中學數學中不等式的證明方法及技巧

蘇夢虎

【摘 要】 在高中數學學習過程中，不等式的應用占據了很大一部分，譬如在解析幾何與函數相結合的題型、有關圓周問題的題型中都會有所應用。由此，掌握不等式解題技巧便可更為高效地解決數學問題。因此，學習不等式在高中數學學習過程中是十分重要的。本文就中學數學中不等式的證明方法及技巧這一問題展開探究，先是闡述不等式的概念，再例舉常見的重要的不等式并歸納其證明方式及技巧，最后分析不等式在高中數學題型中的實際應用。

【關鍵詞】 高中不等式;證明方式;解題技巧

不等式的題型是多種多樣的，因此不等式的證明方法也有許多不同，但即便是這樣靈活多變的題型，其規律還是有跡可循的。本文通過例舉習題、總結方法的方式闡述觀點，望對今后碰到這樣題型的學生能起到一定的借鑒和幫助。

一、不等式的概念

數的關系不全是相等，還存在不等關系。含不等符號的式子，就是一個不等式。不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的“>”“<”連接的不等式稱為嚴格不等式，用“≥”“≤”連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。

二、不等式證明方式及技巧

1.比較法

不等式的證明方式在比較法中主要分為兩類，一是做差法，二是做商法。這種證明方式的優點便是較為明了，容易被同學們想到，但缺點便是比較法的應用條件較為局限，并且計算量較大，容易出現錯誤。

如例1便是用了比較法中的做商法來證明不等式，需注意的是，在通常情況下，同學們應記住不等式中a2+b2≥2ab的變式應用，這道例題便是結合了根式不等式的相關應用并通過變換來證明出結果。

2.換元法

換元法又稱等量替代法，通過設定整體未知數或是較為復雜變量的方式達到簡化解題的目的。如例2便是通過換元法并結合相關理論公式來證明不等式。

三、不等式在高中數學題型中的實際應用

如例3所示，該高考真題第一小題從基本不等式的概念出發，通過不等式之間的變換得出結論。第二小題在第一小題的基礎上通過反證法來推理，進而產生矛盾，最后得出結論。

綜上，不等式作為一種解題的路徑，其證明方式也是多種多樣的，同學們在做此類題型的時候應善于去發現每道題型中獨特的地方，并通過歸納總結，在下一次做題時能加以篩選應用。上述證明方式與技巧僅僅是一些較為常見的方法，高中教材上對于不等式的介紹不多，但即便如此，不等式多樣的解題方式也能給我們諸多啟示，當我們在遇到困難時，如何運用最優解法來解決問題，這不僅是在解不等式時應思考的問題，也不僅是在學習高中數學中需要去思考的問題，還是我們需要通過一生的學習去思考的問題。因此，通過本文對于不等式的證明方式及技巧的歸納，同學們能對此有新的思考，并在學習中、生活中培養良好的分析問題與解決問題的思維能力。我們也應敢于創新，多借鑒學習他人優秀的數學教學理念，不斷有效地提升高中學生的數學核心素養，幫助學生樹立良好的數學思維，構建科學的數學知識體系。

【參考文獻】

[1]紀宏偉，吳國磊.柯西不等式在中學數學解題過程中的魅力體現[J].陰山學刊（自然科學版），2014（03）.

[2]劉移山，夏慎謙.導數在中學數學不等式中的應用[J].科技信息，2013（20）.

[3]任文龍，王奇，李慧.高觀點下的初等數學不等式[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2008（S1）.