基于Kriging代理模型的異形鋼桁架橋有限元模型修正

丁曦，王佐才,2

（1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230000 2.土木工程防災(zāi)減災(zāi)安徽省工程技術(shù)研究中心，安徽 合肥 230000）

0 前言

近些年，有限元分析得到廣泛應(yīng)用，但是由于受到有限元模型的網(wǎng)格劃分、邊界條件和材料物理參數(shù)等不確定性因素的影響，建立的有限元模型與真實結(jié)構(gòu)始終存在一定的差異，因此需通過試驗數(shù)據(jù)加以修正，使其盡可能接近實際結(jié)構(gòu)。

關(guān)于有限元模型修正的方法可以分為三類，即直接類修正算法[1]、迭代類修正算法[2]和基于智能優(yōu)化技術(shù)的修正算法[3]。直接類修正算法是從結(jié)構(gòu)振動微分方程出發(fā)，通過直接修改結(jié)構(gòu)剛度與質(zhì)量矩陣中的元素達到模型修正的目的，但由于修正后的參數(shù)物理意義不明確，此類方法已不常用。迭代類修正算法目前主要運用在非線性結(jié)構(gòu)問題中，在實際選擇參數(shù)方面會更加的靈活，但是在實際運用過程中存在計算量巨大的問題無法解決。

在實際運用有限元模型計算的過程中，由于直接調(diào)用有限元軟件進行模型修正存在著計算效率低、不方便二次開發(fā)等缺點，學(xué)者提出了采用代理模型并結(jié)合智能算法進行模型修正的方法，此類方法可以克服修正過程中大量調(diào)用有限元模型計算繁瑣的不足。目前常用的代理模型包括響應(yīng)面模型[4]、徑向基函數(shù)模型與Kriging代理模型等。

其中，Kriging代理模型方法[5]也稱空間局部估計法，由南非地質(zhì)學(xué)者Krige于1951年提出，最初是用來確定礦產(chǎn)儲量分布。Sacks[6]等第一次將Kriging方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計。Rom ero[7]等將其應(yīng)用于求解結(jié)構(gòu)可靠度問題中。Kriging代理模型是一種半?yún)?shù)化的插值模擬建立模型的方法，考慮設(shè)計變量在空間上的相關(guān)特性，利用某一點周圍信息模擬某一未知點的響應(yīng)等信息[8]。

本文以濱湖路鋼桁架橋為研究對象，選擇橋梁結(jié)構(gòu)的參數(shù)作為修正對象，基于Kriging代理模型和橋梁荷載試驗數(shù)據(jù)，以修正橋梁的有限元模型，使有限元模型更接近橋梁的實際情況。

1 Krig ing模型修正理論

1.1 Kriging模型

Kriging模型方法作為線性回歸分析的改進技術(shù)，由線形回歸模型與隨機過程相加組合而成，其基本形式為：

式中：x是維度為d的設(shè)計參數(shù)[x1，x2，…，xd]；y（x）為多項式模型；z（x）為正態(tài)分布函數(shù)，其不獨立但同分布；f（x）為類似響應(yīng)面模型，可以根據(jù)需要選擇零階、一階及二階多項式，m是多項式的數(shù)目。

f（x）負責(zé)模擬全局近似計算，z（x）負責(zé)模擬局部近似計算。z（x）是隨機過程，其均值為零且協(xié)方差不為零。在Kriging代理模型中，由于z（x）這一隨機過程的靈活運用，其建立的代理模型具有很強的靈活性，這樣一來，模型可以更好的運用于求解復(fù)雜情況的非線性結(jié)構(gòu)，解決了傳統(tǒng)基于多項式函數(shù)所建立的代理模型在精度上的不足。

z（x）的協(xié)方差矩陣具有如下形式：

式中：

R[R（ xi，xj）]為ns個樣本點中，任意兩個點xi、xj間的空間相關(guān)函數(shù)，其對模型的精度有主導(dǎo)作用，其核函數(shù)具有多種形式可以選擇，在實際運用過程中，高斯函數(shù)通?？梢缘玫捷^好的計算結(jié)果，其形式如下：

1.2 Kriging模型參數(shù)的確定

對于參數(shù)θk的估計，通常用已知結(jié)構(gòu)響應(yīng)的線性組合來估計，引入以下矩陣：

由上式可得出結(jié)構(gòu)響應(yīng)估計值的殘值：

若上式所示殘差的平均值為0，則得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)值則為無偏估計值，可得到下式所示關(guān)系：

可以求得結(jié)構(gòu)響應(yīng)估計值的方差為：

式中：r為相關(guān)矩陣R中的某一列。通過求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)估計值方差的最小值，并使其滿足無偏估計的約束，可建立優(yōu)化目標函數(shù)：

式中：λ為拉格朗日乘子向量，通過優(yōu)化求解可得以下結(jié)果：

將上述結(jié)果引入結(jié)構(gòu)響應(yīng)估計值可得：

式中：空間相關(guān)矩陣R為：

上述兩式β*與σ2均是參數(shù)θk的函數(shù)，通過極大似然估計使擬函數(shù)取得極大值為：

求解關(guān)于以上優(yōu)化問題，可得到參數(shù)θk的估計值，即可建立Kriging模型。

基于Kriging模型的有限元模型修正方法也屬于響應(yīng)面方法的一種，通過不同函數(shù)建立的響應(yīng)面模型其適用性也不盡相同，所以，就需要對所建立的響應(yīng)面模型進行精度驗算。驗證響應(yīng)面模型精度的方法有很多，如：殘差的正態(tài)分布檢驗、殘差的均值、EISE檢驗、R2檢驗[10]及相對均方根誤差(Root Mean Squared Error)[9]檢驗方法。在較為復(fù)雜的模型中，R2檢驗和相對均方根誤差(RMSE)檢驗可更好的檢驗?zāi)Ｐ途?。其?shù)學(xué)表達式如下式所示：

相對均方根誤差(RMSE)：

判定系數(shù)：

式中：

y和yreg分別是設(shè)計空間上各點的真值和響應(yīng)面模型的值為設(shè)計空間上各點真值的均值；N為設(shè)計空間上檢驗點的數(shù)量。相對均方根誤差(RMSE)的大小R2代表了響應(yīng)面的精度，可根據(jù)實際情況確定，其值越接近0則表示響應(yīng)面模型越精確。代表了響應(yīng)面與真值之間的差值，其值在0～1之間，當其值為1時，表示二者完全一致。

2 初始有限元模型建立

2.1 橋梁概況

濱湖路橋位于宛溪河上，其主體結(jié)構(gòu)為兩跨鋼桁架橋其跨徑為50+50m，主桁架采用雙片桁架，邊支點桁高為4.5m，中支點桁高為 17.5m。上弦桿線形為二次拋物線形式，主桁架下弦桿采用焊接整體節(jié)點結(jié)構(gòu)形式，主橋橋梁橫斷面共33m，全橋材料為Q345qD鋼材。

橋型布置如圖1所示。

圖1 濱湖路橋橋型布置圖

2.2初始有限元模型的建立及計算結(jié)果

按照設(shè)計圖紙，使用有限元計算軟件M idas建立全橋有限元模型，上部結(jié)構(gòu)采用Q345qD鋼材，設(shè)計強度200MPa，容重取，考慮到加勁肋、橫隔板、橫肋的重量，橋梁結(jié)構(gòu)的自重系數(shù)取1.2。每側(cè)護欄取，每側(cè)燈柱取，橋面鋪裝取，人行道自重簡化成荷載：，人群荷載集度取：，汽車荷載取公路-Ⅰ級。

橋面系模型采用4片主梁，主桁架采用雙桁架模型進行分析，全橋模型均采用梁單元進行模擬。全橋共離散成1112個單元。其有限元計算模型見圖2所示。

圖2 全橋有限元計算模型

濱湖路橋理論計算自振頻率與振型 表1

表1給出利用有限元模型計算得到的結(jié)構(gòu)前三階豎彎自振頻率與振型。

3 現(xiàn)場脈動試驗及結(jié)果

3.1 脈動試驗內(nèi)容

脈動試驗主要測量主橋的自振頻率、振型和阻尼比。試驗選用壓電式加速度傳感器，記錄橋梁結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵下，如風(fēng)、水流、地脈動等引起的橋梁振動，然后對記錄下來的橋梁振動時程信號進行處理,并進行時域和頻域分析，求出橋梁結(jié)構(gòu)自振特性。全橋共設(shè)置6個加速度傳感器測點，試驗中加速度傳感器測點布置如圖3所示。

對環(huán)境激勵下橋梁的響應(yīng)信號進行多次功率譜的平均分析，可得到橋梁的各階自振頻率，再利用各個測點的振幅和相位關(guān)系，可求得橋梁各階模態(tài)相應(yīng)的振型，利用幅頻圖上各峰值處的半功率帶寬或時域上的自相關(guān)確定各階模態(tài)阻尼比。利用脈動試驗測出全橋結(jié)構(gòu)前三階豎彎振型以及頻率。

圖3 全橋脈動試驗測點布置圖

3.2 脈動試驗結(jié)果分析

圖4 1號測點加速度時程響應(yīng)

圖5 基于SSI的豎向振動頻率穩(wěn)定圖

濱湖路橋自振頻率與振型實測結(jié)果 表2

相關(guān)參數(shù)的初始值 表3

本文中，使用隨機子空間方法(SSI)方法，處理所采集的響應(yīng)信號，識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。圖4為1號測點的加速度時程響應(yīng)。圖5為基于SSI的豎向振動頻率穩(wěn)定圖。表2列出了該橋?qū)崪y自振頻率以及振型圖。

4 有限元模型修正

4.1 Kriging代理模型建立的試驗設(shè)計

利用Kriging代理模型進行有限元模型修正，即通過隱式函數(shù)關(guān)系來表示隨機輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系，并采用相關(guān)試驗來擬合假定的函數(shù)關(guān)系，利用其替代原復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元求解過程?；贙riging代理模型來進行有限元模型修正通過四個步驟來實現(xiàn)：①試驗設(shè)計，設(shè)計一定的試驗方案，確定結(jié)構(gòu)的輸入與輸出信息；②確定Kriging模型的回歸模型與相關(guān)模型函數(shù)的具體形式；③建立代理模型，通過相應(yīng)的數(shù)據(jù)擬合出響應(yīng)面模型，并檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合精度；④優(yōu)化與預(yù)測，利用實測響應(yīng)值與參數(shù)通過Kriging模型進行分析與預(yù)測，得到優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及其對應(yīng)的有限元模型。

基于上述理論，首先對橋梁脈動試驗進行分析，選定濱湖路橋結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)作為修正影響因素分析。本文，選取結(jié)構(gòu)的彈性模量、泊松比、線膨脹系數(shù)與容重作為需要修正的影響因素。選取結(jié)構(gòu)的各參數(shù)的初始值如下表所示，在此基礎(chǔ)上，選擇相關(guān)參數(shù)變化空間為初始參數(shù)的0.75～1.25倍。表3為相關(guān)參數(shù)的初始值。

本文基于均值設(shè)計，樣本設(shè)定為U12（124），即4參數(shù)，12組樣本。表4和表5為12水平均勻設(shè)計表與12水平均勻設(shè)計表的使用表，均勻設(shè)計法可以很好的將參數(shù)分布在整個設(shè)計參數(shù)空間內(nèi)，并且可以大大地減少試驗次數(shù)。

根據(jù)表6與表7均勻設(shè)計表及其使用表，設(shè)計如下12組Kriging代理模型試驗。

根據(jù)12水平均勻設(shè)計表及其使用表格，設(shè)計各組試驗，一共12組，通過改變設(shè)計的參數(shù)，利用建立的有限元計算模型，得到所需頻率值，其結(jié)果如表7所示。

12水平均勻設(shè)計表 表4

12水平均勻設(shè)計表使用表 表5

Kriging代理模型試驗設(shè)計 表6

4.2 代理模型的建立

通過上述均勻設(shè)計的樣本點作為已知信息輸入矩陣；將有限元計算軟件得到的相應(yīng)頻率值作為輸出矩陣。由于實際工程問題中非線性問題程度較高，本文中回歸模型選用線性函數(shù)；對于相關(guān)函數(shù)方程的選擇，由于高斯函數(shù)相對于其他幾種相關(guān)函數(shù)優(yōu)化模型的優(yōu)化效果最好，本文中相關(guān)函數(shù)選用高斯函數(shù)。

運用M atlab軟件中的DACE工具箱構(gòu)建Kriging代理模型，本文中，采用粒子群優(yōu)化算法對參數(shù)進行優(yōu)化，用確定的參數(shù)確定最優(yōu)相關(guān)模型。

基于Kriging理論所建立的代理模型為一個隱式函數(shù)，在本文中不給出具體的函數(shù)表達式，僅以響應(yīng)面圖形表示所建立的Kriging代理模型。圖6～圖8分別表示各主要結(jié)構(gòu)參數(shù)與前三階固有頻率值之間的Kriging模型。圖(a)為彈性模量和泊松比分別與前三階固有頻率之間的Kriging模型，圖(b)為線膨脹系數(shù)和容重與前三階固有頻率之間的Kriging模型。

將前三階實測頻率輸入構(gòu)建的Kriging代理模型中用于回歸預(yù)測，便可得到預(yù)測值，將預(yù)測所得的設(shè)計參數(shù)代入原有限元模型中以達到修正此有限元模型的目的。通過求解修正后的有限元模型便可得到修正后的理論振動頻率。預(yù)測參數(shù)值如下表8所示，表9給出了通過Kriging代理模型修正后的理論振動頻率與實測振動頻率以及修正前的原始有限元模型計算所得振動頻率。

由表9可知，經(jīng)Kriging代理模型修正后計算所得結(jié)構(gòu)頻率與真實值相差均在以內(nèi)。

4.3 Kriging代理模型精度檢驗

驗證Kriging代理模型所得預(yù)測值的精度，本文引入前文所述的檢驗及相對均方根誤差(RMSE)對修正后的模型進行評估。表10表示了所建立的Kriging代理模型的精度計算值。

圖6 各主要參數(shù)與第一階固有頻率Kriging模型

圖7 各主要參數(shù)與第二階固有頻率Kriging模型

圖8 各主要參數(shù)與第三階豎彎頻率Kriging模型

設(shè)計試驗所得頻率值 表7

經(jīng)Kriging代理模型修正后的參數(shù)值 表8

實測頻率與修正前后頻率結(jié)果對比表 表9

各階次Kriging代理模型精度分析 表10

從上表可知，相對均方根誤差(RMSE)值均很接近0，這表明所建立的Kriging代理模型與有限元模型計算值之間的差異很小；在值計算中，各階次的Kriging代理模型精度的計算結(jié)果均在0.95以上，這表明建立的Kriging代理模型可以準確地描述系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系。此時建立的Kriging代理模型已經(jīng)可以很好的進行有限元參數(shù)優(yōu)化。

5 結(jié)論

本文介紹了Kriging代理模型在有限元模型修正中的應(yīng)用，并通過濱湖路橋?qū)嵗f明Kriging代理模型結(jié)合有限元軟件在橋梁工程中的實際應(yīng)用。

①舉例說明Kriging代理模型在橋梁工程中的具體應(yīng)用，利用實際測量的橋梁結(jié)構(gòu)動力特性去修正橋梁實際的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)，并驗證了修正后參數(shù)的具體物理意義；

②驗證了利用橋梁荷載試驗，建立Kriging代理模型優(yōu)化原有限元模型方法的可行性，這種方法可以減小橋梁試驗對原橋梁結(jié)構(gòu)的影響；

③通過對既有橋梁進行預(yù)測并與實測結(jié)果對比，結(jié)果表明，修正后的有限元模型可以更好的反映橋梁結(jié)構(gòu)的真實情況。