知識的多少，而依賴知識的運用、依賴經驗，你只能讓學生在實際操作中磨煉，過程的教育不僅僅是指在授課時要講解或者讓學生經歷知識產生的過程，甚至不是指知識的呈現方式，而要注重對學生探究的過程、思考的過程、反思的過程的培養。

數學公式的學習亦是如此，讓學生真正去“做”、真正參與“數學實驗”，建立合理的、必然的數學知識、以“百科管理構建法”構建數學知識網絡。教師要注重學生學習創造的多維發展，為學生創設出“再創造”的思維空間，引申學生的無限創造性認知，而不能僅僅重視教學活動中知識的單向傳輸。

通過上述一系列的研究，請學生自己嘗試證明公式，由于cosαcosβ+sinαsinβ的形式與向量中的類似，因此可以在單位圓中聯想到向量的數量積，設，，將α-β看作是兩向量的夾角，則，另一方面，，通過“算兩次”，也稱作“富比尼原理”，即一個問題兩種角度考慮，可得兩角差的余弦公式。正如波利亞所說：“注意對特殊情況的觀察，能夠導致一般性的數學結果，也可以啟發出一般性的證明方法。”

深入思考：前面是通過向量的數量積的兩種表示得出了公式，既然已經聯想到向量，那能否直接在單位圓中表示出P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），P3（cos （α-β），sin （α-β）），如上圖，設單位圓與x軸正半軸交于，觀察圖形，可知△P1OP2與△P3OP0全等，即，因此，化簡即可得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

通過這樣層層遞進式的探究，可以幫助學生更好地感受向量與三角函數的緊密聯系，體會數學知識體系的博大精深。

四、以問為引，優化思維過程

以問題引導思考為教學之常態，數學問題本身的魅力才是引領學生進行探索的關鍵，教師必須“以生為本”，充當一個“陪跑者”，盡可能幫助學生找到問題的“生長點”，構建更加清晰、完整的知識板塊，強化數學認知結構。如教師可以設置以下問題：

問題1：前面研究的角α、β有什么要求？

問題2：-β與的夾角有何關系、如何處理？教材上為什么說只需考慮的情況？

問題3：有了兩角差的余弦，如何得到兩角和的余弦、兩角和與差的正弦？為什么可以用-β直接換β？如何理解用-β代替β的幾何意義？

問題4：前面學的誘導公式與兩角和與差的余弦公式有何關系？

問題5：如何記憶這幾組公式？

設計意圖：通過問題串的形式，可以進一步激發學生的求知欲望，絲絲緊扣，對前面的研究進行“打補丁”，得到更一般的、科學的結論，拓展學生的數學思維方法，提高對問題的整合能力。

五、以思為歸，提升核心素養

教材是實施新課程的重要資源，教材的編寫凝聚著大量專家、學者的心血，是科學的、嚴謹的、符合學生認知結構、迎合時代發展要求的。教師應充分挖掘教材的設計意圖，選擇有效的教學策略，使學生在最有內涵的課堂中汲取養分，發展自己的學習能力。

江蘇省數學教研員李善良博士亦說過：“要想做一名優秀的教師，就要學會定期反思，并把心得寫下來，以此來時常勉勵自己。”因此，有效的反思應是教學的最后一個步驟，也是至關重要的一個環節，“反思”是當代心理學中屬于元認知的概念范疇，反思性教學不僅僅是對前面知識點的一個簡單回顧，更是要深究學習活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，要從新的層次、更高的角度看到現實的不足，引領學生一起對所學的知識進行“重新組織”或轉換，使得學習者成為構造主義者。以本堂課為例，課中探討的兩角和與差的余弦公式的推導過程并不是盡善盡美的，肯定還有不足或是有更符合學生認知結構、更能提高學生數學素養的導入。一堂課的時間只有40分鐘，但是同樣的40分鐘賦予學生的意義卻是不盡相同的，教師需要親近學生、了解學生，多維度、多角度地培養學生的數學思維，提高學生的“四基”“四能”及“六個關鍵能力”。

【參考文獻】

[1]魏韌.追求自然樸實的數學教學——以兩角和與差的余弦公式教學為例[J].數學通報，2014（11）：16-18.

[2]戴圩章.“以生為本”從新課程導入開始——以兩角和與差的余弦公式教學為例[J].數學通報，2015（9）：38-41.

[3]劉斌.從構建學生數學認知結構看高中數學教材的編寫[J].課程·教材·教法，1998（5）：25-28.

[4]柳榕.基于《兩角差的余弦公式》的同課異構案例評析[J].福建中學數學，2011（11）：25-28.