利用信息技術與數學建模教學融合，回歸數學本質

黃雪珍

摘 要：在基礎課程與信息技術的大背景下，學術界普遍認為，數學建模教學有助于推動數學教育改革。關于這一點比較突出的是，當前大學生的數學建模科技活動對教育界造成的影響越來越大，從而在一定程度上推動了大學數學教育改革。當前也有越來越多的專家學者及一線教師發聲呼吁，利用信息技術融合到數學模型教學深入中小學課堂，以提高學生運用所學知識解決實際問題的能力，“還數學本來面目”，使“數學模型成為學生提高學習成績和方便日常生活的雙重法寶”。

關鍵詞：信息技術;數學建模;數學模型

一、融合信息技術把握教學關鍵創設趣味建模情境

創設趣味動畫建模情境與學生日常相關，讓學生在具體趣味情境中把握數學建模的實質。可以說，創設的情境合理與否在很大程度上影響著模型建立的成敗。首先，創設的情境要與學生的生活經驗密切相關，這是由學生認知思維的形象性決定的，只有接近學生生活經驗及生活環境的情境，才能使學習氛圍“接地氣”，同時，生活化的情境也有利于學生更好地從問題出發建立模型，從而切實掌握模型的構建。

在建模教學中，教師要始終記得：數學來源于生活，又服務于生活，數學知識的最初來源就是實際生活，從最簡單的自然數到復雜的函數關系，都可以在生活中找到它們的原型。其次，具體情境的創設要有利于學生建模中及時發現與解決問題，有利于發展學生思維起點。從認知心理學的觀點看，一個完整而合理的問題包含三個要素，即已知條件、目標和所謂“算子”。教師為學生創設的情境必須要能引出包含上述三個要素的問題，只有滿足這個條件，創設的建模情境才能夠激發學生對知識的求知欲心理和向往探究意識。同時，創設建模情境要便于學生提出假設，從創設到構建再到提出假設，這是建立模型最關鍵的環節之一。

例如“建模替換策略”的教學，針對本節課的特點，著名教師李海峰所采取的引導學生建立圖式模型的方式是比較有代表性的。通過建立該模型使復雜問題簡單化，隱性條件外顯化，這樣不僅有利于突破難點，更有助于培養學生的建模意識和建模能力。下面，我們就來詳細地展示和分析該節課的教學過程。首先創設趣味建模情境：“已知6個小杯和1個大杯的容量加起來一共是630毫升;一個大杯的容量是小杯容量的3倍，則大杯和小杯的容量各是多少？”培養學生畫圖能力，通過建立圖式模型來解決問題，過程如下。

【求小杯容量的過程，利用信息技術融合】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的大杯換成小杯，可得下圖：

根據上圖就很容易算出一個小杯的容量是

【求大杯容量的過程】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的小杯換成大杯，可得下圖：

根據上圖就很容易算出一個大杯的容量是

630÷（6÷3+1）=630÷3=210（毫升）

算出結果后進行檢驗：大杯容量210毫升是小杯容量70毫升的3倍，說明結果正確。

上述教學過程中，教師只要畫出示意圖，學生便可通過觀察直觀的圖式形象意識到：解決這個問題只需把兩種杯子換成一種杯子即可，也就是根據已知條件來“替換”。這種把數學語言轉化成直觀幾何圖形的過程，也就是建立圖式模型的過程。這樣的提問步步遞進，無疑有利于學生逐步抓住倍數關系等量替換的本質。經過思考和討論后，再引導學生根據題目中條件和問題之間的本質關系，在前面的圖式模型的基礎上進行簡化，得到倍數關系等量替換的圖式模型。

【求小杯容量時】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的大杯換成小杯，可得下圖：

6×○+3×○=630（毫升）

根據上圖就很容易算出一個小杯的容量是

630÷（3+6）=630÷9=70（毫升）

【求大杯容量時】

“6個小杯和1個大杯加起來一共是630毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量是小杯容量的3倍，將上圖中的小杯換成大杯，可得下圖：

根據上圖就很容易算出一個大杯的容量是

630÷（6÷3+1）=630÷3=210（毫升）

上述簡化模型的過程也就是將最初的抽象幾何圖形轉為“半抽象、半具體”的數學表達式的過程，而這時數學表達式就是體現“半抽象半具體”特征的、展現著數形結合特點的圖示模型。學生在這樣的過程中體驗了建立圖式模型的過程，這不僅有助于提高學生的建模意識和能力，也能在一定程度上激發學生探究其他數學模型的興趣。

接下來是相差關系等量替換的教學，教師將原題中的條件換了一下，題目變為“8個小杯和1個大杯加起來一共是680毫升”。

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量比小杯多140毫升，將上圖中的大杯換成小杯，可得下圖：

8×○+1×○=680-140×1（毫升）

根據上圖就很容易算出一個小杯的容量是

（680-140×1）÷（8+1）=60（毫升）

【求大杯容量時】

“8個小杯和1個大杯加起來一共是680毫升”

可用下圖表示：

由于一個大杯的容量比小杯多140毫升，將上圖中的小杯換成大杯，可得下圖：

根據上圖就很容易算出一個大杯的容量是

（680+140×8）÷（8+1）=200（毫升）

算出結果后進行檢驗：大杯容量200毫升比小杯容量60毫升多140毫升，說明結果正確。學生由于在前面已學習了“倍數關系”等量替換模型，具備了基礎，因此在建立這種相差關系等量替換模型時就顯得駕輕就熟。而學生在經歷和體驗建立兩種圖式模型的過程后，也就從本質上理解和抓住了倍數關系等量替換和相差關系等量替換，同時，其建模意識和建模能力也得到了鍛煉。

二、融合信息技術把握模型思想的課程內容

小學數學中對蘊含模型思想的課程內容進行了簡單梳理，對于一個具體的數學實際問題而言，要想切實把握其本質，理清其數量關系，進而建立其數學模型順利解決問題，除了必須具備扎實的數學基礎知識與基本技能，還需要熟練掌握相關的數學思想和方法，即使小學數學比較簡單，這一點也依然表現得十分突出。而尤為關鍵的是，學生還需要分清狹義層面上的常見數學模型的類型和形式，只有做到這一點才能在解題中游刃有余。教師應善于引導學生運用數學思維思考和分析該類問題，而學生要想順利解決這些問題，前提即為找對相應模型。就小學數學中涉及的乘除數量關系而言，以下五種數量模型是最為常見的，因而必須認真學習并熟練掌握。

第一種：行程問題（路程=速度×時間）

第二種：價格問題（總價=單價×數量）

第三種：利息問題

第四種：折扣問題

第五種：工程問題

上述這五種模型，都是十分典型的通過將生活實際問題抽象化而建立的數學模型。其中涉及的概念都是日常生活中經常用到的，也是數學應用題中最常涉及的。因此教師必須善于創設恰當的現實情境，深入而細致地講解這五種常見模型，在講解某一種時還要注意和其他幾種相聯系，并強調其共性，凸顯其本質，以便于學生能夠深入了解該類模型的內在結構進而深入把握其本質，融合信息技術把復雜抽象的變為簡單明了，只有如此，學生在解題過程中才不至于被題目的表面言辭所迷惑和誤導。

在解決問題時，先審題，根據題意把握數學建模關鍵，通過建立起相應的線段圖模型，往往可以使分析和解題過程大大簡化。因為在模型中量與量的關系以及某些量的變化過程都很直觀、清晰，令人一目了然。相應地，在教學實踐中，教師也要注重培養學生分析題意和把握題意的能力，在講解這種類型的題目時示范好畫圖建立模型的過程。

三、融合信息技術把握學生特點，強化數學教學針對性

數學建模作為一種數學思想，其形成需要經過一個循序漸進的長期過程，這一點在小學階段表現得尤為突出。學生只有經歷大量的從相對簡單到相對復雜，從相對具體數學建模到相對抽象的數學活動，培養學生圖式模型，通過最常用畫線段圖獲得數學理解與感悟，才能掌握建模方法并熟練應用模型，最終形成成熟而穩固的建模思想。這一點也啟示我們，鑒于學生在不同年齡段的思維認知特征，不同年級學段的基本目標指向也不一樣。

大體而言，在小學低年級學段應更側重學生對建模過程的體驗和基本認知，并注意培養學生建立數學模型的興趣和積極性，在高年級學段，則應相對地側重培養學生提出問題、做出假設的意識和能力，以及應用模型形成思想感悟的過程。自然，在實際教學中還應根據具體的課程內容特點來調整教學目標的指向，融合信息技術使之既符合當前實際情況，又兼顧學生的長遠發展。

而小學生一方面數學基礎及綜合素養相對薄弱，另一方面受生活視野及知識范圍所限，不可能具備專業知識和相關經驗，即使要建立的模型十分簡單，也必然對此無能為力，因此“交叉模型”是不適于小學數學建模教學的。小學建模教學中問題情境的設置，應當基于小學階段學生的生活經驗與認知水平，避免問題情境中繁雜而陌生的信息“擾人耳目”，令學生無所適從。圖式模型、線段圖也是比較常用的圖式模型。例如下題：

黃老師和李老師共有西瓜若干，李老師的西瓜數是黃老師的5倍。如果李老師給黃老師48個西瓜，兩人的西瓜就一樣多了。問：黃老師和李老師兩人一共有多少個西瓜？

解析：將黃老師原有的西瓜數視為一份，那么李老師原有的西瓜樹為5份，根據題意可知，當兩人西瓜一樣多時，李老師給了黃老師2份，兩人都成了3份，由此可以畫出線段圖模型如下：

線段圖模型呈現的信息簡潔明了，使學生一目了然：李老師和黃老師兩人一共有6份，2份是48個，則兩人擁有的西瓜總數是48÷2×6=144（個）。

基于學生的生活經驗，就是從學生的生活經驗出發設置情境，使學生容易理解并且感到親切和“接地氣”，從而獲得一個良好的思維基點，便于思維活動的展開。基于學生的認知水平，就是要使問題情境既不過于復雜，也不過于簡單，而應接近學生的“最近發展區”，使學生在經過積極探索后能夠很好地解決問題。基于以上的分析，教師在設置問題情境時，要善于將教學內容和學生的生活實際有機結合起來。在選擇問題情境時，要充分考慮學生是否對該情境有所了解和感興趣，又要考慮問題的挑戰性，從而使建模教學達到最佳效果。

簡而言之，小學數學建模教學是一項復雜而又精細的系統性工作，在建模過程中融合信息技術，提高實踐能力。作為直接與學生接觸的一線教師，其建模教學的技能和水平對于教育目標的達成及學生的發展起著舉足輕重的作用。因此，一名有理想、有熱情、有責任感的小學數學教師應當切實扮演好自身角色，做到把握數學建模教學關鍵，回歸數學本質，樹立終身學習理念，不斷提升數學建模教學的專業素養和工作水平，從而更好地肩負起教書育人的神圣使命。

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